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高中数学第一章计数原理1_3二项式定理1_3_2“杨辉三角”与二项式系数的性质练案新人教A版选修2_3

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 考试要求 1. 掌握二项式系数的四个性质. 2. 培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力. 基础训练 一、选择题 1.已知(2-x) =a0+a1x+a2x +?+a10x ,则 a8 等于 ( A.180 C.45 解析:a8=C ·2 =180. 答案:A 2.在(a-b) 的二项展开式中,二项式系数与第 6 项的二项式系数相同的项是( A.第 15 项 C.第 17 项 B.第 16 项 D.第 18 项 5 15 5 20 8 10 2 10 2 10 ) B.-180 D.-45 ) 解析:第 6 项的二项式系数为 C20,又 C20=C20,所以第 16 项符合条件. 答案:B 3.已知 Cn+2Cn+2 Cn+?+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn的值等于( A.64 C.63 0 1 0 1 2 2 n n 1 3 5 ) B.32 D.31 n 2 n n 解析:Cn+2Cn+?+2 Cn=(1+2) =3 =729, ∴n=6,∴C6+C6+C6=32. 答案:B 4.已知关于 x 的二项式( x+ 1 3 5 a 3 ) 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值为 n x ( ) A.1 C.2 n B.+1 D.±2 解析:由题意知 2 =32,n=5, 1 5-r r r 2 Tr+1=Cr a · x 3 =Cr 5( x) 5a x r 5 5 ? r 6 , 5 5 令 - r=0,得 r=3, 2 6 ∴a C5=80,解得 a=2. 答案:C 3 3 5.在(1+2x) 的展开式中,C7是第________项的二项式系数,第 3 项的系数是________. 解析:由二项式系数的定义知 Cn为第 k+1 项的系数, ∴C7为第 3 项的二项式系数. ∵T2+1=C7·(2x) =2 ·C7x , ∴第 3 项的系数为 2 ·C7=84. 答案: 3 84 6.若( x+2) 的展开式第二项的值大于 1 000,则实数 x 的取值范围为________. 解析:∵T2=C5·( x) ·2 =10x >1 000,且 x≥0, ∴x>10. 答案:(10,+∞) 1 6 2 7.(2010·辽宁理,13)(1+x+x )(x- ) 的展开式中的常数项为________. 1 4 1 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 k x -5 1?6 2 ? (1+x+x )?x- ? ? x? ? 1?6 ? 1?6 2? 1?6 =?x- ? +x?x- ? +x ?x- ? , ? x? ? x? ? x? 1 1 ? 1?6 r 6-r r -r r r 6-2r ∴要找出?x- ? 中的常数项, 项的系数, 2项的系数,Tr+1=C6x (-1) x =C6(-1) x , ? x? x x 令 6-2r=0,∴r=3, 令 6-2r=-1,无解. 令 6-2r=-2,∴r=4. ∴常数项为-C6+C6=-5. 3 4 8. (1+x) (1-x) 的展开式中 x 的系数为________. 5 解法一:先变形(1+x) (1-x) =(1-x) ·(1-x ) =(1-x) (1+x -2x ),展开式中 x 的系 数为-1+(-2)·C3(-1)=5; 解法二:C5(-1) +C2·C5(-1) +C2C5(-1)=5. 3 3 1 2 2 2 1 1 2 5 3 2 2 3 4 2 3 2 5 3 2 ?n ? 9. 已知? x- 2? (n∈N+)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1,求展开式中含 ? x? x 的项. Cn·?-2? 10 解:由题意知第五项的系数为 Cn·(-2) ,第三项的系数为 Cn·(-2) ,则 2 , 2= Cn·?-2? 1 4 4 2 2 4 4 3 2 解得 n=8(n=-3 舍去). ? 2 ?r r r 所以通项为 Tr+1=C8( x) ·?- 2? =C8(-2) · x ? x? r 8-r 8? 5 r 2 . 8-5r 3 令 = ,得 r=1. 2 2 ∴展开式中含 x 的项为 T2=-16 x . 10. 已知(2x-3y) =a0x +a1x y+a2x y +?+a9y ,求: (1)各项系数之和; (2)所有奇数项系数之和; (3)系数绝对值的和; (4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和. 解:(1)令 x=1,y=1,得 9 9 8 7 2 9 3 2 3 2 a0+a1+a2+?+a9=(2-3)9=-1. (2)由(1)知,a0+a1+a2+?+a9=-1. 令 x=1,y=-1,可得 a0-a1+a2-?-a9=5 . 5 -1 将两式相加,可得 a0+a2+a4+a6+a8= . 2 (3)法一:|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|=a0-a1+a2-a3+?-a9, 令 x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|=a0-a1+a2-a3+?-a9=5 . 法二:|a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|即为(2x+3y) 的展开式中各项的系数和,令 x=1,y=1,得 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a9|=5 . (4)奇数项的二项式系数之和为 C9+C9+?+C9=2 . 偶数项的二项式系数之和为 C9+C9+?+C9=2 . 练后反思 1 3 9 8 0 2 8 8 9 9 9 9 9


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