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3.1数系的扩充与复数的概念


第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充与复数的概念

数系的扩充过程

分数

解决实际需求
有理数

分数

自然数

负数

整数

无理数



实数

①分数的引入,解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入,解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 ③无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾。

④在实数集范围内,负数不能开平方,我们要引入什么数, 才能解决这个矛盾呢?

知识引入

我们已知知道:

对于一元二次方程

x ? 1 ? 0 没有实数根.
2

思考?

x ? ?1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数:

i

满足

i ? ?1
2

复数的概念

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字 母C表示 .

复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
注意:

实部

虚部

其中

i 称为虚数单位。

(1)当b=0时,a+bi就是实数,如:1,2.5,-1/2
虚 数 单 位 i) (2)当b≠0时,a+bi是虚数,(含
如:

?i

3 ?2? i 2

2i

1? i
如: ? i

(3)其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

2i

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚 数,并指出复数的实部与虚部。

2? 7

实数 ?

3i 纯虚数

3 ? 9 2i

虚数

i

2 实数

i 1? 3

?

? 纯虚数

2i ? 1

虚数

2、判断下列命题是否正确:

(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数 错误,当b=0时不成立 (2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数 错误,当b=0时不成立
(3)若a为实数,则Z= a一定不是虚数 正确

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数.
m ?1

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

时,复数z 是虚数.

? ?m ? 1 ? 0
2

即 纯虚数.

m ? ?1时,复数z 是
2

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
是 (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) (数)复数的一个几何意义 (形) y z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

特别注意:虚轴不包括原点。

例2:用复平面内点表示复数(每个小方格的 边长是1):3-2i, 3i, -3, 0.
y

B C O x A

例3:说出 图中复平 面内点所 表示的复 数(每个小 方格的边 长是1)

y

C

-8+6i

6+7i

A

B

-6

O D

x

-3i
E

2-7i

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

a ? bi ? c ? di
例4 已知 ( 2 x ? 1) ? i 求 x与y .

?a ? c ? ?b ? d ?

? y ? (3 ? y )i ,其中x, y ? R

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )

5 解得 x ? , y ? 4 2

练习

1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y .

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y )

5 x? ,y?4 2

2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值. ?x ? 1 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ? ?y ? 2 ?x ? y ? 1 ? 0
3.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y .

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? 3 ? y

x ? 2, y ? 2

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部

虚数、纯虚数
?a ? c 复数相等 a ? bi ? c ? di ? ?b ? d ?



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