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【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编17 几何证明 理


备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精 选理科试题(大部分详解)分类汇编 17:几何证明
一、解答题 1 .(云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题)【选修 4—1:几 何证明选讲】 如图 6,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD=

1 3

AC, AE=

2 3

AB,BD,CE 相交于点 F。

(I)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径. 【答案】 (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:? AE ?
2 3 AB ,? BE ? 1 3 1 3 AB .

? 在正△ ABC 中, AD ?

AC ,? AD ? BE ,

又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,
? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,

即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. …………………………(5 分) (Ⅱ)解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?
? AE ? ? AD ?
2 3 1 3 AB ,? AG ? GE ? AC ? 2 3 1 3 AB ? 2 3 1 2 AE .



, ?DAE ? 60? ,

? △AGD 为正三角形, ? GD ? AG ? AD ?

2 3

,即 GA ? GE ? GD ?

2 3


2 3

图6

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

.
2 3

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为

.…(10

分) 2 . (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解)【选修 4-1:几何 ) 选讲】 如图 4,已知 AB, CD 是圆 O 的两条平行弦,过点 A 引圆 O 的切线 EP 与 DC 的延长线

1

? 交于点 P , F 为 CD 上的一点,弦 FA, FB 分别与 CD 交于点 G , H .
(1)求证: GP ? GH ? GC ? GD ; (2)若 AB ? AF ? 3GH ? 9 , DH ? 6 ,求 PA 的长.
A B O H D F G C P

【答案】 【选修 4? 1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:∵ PE 与圆 O 切于点 A , ∴ ?EAB ? ?BFA , ∵ AB // CD , ∴ ?EAB ? ?APD . 在 △HGF 和 △AGP 中, ?
? ? HFG ? ? APG , ? ? HGF ? ? AGP ,

∴ △HGF ∽ △AGP , ∴ GH ?GP ? GF ?GA . 又∵ GC ?GD ? GF ?GA , ∴ GP ?GH ? GC ?GD . (Ⅱ)解:∵ AB ? AF , ∴ ?ABF ? ?AFB ? ?APH . 又∵ AB // CD , ∴四边形 ABHP 为平行四边形, ∴ AB ? PH ? 9 , ∴ GP ? PH ? GH ? 6 , ∴ GC ?
GP ?GH GD ? 6?3 9 ?2,

∴ PC ? 4 . ∵ PA 是⊙ O 的切线, ∴ PA2 ? PC ? PD , PA ? 2 15 . 3 . (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)如图 7,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交 圆于 A 、 两点, 连接 PA 并延长, 交圆 O 于点 C , PB 交圆 O 于点 D , MC ? BC . 连 若 B (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

2

【答案】 (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, ∴ MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB, ∴
PN NB ? NA PN ,

又∵ ?PNA ? ?BNP, ∴ △PNA ∽ △BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA, ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB, ∴ △ APM ∽ △ ABP . 分) (Ⅱ)∵ ?ACD ? ?PBN , ∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵ △ APM ∽ △ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?MCP ? ?DPC , ∴ MC // PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形. ……………………………………………………(10 分) 4 . (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考 数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 为圆 O 的直径, P 为圆 O 外一点 ,过 P 点作 PC ⊥ AB 于 C ,交圆 O 于 D 点, PA 交圆 O 于 E 点, BE 交 PC 于 F 点. (Ⅰ)求证: ?P ? ?ABE ;(Ⅱ)求证: CD ? CF ? CP .
2

…………………………………………………………………(5

3

【答案】

5 . (贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学) (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明 选讲》 如下图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的切线 交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (I)求 AC 的长; (II)求证:BE=EF.

【答案】 (满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》

4

解: (I)? PA 2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,…(2 分) 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB,
? ?PAC ∽ ?CBA ,?

PC AC

?

AC AB

,…………(4 分)
2

? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ?

…………(5 分) …………(8 分) …………(10 分)

(II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF ,
? EF ? 2 ?1 2 ? 2 ,? EF ? BE .

6 .【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)如图,已知 PA 与圆 ( O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C, ?APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E, (Ⅰ)证明: ?ADE ? ?AED ;

A E D C O B P

PC (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值。 PA
? 【答案】 (1) PA 是切线, 是弦, ?BAP ? ?C 解: ? AB


? ?APD ? ?CPE ,? ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE

? ?ADE ? ?BAP ? ?APD, ?AED ? ?C ? ?CPE ? ?ADE ? ?AED
(2)由(1)知 ?BAP ? ?C , 又 ? ?APC ? ?BPA,

(5 分)

? ?APC ~ ?BPA ,

PC PA

?

CA AB

,? AC ? AP,? ?APC ? ?C ? ?BAP,
?

由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180 ,

? BC 是圆 O 的直径,? ?BAC ? 90 ? ,

? ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180 ? ? 90 ? ? 90 ? , ? ?C ? ?APC ? ?BAP ? 30 ?
5

CA PC CA 在Rt?ABC中, ? 3 ,? ? ? 3 AB PA AB

(10 分)

7 . (甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学(理) )如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4, 点 C 平分弧 AE,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D, 交 AE 于 F. (Ⅰ)求证: CE 2 ? AE ? AF ; (Ⅱ)若 AE 是 ?CAB 的角平分线,求 CD 的长.
E C

F A D O B

【答案】解:

8 . (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学 (理) 试题) ?ABC 在 中,AB=AC,过点 A 的直线与其外接圆交于点 P,交 BC 延长线于点 D。 (1)求证:

PC AC

?

PD BD



(2)若 AC=3,求 AP ? AD 的值。

【答案】 (1) 证明:连结 BP,∵四边形 ABCP 内接于圆,

6

∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA ∴△PCD~△BAD ∴

PC BA

?

PD BD PD BD
(5 分)

又∵AB=AC ∴

PC AC

?

(2)连结 BP。∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB 又∵四边形 ABCP 内接于圆 ∴∠ACB=∠APB 从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD ∴△PAB~BAD ∴

PA BA

?

AB AD
2

∴ AP ? AD ? AB
2

2

又∵AB=AC=3 ∴ AP ? AD ? AB = AC ? 9

(10 分)

9 . (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲 如图, BA 是圆 O 的直径, C 、 E 在圆 O 上, BC 、 BE 的延长线交直线 AD 于点 D 、

F , BA 2 ? BC ? BD .求证:
(Ⅰ)直线 AD 是圆 O 的切线; (Ⅱ) ?D ? ?CEF ? 180 .
?

D

C

E

F
A

B

·

O

【答案】证明:(Ⅰ)连 AC ,∵ BA 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90 ? , ∵ BA 2 ? BC ? BD ,∴

BA BC

?

BD BA

,

又∵ ?ABC ? ?DBA ,
7

∴ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAD ? ?ACB ? 90 ? , ∵ OA 是圆 O 的半径, ∴直线 AD 是圆 O 的切线

D

C

E

F
A

B

·

O

(Ⅱ)方法一:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∵ ?BEC ? ?CEF ? 180 ? , ∴ ?D ? ?CEF ? 180 ? 方法二:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∴四点 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆, ∴ ?D ? ?CEF ? 180 ? 10. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学) (本小题满分 10 分)选 修 4—1: 几何证明选讲如图, 已知 PE 切⊙ O 于点 E , 割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点, ∠ APE 的平分线和 AE , BE 分别交于点 C , D . 求证: (1) CE ? DE ; (2)

CA CE

?

PE PB

.

【答案】解: (1)? PE切 ⊙ O 于点 E ,? ?A ? ?BEP ------2 分

? PC 平分 ?APE ,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ------4 分 ? ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ? ?ECD ? ?EDC ,? EC ? ED
------5 分
8

(2)? ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE ------6 分

? ?BPD ? ?EPC ,? ?PBD ∽ ?PEC ,?
同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PE PB

?

PC PD

------7 分

PC PD

?

CA DE

------8 分

?

PE PB

?

CA DE

------9 分

? DE ? CE , ?

CA CE

?

PE PB

------10 分

9

11.贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题)本小题满分 10 分)选修 4—1: ( ( 【 几何证明选讲】 如图 6 ,已知⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A 、 B 两点,过点 A 作⊙ O1 的切线交⊙O2 于点 C , 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙ O1 、⊙ O2 于点 D 、 E , DE 与 AC 相交于点 P . (I)求证: AD // EC ; (II)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA ? 6, PC ? 2 ,
A O1 O2 P B C E

BD ? 9 ,求 AD 的长.

【答案】解: (I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵PA=6,PC=2, ∴xy=12 ①

D

图6 ·················· 5?

∵AD∥EC,∴ =

PD AP 9+x 6 ,∴ = PE PC y 2
?x=3 ? ? ?y=4



由①、②解得?

(∵x>0,y>0)

∴DE=9+x+y=16, ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD =DB·DE=9×16,∴AD=12.
2

10?

12. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)如图,在 ?ABC 中,

CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 AC ,
(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
A D C E B

【答案】证明:(1)连接 DE, ∵ACDE 为圆的内接四边形. 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即 ∴∠BDE=∠BCA

BE BA

?

DE CA

10

而 AB=2AC ∴BE=2DE 又 CD 是∠ACB 的平分线 ∴AD=DE 从而 BE=2AD.

13. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的 外接圆,AB =AC,延长 BC 到点 D,使 CD =AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交 于点 F。 (I)判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由; (Ⅱ)若 AE =6,BE =8,求 EF 的长。









14. (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AD 是⊙O 的直径,AB 是⊙O 的切线,M, N 是圆上两点,直线 MN 交 AD 的延长线于 点 C,交⊙O 的切线于 B,BM=MN=NC=1,求 AB 的长和⊙O 的半径.

11

【答案】选修 4-1:几何证明选讲 解 析 :∵AD 是 ⊙O 的 直 径 ,AB 是 ⊙O 的 切 线 , 直 线 BMN 是 ⊙O 的 割 2 线,∴∠BAC=90°,AB =BM·BN. ∵BM=MN=NC=1,∴2BM =AB ,∴AB= 2 2 2 2 2 ∵AB +AC =BC ,∴2+AC =9,AC= 7. 2 ∵CN·CM=CD·CA,∴2=CD· 7,∴CD= 7. 7 1 5 ∴⊙O 的半径为 (CA-CD)= 7 2 14 15. (贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)选修 4-1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E,D,连接 EC, CD. (I)求证:直 AB 是⊙O 的切线; (II)若⊙O 的半径为 3, tan ? CED ?
2 2

1 2

,求 OA 的长.

【答案】证明:(Ⅰ)如图,连接 OC , Q OA ? OB , CA ? CB ,? OC ? AB

Q OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线
(Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?ODC ,??BCD ? ?E , 又?CBD ? ?EBC ,

? ?BCD ∽ ?BEC ,?
tan ?CED ? CD EC ? 1

BC BE
,

?

BD BC

? BC 2 ? BD ? BE ,

?BCD : ?BEC ,

2 BD BC

?

CD EC

?
2

1 2
2

设 BD ? x, 则BC ? 2 x, Q BC ? BD ? BE ? (2 x ) ? x ( x ? 6) ? BD ? 2

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5

12


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