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电动力学第一章第一节第二节finalversion


电动力学
任课教师: 任课教师 赵彦立 办公室: 办公室 武汉光电国家实验室B204 Email: yanlizhao@mail.hust.edu.cn Tel: 027-87792242-804
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√ √

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2

第一章第一节

矢量代数与张量初步
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§1

矢量代数与张量初步
A
A被称为矢量 A的模


? ? 一 矢量定义 A = AA, A = A, A = A

举例矢量加法的物理意义:比如分力合力等。 举例矢量加法的物理意义:比如分力合力等。
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§1

矢量代数与张量初步

举例说明矢量点积的物理意义: 举例说明矢量点积的物理意义:如果把一个矢量理解为作用 另一个矢量是距离,则矢量点积的意义就是功。 力,另一个矢量是距离,则矢量点积的意义就是功。
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§1

矢量代数与张量初步

矢量叉积的几何意义:其大小为平行四边形 矢量叉积的几何意义: 的面积, 的面积,方向符合右手螺旋规则

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A被称为矢量 A的模



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§1

矢量代数与张量初步

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7

§1

矢量代数与张量初步

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这些性质的严格推导不要求掌握!! 这些性质的严格推导不要求掌握!!! !!

c ? (a ×b)
c ×(a ×b)
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含义如何?

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c ? (a ×b)
矢量的混合积 标量

c ? (a ×b)
b ? (c × a)

a ×b

矢量大小为平行四边形面积 大小为平行六面体体积
把三个矢量按循环次序轮换, 把三个矢量按循环次序轮换, 其积不变;若只把两矢量对调, 其积不变;若只把两矢量对调, 其积差一负号。 其积差一负号。

a ? (b ×c)

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c ×(a ×b)
c × (a ×b) = f ,
x分量 分量

a ×b = d,

d ⊥ a, b
f ⊥ c, d

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c ×(a ×b) = (c ? b)a ? (c ? a)b

= a1 (c ? b ) ? b1 (c ? a )

= a1 (c2 b2 + c3 b3 ) ? b1 (c2 a 2 + c3 a 3 )

= c2 (a1b2 ? a 2 b1 ) ? c 3 (a 3 b1 ? a1b3 )

f1 = c2 d 3 ? c3 d 2

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第一章第二节

矢量的微分
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矢量代数中的两个重要公式 混合积 双重矢量积 矢量微分 ? dA ? dA dA =A +A dt dt dt

d( A? B) dB dA = A? + ? B dt dt dt

注意顺序 不能颠倒

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d( A× B) dB dA = A× + × B dt dt dt 15

场的概念
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量, 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量,或 若在一定空间中的每一点, 说:若在一定空间中的每一点,都对应着某个物理 量的确定值,就说在这空间中确定了该物理量的场。 量的确定值,就说在这空间中确定了该物理量的场。 强度场、速度场、引力场、电磁场。 如:强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述:

?标量场 ?(x, y, z, t) = ?(x, t) ? ? ?矢量场 A(x, y, z, t) = A(x, t) ?

稳恒场(稳定场、静场) 稳恒场(稳定场、静场):场与时间无关 变化场(时变场) 变化场(时变场):场函数与时间有关
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为了细致刻划标量场和矢量场的空间分布特性, 为了细致刻划标量场和矢量场的空间分布特性,在场 论中引进了梯度、散度和旋度三个重要概念: 论中引进了梯度、散度和旋度三个重要概念:
已知场函数的梯度、 散度、 旋度可以确定场函数, 已知场函数的梯度 、 散度 、 旋度可以确定场函数 , 这是电 动力学求解电磁场的主要方法; 动力学求解电磁场的主要方法;

已知场函数可以了解场的各种性质: 随时空的变化关系 已知场函数可以了解场的各种性质 : 旋度) (梯、散、旋度)。

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在空间任意靠近两点标量场函数? 的全微分: 的全微分:

在空间某点的任意 ? ? ? ?? d? = ?ex + ey + ez ?? ? d ? =?? ? d ? 方 向 上 , 导 数 有 无 ?y ?z ? ? ?x 穷多个,其中有一 其中, 其中,

?? ?? ?? d? = dx + dy + dz ?x ?y ?z

d ? = dxex + dyey + dzez

d? =?? ? el = ?? cosθ d?
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个值最大,这个方 向导数的最大值定 义为梯度: 义为梯度:

cos(θ ) = cos(?φ , el )

grad φ = ?φ
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梯度的意义:空间某点标量场函数的最大变化率, 梯度的意义:空间某点标量场函数的最大变化率,
刻画了标量场的空间分布特征. 刻画了标量场的空间分布特征. ? 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数; 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数; ? 等值面:?(x) = 常数的曲面称为等值面; 等值面: 常数的曲面称为等值面; ? 梯度与等值面的关系:梯度与等值面垂直。 梯度与等值面的关系:梯度与等值面垂直。

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矢量场的散度

∫ divf = lim
?V →0

f ? dS ?V

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-fx(x,y,z)dydz

fx(x+dx,y,z)dydz

x

x+dx

沿x和x+dx两个面的通量 和 两个面的通量

∫f

x

? dSx = [ f x ( x + dx, y, z) - f x ( x, y, z)]dydz = =
?f x ?x ?f x ?x

dxdydz dV
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类似处理沿y和 类似处理沿 和y+dy两个面的通量 两个面的通量 和沿z和 和沿 和z+dz两个面的通量 两个面的通量

∫ f ? dS = ∫ f
=(
?f x ?x

x

? dSx + ∫ f y ? dSy + ∫ fz ? dSz
?f y ?y

+

+

?f z ?z

)dV

∫ f ? dS divf = lim
?V →0
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?V ?f x ?f y ?fz = + + ?x ?y ?z

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矢量场的散度

?f x ?f y ?fz + ?? f = + ?x ?y ?z
积分变换公式


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f ? dS = ∫ ?? f dV
V
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矢量场的旋度

(rotf )n

∫ = lim
?S→0

f ? dl ?S

围绕? 的闭合曲线的法线方向 围绕?S的闭合曲线的法线方向

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积分环路投影到yz平面 积分环路投影到 平面
fz(x,y,z+dz) fz(x,y,z)

z
?dy ?dz
dy

dz

y fy(x,y+dy,z)

fy(x,y,z) x

∫ f ? dl = f ( x, y, z)dy + f ( x, y + dy, z)dz
z y

? fz ( x, y, z + dz)dy ? f y ( x, y, z)dz

? ?fz ?f y ? =? ? ?y ? ?z ?dydz ? ? ?

(rotf )x
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∫ f ? dl =
dydz

yz

?fz ?f y = ? ?y ?z

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rot f = ?× f ? ?fz ?f y ? ? ?f y ?f x ? ? ?f x ?fz ? ? ?ey + ? = ? ? ?ex + ? ? ?ez ? ?y ?z ? ? ?x ?y ? ?z ?x ? ? ? ? ? ?

ex ?× f =
? ?x

ey
? ?y

ez
? ?z

fx

fy

fz

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f ? dL = ∫ (?× f ) ? dS
S

28

例1:?r =?

r = r = ?( x ? x′) + ( y ? y′) + ( z ? z′) ? ? ?
2 2 2

1 2

?r 1 1 x ? x′ 解:∵ = ? 2(x ? x′) = ?x 2 r r



?r y ? y′ ?r z ? z′ = , = r ?z r ?y x ? x′ y ? y′ z ? z′ r ?r = ex + ey + ez = r r r r


r ?r = r
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例2: ?(?ψ ) =?

解: ∵

?(?ψ ) ?ψ ?? =? + ψ ?x ?x ?x
?(?ψ ) ?ψ ?? =? + ψ ?z ?z ?z

?(?ψ ) ?ψ ?? =? + ψ ?y ?y ?y

? ?ψ ?ψ ?ψ ? ? ?? ?? ?? ? ?(?ψ) = ? ex + ey + ez ?? + ? ex + ey + ez ?ψ = ??ψ +??ψ ?y ?z ? ? ?x ?y ?z ? ? ?x
这里利用了

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?(?ψ ) = ??ψ + ψ??

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关于梯度、散度和旋度的一些公式: 关于梯度、散度和旋度的一些公式:

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33

思考题: 思考题:

? × ( f A) = ?



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? × A f ) = ? f × A f ) ? A × A f ) ( ? f f ) × A+ ( ? A × A) f ( ( + ( = = (? × A) f ? A× (?f )
→ →











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见36页 页

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见上一页

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作业: 作业:
电动力学 P45页 1-3

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