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保定市2015年高三摸底考试数学(文理都有)参考答案


2015 年保定市高三摸底考试 数学试题答案(理科) 一.选择题:CABBD ACADD BC 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. e 14.

? ??,1?

15. 1,3,9

16.

9 2

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)[] 解:(1) n ? 1, S1 ? a1 ? 2 ,?a1 ? 1 , ……………………1 分

n ? 2, Sn ? an ? Sn?1 ? an?1 ? 0, ? 2an ? an?1 ,……………………3 分
? a1 ? 1 ? 0,?
1 an 1 ? ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 的等比数列. 2 an?1 2
.…………5 分

所以 an ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

? 2 ? bn ?
?

1 ?1? ?1? l o g2 ? ? ? l o g2 ? ? ?2? ?2?
n n ?1

?

1 ????????7分 n ? n ? 1?

1 ? n ? 1????????????????????8分 nbn

?Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ?
18.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 cos B ?

n(n ? 3) …………………………………………10 分 2

4 3 ,所以 sin B ? . ---------------2 分 5 5 5 a b o ? 因为 A ? 30 , b ? 2 ,由正弦定理 可得 a ? ………………5 分 3 sin A sin B 1 3 ac , (2)因为 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? --------------- 6 分 2 10 8 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a 2 ? c 2 ? ac . ----------------8 分 5 8 2 2 因为 a ? c ? 2ac ,所以 2ac ? ac ? 4 , ----------------10 分 5
所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 19. (本小题满分 12 分) -----------------12 分

解: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3 3 2

……………………1 分

则 f ( x) ? ? x ?1? ? 1 ? x ? 3x ? 3x , 而 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 恒成立,
2 2

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . …………………4 分 (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即 不 等 式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在 区 间 [1, 2 ] 上 有 解 , 即 m 不 小 于 3 x 2 ? 3 x 在 区 间 [1, 2 ] 上的最小 值. …………………………………………………………………6 分
2 2 因为 x ? [1, 2] 时, 3x ? 3x ? 3( x ? ) ?

1 2

3 ? ?0,6? , 4

所以 m 的取值范围是 [0, ??) .…………………… 8 分 (3)由题意可得 f ? ? x ?=3(x ?1)2 ,所以 f ? ? x ?=6(x- 1) .令 f ? ? x ?=0 可得 x ? 1 , 所以函数 f ( x)的对称中心为 (1, m) , 即如果 x1+x2=2 ,则 f ? x1 ?+f ? x2 ?= 2m =2, …………………………………………10 分 所以 f (

1 2 2014 2015 2014 ? 2 )? f ( )+?+f ( )+f ( )= +1 ? 2015 .……………………12 分 1008 1008 1008 1008 2

20. (本小题满分 12 分) π 解: (1)由 sinx+1≠0 得,x≠- +2kπ (k∈Z), 2 π ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠- +2kπ ,k∈Z}.………………3 分 2 1-sin x (2)f(x)=( -1)(sinx-cosx)=(1-sinx-1)(sinx-cosx) 1+sinx =-sinx(sinx-cosx)=sinxcosx-sin x
2 2

……………………6 分

1 1-cos2x 1 1 = sin2x- = (sin2x+cos2x)- 2 2 2 2 = 2 π 1 sin(2x+ )- 2 4 2 π {x|x≠- +2kπ ,k∈Z}………9 分 2

π 虽然当 x=- +2kπ (k∈Z)时,f(x)=-1,但是 2 f(x)=-1 ? {x| x ? ?

?
4

? k? 或 x ? ?

?
2

? k? ,k∈Z} ? {x|x=-

π +2kπ ,k∈Z} 2

……………………………………………………………………………………10 分 ∴函数 f(x)的值域为 ? ?

? ?

2 ? 1 2 ? 1? , ? …………………………12 分 2 2 ?

21. (本小题满分 12 分)

解: (1)因为 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 13

又 a2a3 ? 40,?a2 , a3是方程x2 -13x+40=0的两实数根. 又公差 d ? 0 ,所以 a2 ? a3 所以 a2 ? 5, a3 ? 8 所以 ?

?a1 ? d ? 5, 解得 a1 ? 2, d ? 3 ?a1 ? 2d ? 8,
……………………………………………………3 分

所以 an ? 3n ? 1,

因为公比为 q(0 ? q ? 1) 的等比数列 ?bn ? 中, b1 , b3 , b5 ? { 所以,当且仅当 b1 ?

1 1 1 1 1 , , , , } 60 32 20 8 2

1 1 1 , b3 ? , b5 ? 时成立. 2 8 32 b 1 1 2 此时公比 q ? 3 ? ,? q ? b1 4 2 1 n 所以 bn ? ( ) . …………………………………………………………6 分 2 n (2)① n 为正偶数时, ?cn ? 的前 n 项和 Tn 中, ?an ? , ?bn ? 各有前 项,由(1)知 2
n n 1 1 n (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 ] 3n2 ? 2n ? 8 1 n 2 2 2 2 Tn ? ? ? ? ( )2 1 2 8 2 1? 2
② n 为正奇数时, Tn 中, ………………9 分

?an ?, ?bn ?分别有前 n ? 1 项、 n ? 1 项.
2 2
n ?1 2

n ?1 n ?1 1 1 (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 2 Tn ? 2 ?2 1 2 1? 2
22. (本小题满分 12 分) 解: (1)? f ?( x) ?

]

?

?1 3n2 ? 8n ? 13 1 n2 ? ( ) ………………12 分 8 2

1 1 ? 1,? f ?(2) ? ? ,……………………1 分 x 2

又切点为(2,ln2-1) ,所以切线方程为 x+2y-2ln2=0……………………3 分 (2) f ?( x) ?

1 ? 1 ? 0,? x ? 1 ,故函数 f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减。 x

于是 ? x1∈(0,+∞),f(x1) ≤f(1)=0,即 f(x1)的最大值为 0,……………………5 分 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f(x1)≤g(x2)成立, 只须 f(x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ?

k ? x 2 ? 2kx ? k k ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? x ?x ? x ? ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.……………………………………8 分 (3)由(2)知 f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f(x)≤f(1)=0, ∴ lnx≤x-1.……………………10 分

所以当 n≥2 时,

bn ?


f (n ? 1) ? n ln(n ? 1) n 1 1 1 1 ? 3 ? 2 ? ? ? , ? 3 3 n n n(n ? 1) n ? 1 n n n

?b ? b ?b
i?2 i
1

n

2

1? ? 1 1? 1? ? 1 ? 1 ? ? ? bn ? b1 ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 2 ? ? 3 ?1 3 ? ? n ?1 n ?

? 1?

1 ? 1 ………………………………12 分 n

2015 年保定市高三摸底考试 数学试题答案(文科) 一.选择题:CABBD ACADD BC 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.

3

14. [? 3, 3]

15. 1,3,9.

16. 1 ? 2

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)[] 解:(1) n ? 1, S1 ? a1 ? 2 ,?a1 ? 1 , ……………………1 分

n ? 2, Sn ? an ? Sn?1 ? an?1 ? 0, ? 2an ? an?1 ,……………………3 分
? a1 ? 1 ? 0,?
1 an 1 ? ,所以数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 的等比数列. 2 an?1 2
.…………5 分

所以 an ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

? 2 ? bn ?
?

1 ?1? ?1? l o g2 ? ? ? l o g2 ? ? ?2? ?2?
n n ?1

?

1 ????????7分 n ? n ? 1?

1 ? n ? 1????????????????????8分 nbn

?Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ?
18.(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 cos B ?

n(n ? 3) …………………………………………10 分 2

4 3 ,所以 sin B ? . ---------------2 分 5 5 5 a b o ? 因为 A ? 30 , b ? 2 ,由正弦定理 可得 a ? ………………5 分 3 sin A sin B 1 3 ac , (2)因为 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? --------------- 6 分 2 10 8 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a 2 ? c 2 ? ac . ----------------8 分 5 8 2 2 因为 a ? c ? 2ac ,所以 2ac ? ac ? 4 , ----------------10 分 5
所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 19. (本小题满分 12 分) -----------------12 分

解: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 ,
3 3 2

……………………1 分

则 f ( x) ? ? x ?1? ? 1 ? x ? 3x ? 3x , 而 f ?( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0 恒成立,
2 2

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . …………………5 分 (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解,即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即 不 等 式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在 区 间 [1, 2 ] 上 有 解 , 即 m 不 小 于 3 x 2 ? 3 x 在 区 间 [1, 2 ] 上的最小 值. …………………………………………………………………9 分
2 2 因为 x ? [1, 2] 时, 3x ? 3x ? 3( x ? ) ?

1 2

3 ? ?0,6? , 4

所以 m 的取值范围是 [0, ??) .……………………12 分 20. (本小题满分 12 分) π 解: (1)由 sinx+1≠0 得,x≠- +2kπ (k∈Z), 2 π ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠- +2kπ ,k∈Z}.………………3 分 2 1-sin x (2)f(x)=( -1)(sinx-cosx)=(1-sinx-1)(sinx-cosx) 1+sinx =-sinx(sinx-cosx)=sinxcosx-sin x
2 2

……………………6 分

1 1-cos2x 1 1 = sin2x- = (sin2x+cos2x)- 2 2 2 2 = 2 π 1 sin(2x+ )- 2 4 2 π {x|x≠- +2kπ ,k∈Z}………9 分 2

π 虽然当 x=- +2kπ (k∈Z)时,f(x)=-1,但是 2 f(x)=-1 ? {x| x ? ?

?
4

? k? 或 x ? ?

?
2

? k? ,k∈Z} ? {x|x=-

π +2kπ ,k∈Z} 2

……………………………………………………………………………………10 分 ∴函数 f(x)的值域为 ? ?

? ?

2 ? 1 2 ? 1? , ? …………………………12 分 2 2 ?

21. (本小题满分 12 分)

解: (1)因为 ?an ? 为等差数列,所以 a1 ? a4 ? a2 ? a3 ? 13 又 a2a3 ? 40,?a2 , a3是方程x2 -13x+40=0的两实数根. 又公差 d ? 0 ,所以 a2 ? a3 所以 a2 ? 5, a3 ? 8

所以 ?

?a1 ? d ? 5, 解得 a1 ? 2, d ? 3 ?a1 ? 2d ? 8,
……………………………………………………3 分

所以 an ? 3n ? 1,

因为公比为 q(0 ? q ? 1) 的等比数列 ?bn ? 中, b1 , b3 , b5 ? { 所以,当且仅当 b1 ?

1 1 1 1 1 , , , , } 60 32 20 8 2

1 1 1 , b3 ? , b5 ? 时成立. 2 8 32 b 1 1 2 此时公比 q ? 3 ? ,? q ? b1 4 2 1 n 所以 bn ? ( ) . …………………………………………………………6 分 2 n (2)① n 为正偶数时, ?cn ? 的前 n 项和 Tn 中, ?an ? , ?bn ? 各有前 项,由(1)知 2
n n 1 1 n (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 ] 3n2 ? 2n ? 8 1 n 2 2 Tn ? 2 ?2 ? ? ( )2 1 2 8 2 1? 2
② n 为正奇数时, Tn 中, ………………9 分

?an ?, ?bn ?分别有前 n ? 1 项、 n ? 1 项.
2 2
n ?1 2

n ?1 n ?1 1 1 (2 ? 3 ? ? 1) [1 ? ( ) 2 2 Tn ? 2 ?2 1 2 1? 2
22. (本小题满分 12 分)

]

?1 3n2 ? 8n ? 13 1 n2 ? ? ( ) ………………12 分 8 2

解: (1)? f ?( x) ? e x , g ?( x) ? 2ax ? b , ? f ?(0) ? 1 , g ?(0) ? b ,

? f(x) 与 g(x) 在 x=0 处有相同的切线,? b ? 1 .…………………3 分
(2)若 b ? 0, 0 ? a ? 1,则 y=f(x)g(x)= e x (ax 2 ? 1) , 所以 y? ? ex (ax2 ? 1) ? 2axex ? ex (ax2 ? 2ax ? 1) ……………………………5 分 又 0 ? a ? 1 , ex ? 0, ax2 ? 2ax ? 1 ? a( x ? 1)2 ? 1 ? a ? o

(? ?, +?) 所以函数 y=f(x)g(x)的单调递增区间为 …………7 分
(3)法 1:由 a=0,所以 f ( x) ? e , g ( x) ? bx ?1
x

①当 b ? 0 时,对任意的 x ? (??,0) , g ( x) ? bx ? 1 =1,而 f ( x) ? 1 , 所以 f ( x) ? g ( x) 恒成立. ………………………………………………8 分 ②当 b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 1 在 x ? (??,0) 上递减,所以 g ( x) ? g (0) ? 1 ,

而 f ( x) ? 1 ,所以 f ( x) ? g ( x) 恒成立. ……………………10 分

? 1在 x ? (??,0) 上 递 增 , 所 以 当 x ? ? ③ 当 b ? 0 时 , 由 于 g ( x) ? b x g ( x) ? 0 , 0 ? f ( x ) ? ,与 1 对任意的 x ? (??,0) , f ( x) ? g ( x) 相矛盾.
故 b 的取值区间为 ? ??,0? . ………………………………………12 分

1 时, b

法 2:由 a=0,则 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? bx ?1 ,? ? ?( x) ? e x ? b ,………8 分 ①当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在 R 单调递增, 又 ? (0) ? 0 ,? x ? (??,0) 时, ? ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) 恒成立. ………9 分 ②当 b ? 0 时,? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ;? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b

? 函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 单调递减; (ln b, ??) 单调递增,……………………10 分
(ⅰ)当 0 ? b ? 1 时,? ln b ? 0 ,又 ? (0) ? 0 ,? ? ( x)min ? ? (ln b) ? 0 , 而当 x ? ?

1 时, g ( x) ? 0,0 ? f ( x) ? 1 ,则 ? ( x) ? 0 , b

与 f ( x) ? g ( x) 相矛盾. …………………………………………11 (ⅱ)当 b ? 1 时, ln b ? 0 ,? 函数 ? ( x) 在 (??, 0) 单调递减,

? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,与 f ( x) ? g ( x) 矛盾.
故 b 的取值区间为 ? ??,0? . ………………………………………12 分


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