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第二章


高中数学必修 4 第二章 平面向量

1、向量、平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向 量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起 点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .
? ? ? ? ? ?

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C

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? ? ⑸ 坐 标 运 算 : 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则 ? ? a? b ? ?
1

? a

x ? ,2 x

1

.2 y ? ?
?

y
? ???? ??? ? ??? ?

?

? b

?

3、向量减法运算: a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向 被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 4、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . .
? ?
? ? ? ? ? ?

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考点 1

平面向量的概念及其线性运算

1.平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角,则 m=( A.-2 ) B.-1 C. 1 D.2 )

2. 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( A.e1=(0,0),e2=(1,2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)

B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)

D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) ??? ? (练习)1.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
A. ? ,-





?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

(x,1 ) ,b= 2.已知平面向量 a= , 则向量 a ? b (-x, x 2)

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

5、向量共线定理:6、平面向量基本定理 7、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? ?
考点 2

??? ?

????

x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 ? ? 1时,就为中点公式。) , ?. 1? ? ? ? 1? ?

平面向量基本定理及向量坐标运算 ) 9 A.-2 15 D. 2

1.已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=( B.0 C.3

π 2.设 0<θ< 2 ,向量 a=(sin 2θ ,cos θ ),b=(cos θ ,1),若 a∥b,则 tan θ =________.
(练习)1.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = D. -1 ??? ? ??? ? 2.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______. A. ?4 B. ? 3 C. ?2

??

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?? ?

? ?

?? ?

?





, k ) , b ? (9, 3.已知向量 a ? (1 k ? 6) .若 a // b ,则实 数 k ? __________
4.已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC ,

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??? ? ??? ?

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??? ?

则实数 ? 的值为__________. 5. 设 D,E 分 别 是 ?ABC 的 边 AB ,BC 上 的 点 , AD ? ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为__________. 6.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? ___ ______.

1 2 AB , BE ? BC , 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC 2 3

??? ? ????

????

8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? ? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
?
a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
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当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . ⑶运算律:⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ?b ?xx1 2?yy1 2 . 若 a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则
? ? a ? b ? 1x 2 x? 1 y 2 y? 0.
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?2

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?2

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设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则
? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2
考点 3 平面向量的数量积及应用

?

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?

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?

1.已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|=___. 2.设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=___. 1 3.已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α =3,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β =________. 4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则=______. → ·AC → =tan A,当 A=π 时,△ABC 的面积为______. 5.在△ABC 中,已知AB 6
(练习)1.在四边形 ABCD 中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C.5 D.10

????

??? ?





2.已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?





A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

3. 设 e1 , e2 为单位向量 . 且 e1 , e2 的夹角为 ___________

? , 若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 , 则向量 a 在 b 方向上的射影为 3

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 4.在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD·

练习作业:
???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 1.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ?

.

(A)1 (B)2 (C)3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.若向量 a, b 满足: | a |? 1 , (a ? b) ? a , (2a ? b) ? b ,则 | b |? (

(D)5 )

? ? ? ? ? ? 4.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________.

?

? ?

?

5..如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 ,
??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是



D

P

C

6.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ? 。

?
6

时, ?ABC 的面积为
A B

8.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 1200 ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE = l BC ,
2 DF = mDC .若 AE ? AF ? 1, CE ? CF ? ? ,则 l + m = ( ) 3 5 1 2 7 (A) (B) (C) (D) 6 2 3 12 ? ? ? ? ? ? 9.已知向量 a ? (k ,3), b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k =(
A. ? 9 2
B.0
C. 3



D.

15 2



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