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云南师大附中2013届高考适应性月考卷(一)理数答案

云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(一) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B
?R

2 A

3 C

4 D

5 B

6 C

7 A

8 D

9 C

10 A

11 B

12 C

【解析】 1.? 全集 U

, M ? ? x | x ≤ 1? , N ? ? x | ? 2 ? x ? 2? , ,选 B. ,选 A. ,可得 2 | i | | j | co s ? ? | i | 2 ? 0 ,得 2 cos ? ? 1 ? 0 ,
? ? ?
2i 1? i

? ( ? U M ) ? N ? ? x | 1 ? x ? 2?

2.? 2i ? (1 ? i) ?
? 3.设 i
? ,j

? i(1 ? i) ? 1 ? i

? ? ? 的夹角为 ? ,则由 ( 2 j ? i ) ?i ? 0

又 ? ? (0, π ) ,所以 ? ?

2π 3

,选 C.
?5 ?2 ? ,3 ? ?

4.数形结合法,在同一坐标系中画出 y ? ln x, y ? ? 2 x ? 6 的图象,估计零点在(1,3)之间, 进一步验证 ln
5 2 ? 1,? 2 ? 5 2 ? 6 ?1

,从而确定零点在 ?

,选 D.

5.由倍角公式直接求得
π? π? 2π ? π? ? ? ? ? co s ? 2 ? ? ? ? ? co s ? 2 ? ? π ? ? ? ? co s ? 2 ? ? ? ? ? co s 2 ? ? ? ? 3? 3? 3 ? 3? ? ? ? ?
π? 1 7 2 ? ? ? 2 co s ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 3? 8 8 ?
0 0 1

,选 B.

6. k ? 0, S ? 0, S ? 2 0 , k ? 1, k ? 25 ? 否
k ? 1 , S ? 2 , S ? 2 + 2 , k ? 2 , k ? 25 ? 否 k ? 2 , S ? 2 + 2 , S ? 2 + 2 + 2 , k ? 3 , k ? 25 ? 否
0 1 0 1 2

k ? 3 , S ? 2 + 2 + 2 , S ? 2 + 2 + 2 + 2 , k ? 4 , k ? 25 ? 否
0 1 2 0 1 2 3


k ? 25 , S ? 2 + 2 + 2 + ? + 2 , S ? 2 + 2 + 2 + ? + 2
0 1 2 24 0 1 2 24

+ 2 , k ? 26 , k ? 25 ? 是
25

输出 S

? 2 +2 ? 2 ? ? ? 2
0 2

25

?

1(1 ? 2

26

)

1? 2

? 2

26

?1,

选 C.
1 2 2 3 2 4 2

7.命题 p 真,命题 q 假,选 A. 8.特值法,并考虑到 y 9.由题意知,
1 2

? 2 ,y ? x
x

2

的增长速度,因为


2 1 π

2

? 2



2 2

?1,

2 3

?

8 9



2 4

? 1 ,选 D.

T ? 2012

,即
?1?

1 2

?
1 1 2

?
1 x

? 2012

,?
1

?

,选 C. ,P
? 1 ? ln 2 2

2012
1 2

10.? 阴影部分的面积 E
???? ?
2

?

d x ? 1 ? ln x

? 1 ? ln 2

,选 A.
??? ?

11.由 | A M |? 1 可知,点 M 的轨迹为以点 A 为圆心,1 为半径的圆,过点 P 作该圆的切线,则
| P A | ?| P M | ? | A M |
2 2

,得 | P M |2 ? | P A |2 ? 1 ,? 要使得 | P M | 的值最小,则要 | P A | 的值最
理科数学参考答案·第 1 页(共 6 页)

???? ?

小,而 | P A | 的最小值为 a ? c ? 4 ,此时 | P M |? 1 5 ,故选 B. 12.数形结合法,题意是 f ( x ) 的图象上有几对点关于原点对称,因为 P ( x, y ) 关于原点对称的 点 Q 的坐标为 Q ( ? x,? y ) ,在同一坐标系中画出 y ? 2 x , y ? ? x 2 ? 2 x 的图象可看出有两个 交点,选 C.

??? ?

???? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13. 它是一个横放的直棱柱, V 14.总的取法 n
? C 5 ? 10
3

13 2

14
2 5

15
3 4

16
?1 5? ? , ? ?4 8?

? Sh ?

1 2

?1? 2 ? 2 ? 2



,取出的三个球标号之和为奇数的有两种情况:三个都是奇数;两个
? 4 10 ? 2 5
?1 ? ? 4 ,1 ? ? ?

偶数,一个奇数.即 m ? C 3 ? C 2 C 13 ? 4 ,所以 P 3 2

. 时,长度 b ? a 最小,最

15.数形结合法,画出函数 y ? lo g 2 x 的图象,看出当 [ a, b ] ? 小值是
3 4


? ? 1? ?1 ? ? , a ? ? ,1 ? 2? ?2 ?
1 2 1 4 ? a ? 1 2

16.分段讨论思想.分 a ? ? 0, 当 a ? ? 0, ? 时,
? 2? ? 1?

两种情况,
1

f (a ) ? a ?



?

1 2

≤ a?

1 ? ? 1 ? 1 ,由 0 ≤ 2 ? 1 ? ? a ? ? 2 2 ? ? 2



解得

1 4

? a≤

1 2

,所以



当 a ? ? ,1 ? 时, f ( a ) ? 2(1 ? a ) , ? 0 ≤ 2(1 ? a ) ≤ 1 , ?2 ?
若 0 ≤ 2 (1 ? a ) ? 1 2 , 则 2 (1 ? a ) ? 1 2 ≥ 1 2

?1

?

,不满足;
4a ? 2 ? 1 2

若 得

1 2
1 2

≤ 2 (1 ? a ) ≤ 1 ,即
≤ a ? 5 8

1 2

≤ a≤
? a ? 5 8

3 4

,因为 2[1 ? 2(1 ? a )] ? 4 a ? 2 ,由 0 ≤



,综上得

1 4

.也可以画出函数的图象,分析.

三、解答题(共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 { a n } 是首项为 1 的等差数列,所以设 a n ? 1 ? ( n ? 1) d , 因为 a 2
? 1, a 3 ? 1, a 5 成等比数列,所以 ( a 3 ? 1) ? ( a 2 ? 1) a 5
2 2



(2 ? 2 d ) ? (2 ? d )(1 ? 4 d ) ,

理科数学参考答案·第 2 页(共 6 页)

解得 d

?2

, 于是 a n
1

??????????????????????? 分) (6 ? 2n ? 1 .
? 1? 1 1 ? ? ? ?, 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

(Ⅱ) b n ?
Sn ? ?

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 ? n ?1 ? ?= 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1



? Sn ?

n 2n ? 1

.????????????????????????????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格, 事件“从每班抽取的 10 名同学中各抽取一人,至少有一人及格”记作 A , 则 P ( A) ? 1 ?
C 6C5 C 10 C 10
1 2 1 1 1 1

?1?

30 100

?

7 10

. ???????????????????(6 分)

(Ⅱ) X 取值为 0,1,2,3.
P ( X ? 0) ? C6 C 10 P ( X ? 2) ? C6 C 10
1 1 1

?

C5
2

?

2 15

; P(X
1

? 1) ? 16 45

C6 C 10
1

1

?

C 5C 5 C 10
2

1

1

?

C4 C 10 C4 C 10
1 1 1

1

?

C5
2

2

?

19 45


. ???????(8 分)

C 10 ? C5
2 2

C 10 ? C5
2 2

?

C4 C 10
1

?

C 5C 5 C 10
2

1

1

?

; P(X

? 3) ?

?

4 45

C 10

C 10

所以 X 的分布列为
X
P(X )

0
2 15

1
19 45

2
16 45

3
4 45

??????????????????????????????????(10 分) 所以 E ( X ) ?
19 ? 32 ? 12 45 ? 7 5 .

??????????????????????(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解法一: (Ⅰ)证明:? P A ? 平 面 A B C D, B E ? 平 面 A B C D , ? E B ? P A .又 E B ? A B, A B ? A P ? A, A B, A P ? 平 面 P A B ,? E B 又 AF ? 平 面 PAB , ? AF ? BE . 又 PA ? AB ? 1 , F 是 P B 的中点,? A F ? P B , ?? 点 (4 分) 又 ? P B ? B E ? B, P B , B E ? 平 面 P B E , ? A F ? 平 面 P B E . ? P E ? 平 面 P B E, ? A F ? P E . ????????? 分) (6 P (Ⅱ) 如图 1, A 作 A G ? D E 于 G , 过 连结 P G , ? DE ? A , 又 则 D E ? 平面 P A G , 则 ? P G A 是二面角 P ? D E ? A 的平面角, ? P D 与平面 A B C D 所成角是 30? , ? ? P D A ? 30 ? , 又 PA ? AB ? 1 , A B C D 是矩形.
? AD ? 3

? 平 面 PAB



, , , S △ ADE
? 1 2 ? 3 ?1 ? 3 2

? CE ?
? DE ?

2
3



理科数学参考答案·第 3 页(共 6 页)

1 2

D E ?A G ?

3 2

?

1 2

?

3 AG ?
? AG PG

3 2
?

,则 A G
1 2 ? 2 2

? 1 ,? P G ?

2



在 R t △ P A G 中, co s ? A G P



得二面角 P ? D E ? A 的大小为 45? . 解法二:(向量法)

???????????????????(12 分)

(Ⅰ)建立如图 2 所示的空间直角坐标系,则 P ? 0,0,1 ? ,
1 1? ? B ? 0, 1 0 , F ? 0, , ? , ? 2 2? ?
? CE ? 2

,D?

3,0,0

?.

,则 E ?

3?

2,1,0

?,


??? ???? ? PE ? AF ? ( 3 ?

1 1? ? 2,1,? 1) ? ? 0, , ? ? 0 2 2? ?
??

? AF ? PE



???????????????(6 分)
? ? 1, x, y ? ,
2,1,? 1

(Ⅱ)设平面 P D E 的法向量为 m
???? PD ?

?

3,0,? 1

? , PE ? ? ?

??? ?

3 ?

?,


?? ???? ??? ? ?? ? m ? P D ? 0, ? 由 ? ?? ??? 得: m ? 1, 2, 3 ,而平面 A D E 的法向量为 A P ? (0,0,1) ? ? m ? P E ? 0, ? ?? ??? ? 3 3 2 | m ? AP | ? ? ? ? co s ? ? ?? ??? ? ,又 ? ? [0,180 ? ) , 2 | m || A P | 1? 2 ? 3 6

?

得二面角 P ? D E ? A 的大小为 45? . 20. (本小题满分 12 分)

???????????????????(12 分)

解:(Ⅰ)因为函数的定义域为 ? 0, + ? ? ,
f ?( x ) ? 2 x ? a ? 1 x
2

?

2 x ? ax ? 1
2

≤ 0 在 [1,2] 上恒成立,

x

? a ≤ - 1, ? h (1) ≤ 0 , 7 ? 令 h ( x ) ? 2 x ? a x ? 1 ,有 ? 得? 7 得a ≤ 2 ? h (2 ) ≤ 0 , ?a ≤ - , ? 2

.

????????(6 分)

(Ⅱ)? g ( x ) ? ax ? ln x ( x ? (0, e ]) 有最小值 3, 又 g ?( x ) ?
a? 1 x ? ax ? 1 x


4 e

①当 a ≤ 0 时,g ( x ) 在 (0, e ] 上单调递减,g ( x ) min ? g ( e ) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? ②当 a ? 0 时,令 g ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 解得 x ?
1 a
? ? 1? a?

(舍去) ;

1 a

,? g ( x ) 在 ?

?1 ?a

? ,? ? ? ?

上单调递增;令 g ?( x ) ? 0 ,

,? g ( x ) 在 ? 0, ? 上单调递减.
2 ,a ? e , 满足条件. ????????????? (10 分)

?1? ? g ( x ) m in ? g ? ? ? 1 ? ln a ? 3 ?a?

理科数学参考答案·第 4 页(共 6 页)

综上,a ? e 2 时, 使得当 x ? (0, e ] 时 g ( x ) 有最小值 3. ??????????? (12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设动圆 C 的半径为 r , 则由题意有 | C C 1 |?
? C C1 ? C C 2 ? 4
?C
?C

? C 1 :( x ? 1) ? y ?
2 2

1 4

, C 2 :( x ? 1) 2

? y ?
2

49 4



1 2

? r,| C C 2 |?

7 2

?r




?4

的轨迹是以 C 1 ( ? 1,0 ), C 2 (1,0 ) 为焦点, 2 a 的轨迹方程为
x
2

的椭圆,

?

y

2

?1.

????????????????????? 分) (4

4
2 ? x2 y ? ? 1, ? 由? 4 3 ? y ? kx ? m , ?

3

(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ), N ( x 2, y 2 ) ,

消去 y 并整理得 (3 ? 4 k 2 ) x 2 ? 8 km x ? 4 m 2 ? 12 ? 0 . ????????????? 分) (6 ? 直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点,
? ? ? (8 km ) ? 4(3 ? 4 k )(4 m ? 12) ? 0
2 2 2

,即 m 2 ? 4 k 2 ? 3 ,①

又 x1

? x2 ? ?

8 km 3 ? 4k
2

, ????????????????????????? (8 分)
? ? 4 km 3 ? 4k
2

? MN

中点 P 的坐标为 ? ?



? 2 ? 3 ? 4k ? 3m


1?

设 M N 的垂直平分线 l ? 的方程为 y ? ? ? x ? ? ,
k ? 8?

1?

?P
?

在 l ? 上,
3m
2

3 ? 4k

? ?

1? 4 km 1? ? ?, ?? 2 k ? 3 ? 4k 8?

即 4 k 2 ? 8 km ? 3 ? 0 ,
?m ? ? 1 8k ( 4 k ? 3)
2

, ????????????????????????? (10 分)
2 2

将上式代入①得
?k
2

( 4 k ? 3) 64k
2

? 4k ? 3
2



?

1 20

,即 k ?
? ?

5 10

或k ? ?

5 10



?k

的取值范围为 ? ? ? ,? ?

? 5 ? ? 5 ,? ? ? .???????????????(12 分) ??? ? ? 10 ? 10 ? ? ?

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 3,? P A 与圆相切于点 A , ? ? P A D ? ? D C A . ??????????????(2 分) ? AB ∥ CD , ? ? DCA ? ?CAB , ? ? P A D ? ? C A B . ?????????????? (5 分) (Ⅱ)? ? P A D ? ? C A B ? ? D C A ,
? ? ?D ? BC A

,?

AD ? BC

. ???????????(6 分)
理科数学参考答案·第 5 页(共 6 页)

是圆的内接四边形, ? ?PDA ? ?CBA , 又? ? P A D ? ? C A B , ?△ P D A ∽ △ C B A , ??????????????????????????? 分) (8
? ABCD
故 AD AB
2

?

PD BC



. ?????????????????????????? (10 分) 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—4:坐标系与参数方程】
? AD ? AB ? PD

解: (Ⅰ)由 ?

?

π? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ?

得: ? ? co s ? ? sin ? ,

两边同乘以 ? 得: ? 2 ? ? co s ? ? ? sin ? , ?????????????????(3 分)
1? 1? 1 ? ? ? x ? y ? x ? y ? 0 ,即 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 2? 2? 2 ? ?
2 2
2 2

. ?????????????(5 分)

(Ⅱ)将直线参数方程代入圆 C 的方程得: 5 t 2 ? 2 1t ? 2 0 ? 0 , ????????(6 分)
? t1 ? t 2 ? 21 5 , t1 t 2 ? 4

, ????????????????????????? (8 分)
2

? | M N | ? | t1 ? t 2 | ?

( t1 ? t 2 ) ? 4 t1 t 2 ?

41 5

. ????????????????? (10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】
? 2 ? 3 x, x ? 0, ? 解: (Ⅰ) f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 = ? 2 ? x,0 ≤ x ≤ 1, ? 3 x ? 2, x ? 1 . ?

?????????????? 分) (3

当 x<0 时,由 2?3x≤8,得?2≤x<0; 当 0≤x≤1 时,由 2?x≤8,得 0≤x≤1; 当 x>1 时,由 3x?2≤8,得 1<x≤
? ?
10 3

. . ???????????????(5 分)

综上,不等式 f ( x ) ≤ 8 的解集为 ? ? 2, (Ⅱ)因为

10 ? 3 ? ?

? 2 a ? 3 x, x ? 0, ? f ( x ) ? x ? 2 x ? a ? ? 2 a ? x,0 ≤ x ≤ a ? 3 x ? 2 a, x ? a, ?

,?????????????(8 分)

可见 f ( x ) 在 ( ? ? , a ) 单调递减, ( a, + ? ) 单调递增, 在 所以, x ? a 时,f ( x ) 取最小值 a , 当 ? 所以,a 的取值范围是 [6, ? ) . ????????????????????(10 分)

数学命题思想 一、每次考试在选择题及填空题侧重于所复习内容。 二、大题、包括选考题每次考试按照高考考点分布滚动命题,8 次考试将所有知识 点,考点覆盖,达到全程复习、全程备考的目的。

理科数学参考答案·第 6 页(共 6 页)



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