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2.2.2对数函数及其性质(第一课时——对数函数概念、图像、性质)


2.2.2对数函数 及其性质
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复习引入
1. 指数与对数的相互转化 ab=N ? logaN=b.

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2. 指数函数的图象和性质

a>1
图 象
y (0,1) y=ax (a>1) y= 1 x

0<a<1
y=ax (0<a<1) y (0,1) O y= 1 x

O

性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 在R上是减函数 x>0时,ax>1; x>0时,0<ax< x<0时,0<ax<1 1; x<湖南省长沙市一中卫星远程学校 0时,ax>1

x=log2y
如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数就是y=log2x.

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讲授新课
1. 对数函数的定义:

一般的,我们把函数y=logax (a>0

且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量, 函数的定义域为(0,+∞),
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对数函数的结构特征: 一个函数是对数函数必须是形如 y = logax (a>0 ,且 a≠1) 的函数,即必须满足以下条件: (1)系数为 1; (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数; (3)对数的真数仅有自变量 x .

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【练习】 下列函数中,是对数函数的是________. (1)y= loga x(a>0,且 a≠1); (2)y= log2x+2; (3)y= 8log2(x+ 1);(4)y=logx6(x>0,且 x≠ 1); (5)y= log6x.

【解析】

(1)不是.真数是 x,不是自变量 x.

(2)不是.对数式后加 2. (3)不是.真数为 x+ 1,不是 x,且系数为 8,不是 1. (4)不是.底数是自变量 x,不是常数. (5)是.底数是 6,真数是 x.
【答案】 (5)
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例1 求下列函数的定义域:

(1) y ? log a x

2

( 2) y ? log a (4 ? x )

( 3) y ? log a (9 ? x )
2

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2. 对数函数的图象: 通过列表、描点、连线作 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象.
2

y

思 考:

y ? log 2 x
x
y ? log 1 x
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两图象有什么 关系?

O
2

(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是 a>1 还是 0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函 数的底数逐渐变大. (如图 2- 2- 3 所示 )

图 2- 2- 3
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练习:教材P.73:练习1

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练习 教材P.73练习第1题 画出函数 y ? log 3 x 及 y ? log 1 x 的图象,并且说明这两个函数的相 同点和不同点.
3

y

y ? log 3 x
O
y ? log 1 x
3
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x

3. 对数函数的性质:
a> 1 0< a< 1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈(0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质 x∈(1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

在(0,+∞)上是减函数
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例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log 2 3.4, log 2 8.5
( 2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7

( 3) log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1)

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练习
1. 教材P.73练习第2、3题

2. 函数y=loga(x+1)-2 (a>0, a≠1)
的图象恒过定点 .

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课堂小结

对数函数定义、图象、性质;

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课后作业
1、教材P74:7、8 2、选作
已知函数y=loga(x+1) (a>0, a≠1) 的定义域与值域都是[0, 1],求a的值.
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