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【学海导航】高考数学第一轮总复习 第28讲 平面向量的应用课件 文 (湖南专版)_图文

掌握平面向量在解析几何、三角函 数及数列等方面的综合应用 . 平面向量 是中学数学知识的一个交汇点,成为多 项内容的媒介,本讲主要梳理平面向量 与三角函数、解析几何、数列的交汇, 突出培养学生运用向量工具综合解决问 题的能力. 1.向量中“数与形”转化化归思想 向量既有大小,又有方向,兼备 “数”“形”双重特点 .向量运算均有相应的 几何性质,因此有关几何性质的问题可通过 向量或其运算转化化归为代数问题分析、探 究. 2.向量的工具性作用 线段的长 ,直线的夹角,有向线段的分点位 置,图形的平移变换均可用向量形式表示 ,从 而向量具有工具性作用 .可以用向量来研究几 何问题,利用其运算可以研究代数问题. 3.向量载体的意义 函数、三角函数、数列、解析几何 问题常常由向量形式给出,即以向量为 载体,通过向量的坐标运算转化化归为 相应的函数、三角函数、数列、解析几 何问题,这就是向量载体的意义 .这类问 题情境新颖,处在知识的交汇点,需要 综合应用向量、函数、三角函数、数列、 解析几何知识分析、解决问题. 1.在△ABC 中,有命题: → -AC → =BC →; ①AB → +BC → +CA → =0 ; ②AB → +AC → )· → -AC → )=0,则△ABC 为等腰三角形; ③若(AB (AB →· → >0,则△ABC 为锐角三角形. ④若AB AC 上述命题正确的是( A.①② C.②③ ) B.①④ D.②③④ → -AC → =CB → ,故①错; 【解析】在△ABC 中,AB →+ 由闭合向量和为零向量可知,②正确;③中 ( AB → )· → -AC → )=AB → 2-AC → 2=0,则 AB=AC,故为等腰 AC (AB 三角形,故③正确; →· → >0,则∠A∈(0,90° 若AB AC ),但∠B,∠C 不一 定为锐角,故不一定为锐角三角形,故选 C. 2.已知一物体在共点力 F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2) 的作用下产生位移 s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功 W 为( ) A.lg2 C.1 B.lg5 D.2 【解析】F1+F2=(1,2lg2),W=(F1+F2)· s=2lg2 +2lg5=2,故选 D. → 2= 3.已知 A、B、C 是△ABC 的三个顶点,AB →· → +AB →· → +BC →· → ,则△ABC 的形状为( AB AC CB CA A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ) → 2=AB →· → +CB → )+BC →· → 【解析】AB (AC CA → 2+BC →· → =AB CA →· → =0,即 BC⊥AC. 所以BC CA 4.如图,用两条成 120° 角的等长的绳子挂一个箱 子,已知箱子的重量为 10 N,每根绳子所承受力的大 小为 10 N. 【解析】 方法 1: 设每根绳子所承受的力为 F1、 F2, 2 2 则 F1+F2=G(G 为重力)?F2 + 2F · F + F = G ? 1 1 2 2 2 2 F2 + 2|F | · cos120° + F 1 1 2=100?|F1|=|F2|=10. 方法 2:如图,在△ABC 中,∠CAD=∠BAD= 60° 且|AD|=5, 所以 AC=AB=10. 5.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点, → +FB → +FC → =0,则|→ → |+|FC → |= 6 . 若FA FA|+|FB 【解析】设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C → +FB → +FC → =0,则 F 为△ABC 为该抛物线上三点,若FA 的重心,所以 A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐 → |+|FC → |=(xA+1)+ 标的 3 倍,即等于 3,所以|→ FA|+|FB (xB+1)+(xC+1)=6,故填 6. → +FB → +FC → =0 得出 F 为△ABC 的重 易错点:不能从FA 心,造成计算量增大,甚至失去解题方向. 一 用向量解决平面几何问题 【例 1】 如图所示,若点 D 是三角形 ABC 内 一点,并且满足 AB2+CD2=AC2+BD2,求证:AD ⊥BC. →· → =0, 【分析】要证明 AD⊥BC,则只需证明AD BC → =m,AB → =c,AC → =b,通过向量的运算解决. 可设AD → =c,AC → =b,AD → =m, 【证明】 设AB → =AD → -AB → =m-c,CD → =AD → -AC → =m-b. 则BD 因为 AB2+CD2=AC2+BD2, 所以 c2+(m-b)2=b2+(m-c)2, 即 c2+m2-2m· b+b2=b2+m2-2m· c+c2, →· → -AC → )=0, 即 2m· (c-b)=0,即AD (AB →· → =0,所以 AD⊥BC. 所以AD CB 【点评】(1)一般情况下,用向量解决平面几何 问题,要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向 量,再通过向量的运算法则和性质解决问题. (2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中 涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过运算,研究几何元素之间的关系,如距离、 夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 素材1 已知向量 m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m· n= sin2C,且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的 角. (1)求角 C 的大小; →· → -AC →) (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且CA (AB =18,求 c 边的长. 【解析】(1)m· n=sinAcosB+si


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