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斜率公式K=y2y1/x2x1在解题中应用


斜率公式K=y2y1/x2x1在解题中的应用 过两点 p ? 1(x ? 1,y ? 1) p ? 2(x ? 2,y ? 2)的直线的斜率 k=y2-y1x2-x ? 1,这一公式在直线方程中是非常基础和重要的,因 为直线方程的几种形式是在它的基础上推导而来的,因此,师生们 对这个公式非常熟悉,但却忽视了它在解题中的作用。在解题中运 用这个公式,有时会简化计算过程,优化解题方法,提高解题速度。 本文就公式解题应用中的几个方面进行探讨: 1.在解决与共线有关的问题中的应用 例 1)过点 p(2,0)的所有直线中,通过两个不同的有理点(两点的坐 标均为有理数)的直线的条数是()。 a.有且仅有一条 b.至少有两条 c.有无穷多条 d.不存在这样的 直线 解 ∵p(2,0)在 x 轴上,故 x 轴是符合条件的直线。设存在另一条 直线过两个不同的有理点 p ? 1(a ? 1,b ? 1) p ? 2(a ? 2,b ? 2) 在同一直线上,则 k ?? p1p ?=b ? 1a ? 1-2=k ?? p1p2 ?=b ? 2-b ? 1a ? 2-a ? 1 ∈q∴b ? 1k ? 1p ? 2=(a ? 1-2)∈q,2=(a ? 1-b ? 1k ? 1p ? 2)∈q,这与 2 无理数矛盾,选 a。 例 2)如图,在椭圆 x2a2+y2b2=1 上任一点 m,m 与短轴两端点 b ? 1b ? 2 连线交 x 轴于 n,k, 求证:︳0n ︳ ︳0k ︳为定值。 证明:设 k 点坐标(x ? k,0)n 点 坐标(x ? n,0),m 的参数坐标为(acosθ ,bsinθ )由椭圆方程 b ? 1(0,-b)b ? 2(0,b), ∵b ? 1、n、m 在同一直线上,∴kb ? 1m+kb ? 1n 即=bsinθ -(-b)acosθ -0=0-(-b)x ? n-0, x ? n=acosθ 1+sinθ ,又∵b ? 2、m、k 在同一直线上,由 kb ? 2m+kb ? 2k 同理 可得 x ? k=acosθ 1-sinθ ,∴ ︳0 k ︳ ︳0 n︳=︳x ? n x?k ︳=︳acosθ 1+sinθ ︳acos θ 1-sinθ =a2。和共线有关的这一类 问题,经常利用斜率相等作为解题的突破口,而斜率相等是由 k= y2-y1x2-x ? 1 来实现的,由此可列出有关的计算式。 2.在有关求轨迹问题中的应用 2.1 求平行弦中点轨迹中的应用 (例 3)求斜率为 1 的圆 x2+y2=4 的一组平行弦的中点轨迹。 解:设弦的两端点 a(x ? 1,y1)b(x2,y2),ab 的中点为 m(x,y),则 x=x ? 1+x22y=y1+y22 。∵又 a、b 在圆上 ∴x ? 12+y12=4 ① x22+y22=4②,①-②得:(x ? 1+x2)(x ? 1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 变形:y1-y2x ? 1-x2=x ? 1+x2y1+y2 。由已知条件 k=1=y1-y2x ? 1-x2∴yx=-1 即 y=-x, 所以轨迹是圆的弦的中点,故平行弦中点轨迹是 y=-x 在圆内的一 段。 2.2 求过定点弦的中点轨迹的应用 例 4 求抛物线 y2=4x 的经过焦点的弦的中点的转迹方程。 解:设弦端点为 a(x ? 1,y1)b(x2,y2),ab 的中点为 m(x,y),则 2x= x ? 1+ x2,2 ? y=y1+y2.又 ∵a、b 在抛物线上,∴y12=4x ? 1① , ②-①得:

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