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2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2课件:第二章 2.2 2.2.2 反证法_图文

2.2.2 反证法 预习课本 P42~43,思考并完成下列问题 (1)反证法的定义是什么?有什么特点? (2)利用反证法证题的关键是什么?步骤是什么? [新知初探] 反证法的定义及证题的关键 [点睛] 对反证法概念的理解 (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定 ”.第一个否 定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理结果 否定”. (2)反证法属“间接解题方法”. 2.“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系 (1)联系: 通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过 反证法说明原命题成立属于间接证明,都是很好的证明方法. (2)区别:证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发,推 出条件的反面成立.而反证法一般是假设结论的反面成立,然 后通过推理导出矛盾. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法. ( √ ) (2) 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎 推理. (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾. ( × ) ( √ ) 2.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件 使用 ( ) ①结论的否定即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定 义等;④原命题的结论 A.①② C.①②③ 答案:C B.①②④ D.②③ 3.如果两个实数之和为正数,则这两个数 A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.至少有一个正数 D.两个都是负数 ( ) 答案:C 3 3 4.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b ”,假设的内容应是 ________. 3 3 答案: a≤ b 用反证法证明否定性命题 [典例] 已知三个正数 a, b, c 成等比数列, 但不成等差数列. 求 证: a, b, c不成等差数列. [证明] 假设 a, b, c成等差数列,则 a+ c=2 b, 即 a+c+2 ac=4b. ∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac,即 b= ac, ∴a+c+2 ac=4 ac,∴( a- c)2=0,即 a= c. 从而 a=b=c,与 a,b,c 不成等差数列矛盾, 故 a, b, c不成等差数列. 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 “ 不 ”“ 不是 ”“ 不可能 ”“ 不存在 ” 等 词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而 反面比较具体,适合使用反证法. 2.用反证法证明数学命题的步骤 [活学活用] x-2 已知 f(x)=a + (a>1),证明方程 f(x)=0 没有负数根. x+1 x 证明:假设 x0 是 f(x)=0 的负数根, x0-2 则 x0<0 且 x0≠-1,且 a 0=- , x0+1 x x0 - 2 由 0<a 0<1?0<- <1, x0 + 1 x 1 解得 <x0<2,这与 x0<0 矛盾,所以假设不成立, 2 故方程 f(x)=0 没有负数根. 用反证法证明“至多”“至少”问题 [典例] 已知 a≥-1,求证三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+ (a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实数解. [证明] 假设三个方程都没有实根,则三个方程中:它们的判别式 都小于 0,即: ?(4a) -4(-4a+3)<0, ? ?(a-1)2-4a2<0, ? ?(2a)2+4×2a<0 2 ?-3<a<1, ? 2 2 ? 3 ?? 1 a > 或 a <- 1 , ? - <a<-1, ? 3 2 ? ?-2<a<0. 这与已知 a≥-1 矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方 程有实数解. [一题多变] 1.[变条件,变设问]将本题改为:已知下列三个方程 x2+4ax-4a +3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0 至少有一个方程 有实数根,如何求实数 a 的取值范围? ?16a2-4(3-4a)<0, ? 2 2 解: 若方程没有一个有实根, 则?(a-1) -4a <0, ?4a2+8a<0, ? 1 ? 3 - < a < , ? 2 2 ? 1 3 解得? a > 或 a <- 1 ,即- <a<-1, ? 3 2 ? ?-2<a<0. 故三个方程至少有一个方程有实根, 实数 a 的取值范围 ? ? ? 3 ? ? 是 a a≥-1或a≤-2 ? ? ? ? ? ?. ? ? 2.[变条件,变设问]将本题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有 实数根,求实数 a 的取值范围. 解:假设三个方程都有实数根,则 ?(4a)2-4(-4a+3)≥0, ? ?(a-1)2-4a2≥0, ?(2a)2+4×2a≥0, ? 3 1 ? ?a≤-2或a≥2, ? 1 解得? ?-1≤a≤3, ? ?a≤-2或a≥0. ?4a2+4a-3≥0, ? 2 即?3a +2a-1≤0, ?a2+2a≥0, ? 即 a∈?. 所以实数 a 的取值范围为实数 R. 3.[变条件,变设问]已知 a,b,c,d∈R,且 a+b=c+d=1,ac +bd>1,求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数. 证明:假设 a≥0,b≥0,c≥0,d≥0. ∵a+b=c+d=1, ∴(a+b)(c+d)=1, ∴ac+bd+bc+ad=1. 而 ac+bd+bc+ad>ac+bd>1,与上式矛盾, ∴假设不成立, ∴a,b,c,d 中至少有一个是负数. 用反证法证明“至多” “至少”等问题的两个关注点 (1)反设情况要全面,在使用反证法时,必须在假设 中罗列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反 证法都是不完全的. (2) 常用题型:对于否定性命题或结论中出现 “ 至 多”“至少”“不可能”等字样时,常用反证法. 用反证法证明唯一性命题 [典例] [证明] 个交点. 若直线 a,b 无交点,则 a∥


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