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3.1.1数系的扩充与复数的概念(公开课)


3.1.1

数系的扩充与复数的概念

计数的需要
表示相反意义的量 解方程x+3=1 测量、分配中的等分 解方程3 x=5 度量的需要 解方程x2=2 解方程x2=-1

自然数(正整数与零)
整数 有理数 实数

R

Q

Z

N

合情推理,类比扩充

一元二次方程 范围内的解是 ?

x ? ?1
2

在实数集

思考?
我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集 中,该问题能得到圆满解决呢?
引入新数,完善数系

引入一个新数:

i

规定

i ? ?1
2

讲解新课

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,
并且规定: (1)i2??1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示 .

讲解新课

1.复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部
练一 练

虚部

其中

i 称为虚数单位。

说出下列复数的实部和虚部

0,

2 1 , -2+ i , 2 3

2 ? i , ? 3i , i

2.复数的分类:

? 实数 b ? 0 非0实数(a ? 0,b ? 0) ? 复数z ? a ? bi ? b?0 ? 纯虚数 a ? 0, ? ? ? ( a, b ? R ) b 0 虚数 ? ? 非纯虚数 a ? 0, b?0
虚数集 复数集 实数集 纯虚数集

?

0(a ? 0,b ? 0)

讨论?

复数集C和实数集R之间有什么关系?
N Z Q R C

R? C ?

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部。

2 ? 7 , 0.618,

i , i?1 ? 3 ?,
2

2 i, 0 7

3 ? 9 2i,

5 i+8,

例1: 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

? ?m ? 1 ? 0

练习:当m为何实数时,复数

Z ? (m ? 1)(m ? 2) ? (m ? 2)i
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

(1)m= 2 (2)m ? 2 (3)m=-1

3.规定:如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ? ? ?b ? d
a ? bi ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0
2) 一般来说,两个复数只能说相等或不相
等,而不能比较大小了.

注:1)

例2: 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i 其中 x, y ? R, 求
解题思考: 复数相等 的问题
转化



x与 y .
求方程组的解 的问题

一种重要的数学思想:转化思想

解:根据复数相等的定义,得方程组

?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )



5 x? ,y?4 2

求适合下列方程的 x和y的值( x, y ? R) (1)(x ? 2 y) ? i ? 6 x ? ( x ? y)i (2)(x ? y ? 1) ? ( x ? y ? 2)i ? 0

当堂练习

1.a=0是复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的 ( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 非必要非充分条件 2.以3i-2的虚部为实部,以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 ( ) A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的 值为 。 4.复数a-2i与复数bi+1相等,则实数a和b的 值分别为 。

5、实数x取何值时复数

Z ? ( x ? 2) ? ( x ? 3)i

(1)是实数(2)是虚数 (3)是纯虚数(4)零

1.虚数单位i的引入; 2.复数有关概念:
复数的代数形式: z ? a ? bi (a ? R, b ? R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a ? bi
?a ? c ? c ? di ? ? ?b ? d

计数的需要
表示相反意义的量 解方程 x+3=1 测量、分配中的等分 解方程 3 x=5 度量的需要 解方程 x2=2 解方程 x2=-1

自然数(正整数与零)
整数 有理数 实数 复数

R C

Q

Z

N







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