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河南省南阳市2013-2014学年期末考试高二数学试题及答案(理)_图文

2014 年春期南阳市期末质量检测 高二数学(理科)答案
一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分) 1—5 BADCA 6—10 BBDDC 11—12 DA 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分)

1 a1 ? g ? 2?? a2 ?1? ,又 a1 ? 1, a2 ? 1 ? ,? g ? 2 ? ? 2 即 2k ? b ? 2 ??①. 2 1 1 1 当 n=3 时有, a1 ? a2 ? g ? 3?? a3 ?1? ,又 a1 ? 1, a2 ? 1 ? , a2 ? 1 ? ? , 2 2 3

? g ? 3? ? 3 ,即 3k ? b ? 3 ??②,
由①②可得 k ? 1, b ? 0 ,所以猜想: g ? x ? ? x ,??????????(5 分) 16. ①③ 下面用数学归纳法加以证明: (1)当 n=2 时,已经得到证明;??????????????(6 分) (2)假设当 n=k( k ? 2, k ? N )时,结论成立,即存在 g ? k ? ? k ,使得

? 13. 2
三、解答题

14.

q

15.

? ??, ?16? ?2. ? ??
?m ? 5或m ? ?3 ?? ?m ? ?3

17. 解: (1) ?

?m2 ? 2m ? 15 ? 0 ?m ? 3 ? 0

? Z 是实数时,m=5.??????????????(5 分)
?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? ? m ? 3或m ? ?2 (2) ?m ? 3 ? 0 ?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?
?当m ? 3 , Z = ? 12i ;当 m ? ?2 时, Z = ? 7i ??????????????(10 分)
11 ? 18 ? 12 ? 13 ? 15 ? 10 79 ? , 50 ? 50 100 79 据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率为 P ? ??????(6 分) 100
18. 解: (1) 由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的概率为 (2) 非常了解 男生 女生 合计 根据列表数据得 30 25 55 一般了解 20 25 45 合计 50 50 100

a1 ? a2 ? a3 ?

? ak ?1 ? g ? k ?? ak ?1? 对 k ? 2 的一切自然数都成立,则 ? ak ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ak ?1 ? +ak

当 n ? k ? 1 时, a1 ? a2 ? a3 ?

=k ? ak ?1? ? ak ? ? k ?1? ak ? k ,????????(8 分)


ak ?1 ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 1 1 1 ? ? ak ? ,? ak ? ak ?1 ? , k k ?1 k ?1 k ?1

? a1 ? a2 ? a3 ?

1 ? ? ? ak ? ? k ? 1? ? ak ?1 ? ? ? k ? ? k ? 1?? ak ?1 ? 1? , k ?1 ? ?

? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.??????????????????(11 分)
由(1) (2)知,对一切 n, (n ? 2 n ,

? N ? )有 g ? n ? ? n ,使得

a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? g ? n?? an ?1? 都成立.??????????(12 分)
2a ? 1 2a 2a ? 1 ? ?a ?0 ,依题意有: f ' ? 2? ? 0 ,即 1 ? 2 x x 4

20. 解: (1) f ' ? x ? ? 1 ? 解得: a ?

100 ? ? 30 ? 25 ? 20 ? 25? K2 ? ? 1.010 ? 1.323 , 50 ? 50 ? 55 ? 45
2

3 2

所以,没有 75%的把握人物对莫言作品的了解程度与性别有关.????(12 分) 19. 解:假设存在一次函数 g ? x ? ? kx ? b ? k ? 0? ,使得

检验:当 a ?

3 2 3 x 2 ? 3x ? 2 ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 时, f ' ? x ? ? 1 ? 2 ? = 2 x x x2 x2

a1 ? a2 ? a3 ?

? an?1 ? g ? n?? an ?1? 对 n ? 2 的 一 切 自 然 数 都 成 立 , 则 当 n=2 时 有 ,

此时:函数 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递减,在 ? 2, ??? 上单调递增,满足在 x ? 2 时取得极值 综上: a ?

3 ??????????????(6 分) 2

(2) 依题意: f ? x ? ? 0 对任意 x ??1, +? ? 恒成立等价转化为 fmin ? x ? ? 0 在 x ??1, +? ? 恒成立 的必要条件是 f (1) ? 0 ,即 2 ? 2a ? 0 ,所以 a ? 1 ??????(8 分) 因为 f ' ? x ? ? 1 ?
2 2a ? 1 2a x ? 2ax ? ? 2a ? 1? ? x ? ? 2a ? 1? ? ? x ? 1? ? ? ? x2 x x2 x2

?
P

0

x

2x

3x

令 f ' ? x ? ? 0 得: x1 ? 2a ? 1 , x2 ? 1 ????????????????(10 分)

1 3 8 8 1 3 3 1 3 故 E? =0 ? ? x ? ? 2 x ? ? 3 x ? ? x (元) 8 8 8 8 2 3 根据题意,得 x ? 180 ,解得 x ? 120 , 2

3 8

1 8

即 x 至多为 120 元时,此促销方案使商场不会亏本。??????????(12 分) 22. 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ' ? x ? ? a ? ln x ? 1 ????????(2 分) 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以, f ' ? e? ? 3 ,即 a ? lne? 1=3 , 所以, a ? 1 .?????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以, k ?

a ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ,此时,函数 f ' ? x ? ? 0 在 ?1, +? ? 恒成立,则 f ? x ? 在 ?1, +? ? 单调递增,
于是 fmin ? x ? =f ?1? ? 2 ? 2a ? 0 ,解得: a ? 1 ,此时: a ? 1 综上所述:实数 a 的取值范围是 a ? 1 ???????????????????(12 分). 21. 解: (1)设“选出的 3 种商品中至少有一种是日用类商品”为事件 A,则
2 1 3 C1C 2 ? C4 C5 ? C4 37 方法一: P ? A? ? 4 5 ? ; 3 C9 42 3 C5 37 . ? 3 C9 42

方法二: P ? A? ? 1 ?

f ? x? x ? x ln x 2 2 对任意 x ? e 恒成立,即 k ? 对任意 x ? e 恒成立.??(5 分) x ? 1 x ?1
x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ' ? x ? ? ????????????????(6 分) 2 x ?1 ? x ? 1?

即选出的 3 种商品中至少有一种是日用类商品的概率为 (2) ? 的可能取值为 0, x, 2 x,3x , 则 P ?? ? 0 ? ? ?1 ?

37 .????????(6 分) 42

令 g ? x? ?

? ?

1? ? 1? ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? , 2? ? 2? ? 2? 8
2

2 令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 x ? e ,则 h ' ? x ? ? 1 ?

?

?

1 x ?1 ? ? 0, x x

2 所以函数 h ? x ? 在 e , +? 上单调递增????????????????????(8 分) 2 2 所以 h ? x ? ? h e ? e ? 4 ? 0 ,可得 g ' ? x ? ? 0

?

?

1 ? 1? 3 P ?? ? x ? ? C ? ? ?1 ? ? ? , 2 ? 2? 8
1 3

? ?

?1? ? 1? 3 P ?? ? 2 x ? ? C ? ? ? ? ? 1 ? ? ? , ? 2? ? 2? 8
2 3

2

故函数 g ? x ? ?

x ? x ln x 2 在 ? e , ?? ? 上单调递增. x ?1

1 1 1 1 P ?? ? 3x ? ? ? ? ? , 2 2 2 8

所以 g ? x ? ? g e

? ? ? e3e? 1 ? 3 ? e 3? 1 ? ? 3, 4? ?????(11 分)
2 2 2

2

? ? 的分布列为

? k ? g ? e2 ?
故整数 k 的最大值是 3.????????????????????????(12 分)



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