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广东省汕头市潮南实验学校高中数学选修2-1课件:2.4.2抛物线的几何性质(一) (共17张PPT)_图文

2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)

一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内,到定点F的距离与到定直线l的距离 比为常数e的点的轨迹,(定点F不在定直线l上) 当0<e<1时,是椭圆;当e>1时,是双曲线 . 当e=1时,是抛物线 .

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

o

F(

p ,0 ) 2

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点

y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

? y2 = 2px

o

F(

(p>0)中,

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

5、

通径

过焦点而垂直于对称轴的弦 AB,称为抛物线的通径, |AB|=2p 利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.

y
A O B F

y2=2px
? p ? ? , p? ?2 ?

2p

x

?p ? ? ,? p ? ?2 ?

2p越大,抛物线张口越大.

6、

焦半径

连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物 线的焦半径。 y 焦半径公式:
P

|PF|=x0+p/2
O F

x

方程
y ? 2 px
2
l

图形
y
O

准线

焦点
p 2
p F ( 2 ,0)

对称轴

( p ? 0)
y ? ?2 px ( p ? 0)
2

F
l
O

x

x??

x轴
x轴

y
F

x

x?
y??

p 2
p 2
p 2

F (? ,0)
o

p 2

x ? 2 py
2

y
F
O

( p ? 0)

l

x

F (0, )
F (0,? )
p 2

p 2

y轴 y轴

x ? ?2 py ( p ? 0)
2

y
l
O
F

x

y?

归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它 也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线; (4)、抛物线的离心率e是确定的为1,

⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张 口越大.

三、典例精析
例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, ),求它的标准方程. ?2 2

解: 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原
点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px ( p ? 0) 又因为点M在抛物线上: 所以: (?2
2

2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2
? 4x

2 因此所求抛物线标准方程为: y

探照灯、汽车前灯的反光曲面,手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面:抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上,通过镜面反射就变 成了平行光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。

平行光线射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线都 经过抛物线的焦点,这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。

例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置。
y

解: 在探照灯的轴截面 所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.

A (40,30)

?

O
B

x

设抛物线的标准方程为:y2=2px 由条件可得A (40,30), 代入方程得: 45 2 解之: p= 4 30 =2p· 40 45 45 2 故所求抛物线的标准方程为: y = 2 x, 焦点为( 8 ,0)

例题3
思考题 例3:图中是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面2米,水面宽4米. 若在水面上有一宽为 水下降1米后,水面宽多少? 2米,高 为1.6米的船只,能否安全通过桥? y A(2,-2) x2=-2y y=-3代入得 x ?

6
l

o 2 B A x 2

?水面宽2 6
B(1,y) y=-0.5 B到水面的距离为1.5米

不能安全通过

4

四、课堂练习
(1)已知点A(-2,3)与抛物线

y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点的距离是5,则P =
(2)抛物线
2

4



y ? 4x 的弦AB垂直x轴,若|AB|= 4
2
2

3 ,

则焦点到AB的距离为 (3)已知直线x-y=2与抛物线



y ? 4x交于A、B两
(4, 2)


点,那么线段AB的中点坐标是

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)顶点在原点焦点在直线x-2y-4=0上.y

2

? 16 x或x ? ?8 y
2

(2)顶点在原点焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得弦长为15.

y ? 12 x或y ? ?4 x
2 2

5.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y ? 4 x上的一动 点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
2

6、已知Q(4,0),P为抛物线 y 则|PQ|的最小值为( C ) 3 10 19 A. B. C. 2 2 2

2

? x ? 1 上任一点,
D.

3

五、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率:抛物线的离心率是确定的,等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. 6、光学性质: 从焦点出发的光线,通过抛物线反射就 变成了平行光束.



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