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河北省衡水中学2013届高三下学期寒假自主提升测试数学理 PDF版答案13高三寒假自助提高数学试题理答案_图文

A1

z

2012—2013 学年度高三第二学期寒假自主提升验收考试 数学试卷(理科)答案
一、选择题:DADAD 二、填空题:13.48 CBDDC AC
2

平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC , 且 A1O ? 平面 AA1C1C ,所以 A1O ? 平面 ABC . 以O为原点, OB, OC , OA1 所在直线分别 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.…………1 分 由题意可知, A1 A ? A1C ? AC ? 2, 又 1 AB ? BC , AB ? BC ,? OB ? AC ? 1, 2 所以

C1 B1

A

O

C

y

20 5 ? 14. 3

1? 1 ? 15. ? x ? 1? ? ? y ? ? ? 2? 2 ?
2

B

x

16.2101

O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C (0,1,0), C1 (0, 2, 3), B(1,0,0)

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(Ⅰ)因为 sin

则有: A1C ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0) . ············ 2 分 设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有
? ? 3 ?n ? AA1 ? 0 ? y ? 3z ? 0 ?? ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?

?ABC 3 1 1 ? ,所以 cos ?ABC ? 1 ? 2 ? ? . ······· 2 分 2 3 3 3 在 ?ABC 中,设 BC ? a, AC ? 3b , 4 2 2 则由余弦定理可得 9b ? a ? 4 ? a ① ··············· 4 分 3 16 4b 2 ? ? 4 3 在 ?ABD 和 ?DBC 中,由余弦定理可得 cos ?ADB ? , 16 3 b 3 16 b2 ? ? a2 3 cos ?BDC ? . 因为 cos ?ADB ? ? cos ?BDC , 8 3 b 3 16 16 4b 2 ? ? 4 b2 ? ? a 2 2 2 3 3 所以有 ,所以 3b ? a ? ?6 ② ?? 16 3 8 3 b b 3 3 由①②可得 a ? 3, b ? 1 ,即 BC ? 3 . ·················· 9 分

3 ) . ························ 4 分 3 ? x0 ? 1 ? ? ? 设 E ? ( x0 , y0 , z0 ), BE ? ? BC1 , 即 ( x0 ? 1, y0 , z0 ) ? ? (?1, 2, 3) ,得 ? y0 ? 2? ? ? z0 ? 3?

所以 n ? (?1,1, ?

所以 E ? (1 ? ? , 2? , 3? ), 得 OE ? (1 ? ? , 2? , 3? ), 由已知 OE // 平面 A1 AB , 1 得 OE ? n = 0 , 即 ?1 ? ? ? 2? ? ? ? 0, 得 ? ? . 2 即存在这样的点 E , E 为 BC1 的中点. ················· 6 分 (Ⅱ)由法二,已知 A1 B ? (1,0,? 3 ), A1C1 ? (0,2,0) ,设面 A1 BC1 的法向量为

m ? ( a , b , c ) ,则 ? m
令c ?

? m ? A1 B ? 0 ?m ? ? ?a ? 3 c ? 0 2b ? 0 ? ? m ? A1C1 ? 0 ?m
m · m ?n n



m ? (3,0, 3 ) .··················· 8 分 3 ,所以m

m ,n 所以 cos < m n >=

1 2 2 2 2 ? 2 2 ,所以 ?DBC 的面积为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ABC 的面积为 ? 2 ? 3 ? . 12 分 2 3 3
(18)解: (Ⅰ) E 为 BC1 中点. 证法一:取 BC 中点 F ,连接 OF , EF . 所以可得 OF // AB, EF // BB1 ,所以面 OEF // 面 A1 AB . 所以 OE // 平面 A1 AB . ························ 6 分 证法二:因为 A1 A ? A1C ,且O为 AC 的中点,所以 A1O ? AC .又由题意可知,
高三数学下学期寒假自助复习试题 (理科) 第1页(共 6 页)

mm



? 3 ?1 2 7 =. ··········· 12 分 7 7 12 ? 3

19.(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A, 则 P ( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5

1 2

2 3

2 3

1 ………………………………4 分 18

1 2 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) 4 (1 ? ) ? , 2 3 48
高三下学期寒假自助复习数学试题(理科) 第2页(共 6 页)

1 1 2 1 2 1 (1 ? )3 (1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? , 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C4 ( ) 2 (1 ? ) 2 (1 ? ) ? C4 (1 ? )3 ? , 2 2 3 2 2 3 24 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 P(? ? 3) ? C4 ( ) (1 ? ) (1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) 2 ? , 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 P(? ? 4) ? ( ) 4 (1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? , 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P(? ? 5) ? ( ) 4 ? , ……………………………………………………………9 分 2 3 24 所以随机变量 ? 的分布列如下:
1 P(? ? 1) ? C4

∵点 P 在椭圆上,∴
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ? 2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2

∴ 16k ? t (1 ? 2k ) . ························ 8 分

?
P

0

1

2

3

4

5

1 48

1 8

7 24

1 3

3 16

1 24
………………………10 分

1 1 7 1 3 1 8 ?1 ? 2 ?3 ?4 ?5 ? ………………………12 分 故 E? ? 0 48 8 24 3 16 24 3 c 2 c2 a 2 ? b2 1 2 ? . (20)解: (Ⅰ)由题意知 e ? ? , 所以 e ? 2 ? a 2 a a2 2 2 2 2 ? 1 ,所以 a 2 ? 2 , b 2 ? 1 . 即 a ? 2b . 又因为 b ? 1?1 2 x ? y 2 ? 1 . ··················· 4 分 故椭圆 C 的方程为 2 (Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在.
设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

2 5 20 2 5 2 2 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? 3 9 3 4 2 64k 8k ? 2 20 ∴ (1 ? k 2 )[ ?4 ]? , 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 9 1 2 2 2 ∴ (4k ? 1)(14k ? 13) ? 0 ,∴ k ? . ················· 10 分 4 1 1 16k 2 8 2 2 2 2 2 ∴ ? k ? ,∵ 16k ? t (1 ? 2k ) ,∴ t ? , ? 8? 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 6 2 6 ?t ? 2, ∴ ?2 ? t ? ? 或 3 3 2 6 2 6 )?( ,2) . ·············· 12 分 ∴实数 t 取值范围为 ( ?2,? 3 3 (注意:可设直线方程为 my ? x ? 2 ,但需要讨论 m ? 0 或 m ? 0 两种情况)
∵ PA ? PB < 21(Ⅰ)当 a ? 1 时, g ( x) ? x ? 3x ? ln x , g ?( x) ?
2

2 x 2 ? 3x ? 1 ?0 x

1 1 。函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ), (1,??) ……………… 3 分 2 2 2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x ,

x ? 1或 x ?

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2 1 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? . ·············· 6 分 2 2 2 8k 8k ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 x ? x2 8k 2 ∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? 1 , ? t t (1 ? 2k 2 ) y ?y 1 ?4k . y ? 1 2 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )
高三数学下学期寒假自助复习试题 (理科) 第3页(共 6 页)

a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a) ? ? ?0 x x x 当 a ? 1, x ? ? 1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ( x) min ? ?2a 当 1 ? a ? e , x ? (1, a), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减. x ? (a, e), g ?( x) ? 0, g ( x) 单调增。 g ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?
g ( x) min ? g (a) ? ?a 2 ? a ? a ln a
当 a ? e , x ?? 1, e?, g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x) min ? g (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a
2

? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ………………………………………… 8 分 ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

? x ? ?2,??? ,

1 2 ( x ? 1) , 4 2 ? x2 h?( x) ? ?0 2x

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4

即 ln x ?

1 2 ( x ? 1) 4

高三下学期寒假自助复习数学试题(理科) 第4页(共 6 页)

?

1 4 1 1 ? ? 2( ? ) ln x ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?1 n n 1 1 1 1 1 k ? f (k ) ? ln k , ? ?? ? ? ?? ? ln 2 ln 3 ln n k ?2 k ? f (k ) k ? 2 ln k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2(1 ? ? ? )? 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 3n 2 ? n ? 2 ……………………………………… 12 分 (n ? 2) n(n ? 1)

所以公共弦长为 2 4 ?

5 ? 11 . ··················· 10 分 4

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:原式等价于

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (Ⅰ)过点 P 作两圆公切线 PN 交 AB 于 N ,由切线长定理得

NP ? NA ? NB ,∴△PAB 为直角三角形.
(Ⅱ)∵ AB ? AC ? AP ? AE , ∴

………… 4 分

AB AE ? ,又 ?PAB ? ?EAC , AP AC
0

b |a ? b| ? |a ? 2b| ? |x ? 1| ? |x ? 2 | ,设 ? t , a |a| 则原式变为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 对任意 t 恒成立. ······ 2 分 1 ? 3t ,t ? ? 2 ? 1 3 1 ? 因为 | t ? 1 | ? | 2t ? 1 |? ?? t ? 2 ,?1 ? t ? ,最小值为 t ? 时取到,为 . · 6 分 2 2 2 ? ? 3 t , t ? ? 1 ? ? ? ? 3 3 9 ?2 x ? 3,x ? 2 所以有 ≥ x ? 1 ? x ? 2 ? ? 1,1<x<2 , 解得 x ? [ , ] . ········ 10 分 2 4 4 ? ? 3 ? 2 x,x ? 1

∴ ?PAB ∽ ?CAE ,∴ ?ECA ? ?APB ? 90 , 即 AC ? EC .
2

………… 7 分

由切割线定理, AB ? AP ? AD ,∴ AB ? 5, PB ? 3, PB : PA ? 3 : 4 ? EC : AC , ∴

EC 3 ? . AC 4

………… 10 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:曲线 ? y ? sin α

? x ? 4 cos α ?

( ? 为参数)上的每一点纵坐标不变,

横坐标变为原来的一半得到 ? y ? sin α

? x ? 2 cos α ?

, ················ 1 分

然后整个图象向右平移 1 个单位得到 ? ?

x ? 2 cos α ? 1 , … … … … … … … … … … … … 2 分 ? y ? sin α

最后横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?
2 2

? x ? 2 cos α ? 1 , ······ 3 分 y ? 2 sin α ?

所以 C1 为 ( x ? 1) ? y ? 4 , ······················ 4 分
2 2 又 C2 为 ? ? 4 sin ? ,即 x ? y ? 4 y , ················· 5 分

所以 C1 和 C2 公共弦所在直线为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 , ············· 7 分 所以 (1,0) 到 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 距离为

5 , 2
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