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2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第二讲 三角变换与解三角形 文


第二讲

三角变换与解三角形

三角恒等变换包括三角函数的概念,诱导公式,同角三角函数间的关系,和、差角公式 和二倍角公式,要抓住这些公式间的内在联系,做到熟练应用,解三角形既是对三角函数的 延伸又是三角函数的主要应用,因此,在一套高考试卷中,既有选择题、填空题,还有解答 题,总分为 20 分左右. 预测 2016 年高考中,热点是解答题,可能是三角函数恒等变换与解三角形综合,平面 向量、三角函数与解三角形综合.

两角和与差的三角函数、二倍角三角函数 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式. sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β , cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β , tan α ±tan β tan(α ±β )= 1?tan α ?tan β

?α ,β ,α ±β ≠kπ +π ,k∈Z?. ? ? 2 ? ?

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2tan α sin 2α =2sin α cos α ,tan 2α = , 2 1-tan α cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α W. 它的双向应用分别起到了缩角升幂和扩角降幂的作用. 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明方法有: 1.从等式的一边推导变形到另一边,一般是化繁为简. 2.等式的两边同时变形为同一个式子. 3.将式子变形后再证明. 正弦定理、余弦定理 1.正弦定理及其变形. =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C = = (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
2 2 2 2

a

b

c

1

(2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A; (4)abc=sin Asin Bsin CW. 2.余弦定理及其变形. (1)a =b +c -2bccos A,cos A=
2 2 2 2 2 2

a

b

c

b2+c2-a2 ; 2bc

c2+a2-b2 (2)b =c +a -2cacos B,cos B= ; 2ca a2+b2-c2 (3)c =a +b -2abcos C,cos C= W. 2ab
2 2 2

3.△ABC 的面积公式. 1 (1)S= a?ha(ha 表示 a 边上的高) ; 2 1 1 1 abc (2)S= absin C= acsin B= bcsin A= (R 为△ABC 外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3)S= r(a+b+c) (r 为内切圆半径). 2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”). (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.(?) (2)设 α ∈(π ,2π ) ,则
2

1-cos(π +α ) α =sin .(?) 2 2
2

(3)在△ABC 中,tan A=a ,tan B=b ,那么△ABC 是等腰三角形.(?) 2 2 2 2 2 2 (4)当 b +c -a >0 时,三角形 ABC 为锐角三角形;当 b +c -a =0 时,三角形为直 2 2 2 角三角形;当 b +c -a <0 时,三角形为钝角三角形.(?) (5)在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于 3 .(?) 2

3 1.已知 α 为第二象限角,sin α = ,则 sin 2α =(A) 5 24 A.- 25 12 B.- 25 12 C. 25 24 D. 25

2.(2014?新课标Ⅱ卷) 函数 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x 的最大值为 1W. 解析:由已知得,f(x)=sin xcos φ +cos xsin φ -2cos xsin φ =sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ )≤1,故函数 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x 的最大 值为 1. sin 2A 3.(2015?北京卷)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =1W. sin C

2

解析:由正弦定理得 =6, ∴

sin A a b +c -a = ,由余弦定理得 cos A= ,∵ a=4,b=5,c sin C c 2bc

2

2

2

sin 2A 2sin Acos A = sin C sin C sin A =2? ?cos A sin C 4 5 +6 -4 =2? ? =1. 6 2?5?6
2 2 2

4.(2015?新课标Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是 W. 解析:如图所示,延长 BA 与 CD 相交于点 E,过点 C 作 CF∥AD 交 AB 于点 F,则 BF<AB <BE.在等腰三角形 CFB 中,∠FCB=30°,CF=BC=2,

∴ BF= 2 +2 -2?2?2cos 30°= 6- 2. 在等腰三角形 ECB 中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,

2

2

BE=CE,BC=2,

BE

sin 75°



2 , sin 30°

2 6+ 2 ∴ BE= ? = 6+ 2. 1 4 2 ∴ 6- 2<AB< 6+ 2. 答案: ( 6- 2, 6+ 2)

3



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