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上海市卢湾区2011届高三上学期期末考试(数学)


卢湾区 2010 学年第一学期高三年级期末考试

数学试卷
分钟, (本卷完成时间为 120 分钟,满分为 150 分)

2011.1

填空题( 小题, 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 填空题 接写结果, 否则一律得零分. 接写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 1.已知全集 U = {1, 2,3, 4,5,6} ,集合 A = {1,3,5} , B = {1, 2} ,则 ( ?U A ) I B = 1 2.函数 y = lg( ? 1) 的定义域是 . x 3.方程 sin x = cos x 在 [0, 2π ) 上的解集是 4.当 a = cos 5. lim(
n →∞



. . .

2a + 1 1 π 时,行列式 的值是 1 2a ? 1 12 + 3 2n + 1
2

1 2n + 1
2

+

5 2n + 1
2

+…+

2n ? 1 )的值为 2n 2 + 1

6 . 已 知 函 数 y = f ( x) 是 奇 函 数 , 当 x < 0 时 , f ( x) = x 2 + ax (a ∈ R ) , 且 f (2) = 6 , 则

a=



开始 i←12, S←1

7.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输 出的结果为 .

8.若方程 1nx + 2 x ? 10 = 0 的解为 x0 ,则大于 x0 的最小 整数是 . i≥10
否 输出 S 结束

i←i-1
S←S×i 是

a ( x > 2) 的图像过点 A(3,7) , 9.已知函数 f ( x) = x + x?2 则此函数的最小值是 .
10.在一次招聘口试中,每位考生都要在 5 道备选试题 中随机地抽出 3 道题回答,答对其中 2 道题即为及格. 若一位考生只会回答 5 道题中的 3 道题,则这位考生 能够及格的概率为 .

(第 7 题图)

11. (理)某投篮游戏规定:每轮至多投三次,直到首次命中为止.第一次就投中,得 8 分; 第一次不中且第二次投中,得 6 分;前两次均不中且第三次投中,得 4 分;三次均不中, 得 0 分. 若某同学每次投中的概率为 0.5, 则他每轮游戏的得分 X 的数学期望为 . .

? x ? y + 1 ≥ 0, ? (文)若实数 x, y 满足不等式组 ? x + y ? 1 ≤ 0, 则 z = 2 x + y 的最大值为 ? y ≥ 0. ?
12.一个调查机构就某地居民的月收入调查 了 10000 人,将所得数据分成如下六组:
0.0005 0.0004

频率 组距

[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000), [3000,3500), [3500, 4000),

0.0003 0.0002 0.0001

月收入(元)
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

(第 12 题图)

相应的频率分布直方图如图所示.若按月 收入将这 10000 人也分成上述六组,并通 过分层抽样抽出 100 人作进一步调查,则

[3000,3500) 这一组中应抽出


人.

13.若 a1 ( x ? 1) 4 + a 2 ( x ? 1) 3 + a 3 ( x ? 1) 2 + a 4 ( x ? 1) + a 5 = x 4 ,则 a2 + a3 + a4 的值为

uuu r uuu r r r 14.设 O 是直线 AB 外一点, OA = a , OB = b ,点 A1 , A2 , A3 , … , An ?1 是线段 AB 的 n r r uuur uuuu uuuu r r uuuuur . (用 a, b, n 表示) (n≥2)等分点,则 OA1 + OA2 + OA3 + L + OAn ?1 =
选择题( 每题有且只有一个正确答案, 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 选择题 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 否则一律得零分. 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15.函数 y = tan(3 x + 1) 的最小正周期是 ( π 2π A. B. 3 3 3π D. π C. 2 )
P

16.在三棱锥 P—ABC 中,所有棱长均相等,若 M 为棱 AB 的中点,则 PA 与 CM 所成角的余弦值为( ) C B 3 3 A. B. M 2 4 A 3 3 C. D. (第 16 题图) 6 3 ?1 2 ? ? ? 17.将 5,6,7,8 四个数填入 ? 3 4 ? 中的空白处以构成三行三列方阵,若要求每一行从 ? ? 9? ? 左到右、每一列从上到下依次增大,则满足要求的填法种数为 A.24 B.18 C.12 D.6 ( )

18.已知 f ( x) 是单调减函数,若将方程 f ( x) = x 与 f ( x) = f ?1 ( x) 的解分别称为函数 f ( x) 的不 动点与稳定点.则“ x 是 f ( x) 的不动点”是“ x 是 f ( x) 的稳定点”的 ( A.充要条件 C.必要不充分条件 定区域内写出必要的步骤. 定区域内写出必要的步骤. 19. 本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. ( 个小题, z 为实数( i 为虚数单位) ,且 z ? z = 4i . 已知 z 是复数, 2+i (1)求复数 z ; (2)若 | z ? m i|< 5 ,求实数 m 的取值范围. B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解答题( 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规 解答题

20. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. ( 个小题, u r r 已知 A , B , C 为△ABC 的三个内角,向量 p = (cos B, ? sin B ) , q = (cos C , sin C ) ,且 r u r r (q ? 2 p) ⊥ q . (1)求 ∠A 的大小; (2)若 BC = 2 3, AC + AB = 4 ,求△ABC 的面积.

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ( 个小题, 如图所示,ABCD 是一块边长为 7 米的正方形铁皮,其中 ATN 是一半径为 6 米的扇形, 已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在 BC 与 CD 上的长方形铁皮 PQCR,其中 P 是 TN 上一点.设 ∠TAP = θ ,长方形 PQCR 的面积 为 S 平方米. (1)求 S 关于 θ 的函数解析式; (2)设 sin θ + cosθ = t ,求 S 关于 t 的表达式以及 S 的最大值.
D N R C

P

Q

θ A T B

22. 本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题 题满分 6 分. 已知函数 f ( x) = 2 x + 2? x a (常数 a ∈ R ) . (1)若 a = ?1 ,且 f ( x) = 4 ,求 x 的值; (2)若 a ≤ 4 ,求证函数 f ( x) 在 [1, +∞) 上是增函数; (3)若存在 x ∈ [0,1] ,使得 f (2 x) > [ f ( x)]2 成立,求实数 a 的取值范围.

( 个小题, 23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小

题满分 6 分.

an + bn ≥0 时, 有[ an +1 , bn +1 ]= 2 a + bn a + bn a + bn ];当 n <0 时, 有[ an +1 , bn +1 ]= [ n , bn ]. [ an , n 2 2 2
已知负数 a1 和正数 b1 ,且对任意的正整数 n,当

(1)求证数列{ bn ? an }是等比数列; (2)若 a1 = ?1, b1 = 2 ,求证 a2 n = ?2b2 n (n ∈ N*) ; (3)是否存在 a1 , b1 ,使得数列 {an } 为常数数列?请说明理由.

学年第一学期高三年级期末考试 卢湾区 2010 学年第一学期高三年级期末考试 2011.1 数学参考答案及评分标准
填空题( 小题, 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,每个空格填对得 4 分. 填空题 1 ? π 5π ? 1. { 2 } 2. (0, 1) 3. ? , 4. 3 5. 6.5 ? 2 ?4 4 ? 7. 1320 8.5 9.6 10.0.7 11. (理)6(文)2 12.15 n ?1 r r 13.14 14. (a + b) 2 选择题( 每题有且只有一个正确答案, 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分, 选择题 否则一律得零分. 否则一律得零分 15.A 16.C 17.D 18.B

解答题( 解答下列各题必须写出必要的步骤 步骤. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤 解答题 19. 本题满分 12 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ( 个小题, z z (1)由 是实数,可设 = a, a ∈ R , 2+i 2+i 故 z = a(2 + i) = 2a + ai , 所以 z ? z = 2ai ,又 z ? z = 4i ,可得 2a = 4 , 即 a = 2 ,所以 z = 4 + 2i . (2)由 | z ? mi |< 5 ,可得 | 4 + (2 ? m)i |< 5 , 又 m ∈ R ,∴ 16 + (m ? 2) 2 < 5 即 16 + (m ? 2) 2 < 25 ,解得 ?1 < m < 5 , 所以实数 m 的取值范围是 (?1, 5) . ………………12 分 ………………9 分 ………………6 分 ………………3 分

20. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. ( 个小题, r u r r r u r r (1)由 (q ? 2 p ) ⊥ q ,可得 (q ? 2 p) · q =0, ………………2 分 r 2 u r r u r r 即 | q | ?2 p · q = 0 ,又 p = (cos B, ? sin B ) , q = (cos C , sin C ) 所以 cos 2 C + sin 2 C ? 2(cos B cos C ? sin B sin C ) = 0 , 1 即 cos( B + C ) = ,又 0 < B + C < π , 2

………………6 分

∴B+C =

π
3

,故 A = π ? ( B + C ) =

2π . 3

………………8 分

(2)在△ABC 中,由 BC 2 = AB 2 + AC 2 ? 2 AB ? AC cos A , 可得 BC 2 = ( AB + AC )2 ? 2 AB ? AC (1 + cos A) , 1 即 (2 3)2 = 42 ? 2 AB ? AC ? (1 ? ) , 2 故 AB ? AC = 4 , ∴S = ………………10 分

………………12 分 ………………14 分

1 1 3 AB ? AC sin A = × 4 × = 3. 2 2 2

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ( 个小题, (1)延长 RP 交 AB 于 E ,延长 QP 交 AD 于 F , 由 ABCD 是正方形, PRCQ 是矩形,可知 PE ⊥ AB, PF ⊥ AD , 由 ∠TAP = θ ,可得 EP = 6cos θ , FP = 6sin θ , ∴ PR = 7 ? 6sin θ , PQ = 7 ? 6cos θ , ∴ S = PR ? PQ = (7 ? 6sin θ )(7 ? 6cos θ ) ………………4 分

= 49 ? 42(sin θ + cos θ ) + 36sin θ cosθ
故 S 关于 θ 的函数解析式为

π S = 49 ? 42(sin θ + cosθ ) + 36sin θ cosθ (0 ≤ θ ≤ ) .……6 分 2
(2)由 sin θ + cosθ = t ,可得 t 2 = (sin θ + cos θ ) 2

D N

R

C

t ?1 = 1 + 2sin θ cos θ ,即 sin θ cosθ = , 2
2

F

P

Q

∴ S = 49 ? 42t + 18(t 2 ? 1) = 18t 2 ? 42t + 31 . ……………9 分 π π π 3π , 又由 0 ≤ θ ≤ ,可得 ≤ θ + ≤ 2 4 4 4 π 故 t = sin θ + cos θ = 2 sin(θ + ) ∈ [1, 2] , 4 ∴S 关于 t 的表达式为 S = 18t 2 ? 42t + 31 ( t ∈ [1, 2] ) . 7 2 13 又由 S = 18(t ? ) + , t ∈ [1, 2] 6 2 可知当 t = 2 时, S 取最大值, 故 S 的最大值为 67 ? 42 2 .

θ A E T B

……………11 分

………………14 分

22. 本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 6 分. (1)由 a = ?1, f ( x) = 4 ,可得 2 x ? 2? x = 4 ,设 2 x = t , 则有 t ? t ?1 = 4 ,即 t 2 ? 4t ? 1 = 0 ,解得 t = 2 ± 5 当 t = 2 + 5 时,有 2 = 2 + 5 ,可得 x = log 2 (2 + 5) .
x

………………2 分

当 t = 2 ? 5 时,有 2 x = 2 ? 5 ,此方程无解. 故所求 x 的值为 log 2 (2 + 5) . ………………4 分

(2)设 x1 , x2 ∈ [1, +∞), 且 x1 > x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = (2 x1 + 2? x1 a) ? (2 x2 + 2? x2 a)

= (2 x1 ? 2 x2 ) +

2 x2 ? 2 x1 2 x1 ? 2 x2 a = x1 + x2 (2 x1 + x2 ? a) 2 x1 + x2 2

………………7 分

由 x1 > x2 ,可得 2 x1 > 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 > 0 由 x1 , x2 ∈ [1, +∞), x1 > x2 ,可得 x1 + x2 > 2 ,故 2 x1 + x2 > 4 > 0 , 又 a ≤ 4 ,故 2 x1 + x2 > a ,即 2 x1 + x2 ? a > 0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ,即 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, +∞) 上是增函数. (3)由 f (2 x) > [ f ( x)]2 ? 22 x + 2?2 x > 22 x + 2a + 2?2 x a 2 ………………10 分

? 2?2 x (a 2 ? a ) + 2a < 0 1 设 t = 2?2 x ,由 x ∈ [0,1] ,可得 t ∈ [ ,1] , 4
由存在 x ∈ [0,1] 使得 f (2 x) > [ f ( x)]2 , 1 可得存在 t ∈ [ ,1] ,使得 (a 2 ? a )t + 2a < 0 , 4 令 g (t ) = ( a 2 ? a )t + 2a < 0 , 1 1 故有 g ( ) = (a 2 ? a ) + 2a < 0 或 g (1) = (a 2 ? a) + 2a < 0 , 4 4 可得 ?7 < a < 0 .即所求 a 的取值范围是 (?7,0) . 题满分 6 分. an+bn an+bn bn-an (1)当 ≥0 时,bn+1-an+1= -an= ; 2 2 2 an+bn bn-an an+bn <0, bn+1-an+1 = bn= . 当 2 2 2 1 所以,总有 bn+1-an+1 = (bn-an), 2 又 b1 > 0, a1 < 0 ,可得 b1 ? a1 > 0 ,

………………12 分

………………14 分

………………16 分

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小 ( 个小题,

所以数列{bn-an}是等比数列. ………………4 分 a +b 1 a +b (2)①由 a1 = ?1, b1 = 2 ,可得 1 1 = > 0 ,故有 [a2 , b2 ] = [a1 , 1 1 ] , 2 2 2 a1 + b1 1 ∴ b2 = = , a2 = a1 = ?1 ,从而 a2 = ?2b2 , 2 2 故当 n=1 时, a2 n = ?2b2 n 成立. ②假设当 n = k 时, a2 n = ?2b2 n 成立,即 a2 k = ?2b2 k , 由 b2 k ? a2 k = 3b2 k > 0 ,可得 b2 k > 0 , ………………6 分

a2 k + b2 k ?2b2 k + b2 k b a + b2 k = = ? 2 k < 0 , 故有 [a2 k +1 , b2 k +1 ] = [ 2 k , b2 k ] , 2 2 2 2 a + b2 k b = ? 2 k , b2 k +1 = b2 k , ………………9 分 ∴ a2 k +1 = 2 k 2 2

b ? 2 k + b2 k a2 k +1 + b2 k +1 b a +b = 2 = 2 k > 0 ,故有 [a2 k + 2 , b2 k + 2 ] = [a2 k +1 , 2 k +1 2 k +1 ] 2 2 4 2 a +b b b ∴ b2 k + 2 = 2 k +1 2 k +1 = 2 k , a2 k + 2 = a2 k +1 = ? 2 k ,故 a2( k +1) = ?2b2( k +1) 2 4 2
∴当 n = k + 1 时, a2 n = ?2b2 n 成立. 综合①②可得对一切正整数 n,都有 a2 n = ?2b2 n . (3)假设存在 a1 , b1 ,使得数列 {an } 为常数数列, 1 由(1)可得 bn-an= (b1 ? a1 ) ( )n-1,又 an = a1 , 2 1 n-1 故 bn= a1 + (b1 ? a1 ) ( ) , 2 ………………12 分

………………14 分

an+bn 1 由 an +1 = an 恒成立,可知 ≥0,即 a1 + (b1 ? a1 ) ( )n ≥0 恒成立, 2 2

a1 ? b1 对任意的正整数 n 恒成立, ………………16 分 a1 a ?b a ?b 又 1 1 是正数,故 n≤ log 2 1 1 对任意的正整数 n 恒成立, a1 a1 a ?b a ?b 因为 log 2 1 1 是常数,故 n≤ log 2 1 1 不可能对任意正整数 n 恒成立. a1 a1
即 2 n≤ 故不存在 a1 , b1 ,使得数列 {an } 为常数数列. ………………18 分



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