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3.3等差数列的前n项和(第一课时)


项和(第一课时 第一课时) 等差数列的前 n 项和 第一课时

现实生活中有很多数列求和的问题,例如,某厂按垛堆放钢管,如图 3—4 所示,每一 垛最下层是 8 根,每往上一层少一根,共有 5 层,求钢管根数,这实际上是一个如何快速 求出数列:4,5,6,7,8 各项和的问题.

高斯在 10 岁时曾很快地求出了 1+2+3+…+100 的结果,你知道他的算法吗?对于 一般的等差数列怎样求出它的前 n 项和呢?本小节将研究等差数列的前 n 项和及其相关问 题. 【学习目标】 学习目标】

1 1.掌握等差数列的前 n 项和公式的推导,能灵活运用两种形式(即 Sn= 2 (a1+an)n 和 n( n ? 1) 2 Sn=na1+ d).
2.掌握“知三求二”法,理解等差数列的前 n 项和 Sn 是 n 的缺少常数项的二次函数, 会用方程的思想和函数的思想解题. 【学习障碍】 学习障碍】 1.对于推导前 n 项和公式的思路,自己想不到. 2.不能合理选择公式进行解题. 3.知道数列是一种函数,但在实际解题中却想不到怎样应用. 【学习策略】 学习策略】 Ⅰ.学习导引 1.阅读课本 P117~119. 2.本课时的重点主要集中在公式的两种形式的应用上,难点是获得公式的推导思路. (1)关于等差数列求和公式的推导,课本是由 1+2+3+…+100 的高斯算法,发现求和 的思路的.所谓高斯算法,就是构造下列等式:

1 + 100 = 101 ? 2 + 99 = 101 ? ? ? 3 + 98 = 101 ? ? ?????? ? 50 + 51 = 101? 共 50 个等式. ?
将这 50 个等式的两边都加起来,得到 1+2+3+…+100=101×50=5050. 高斯的思考方法可以推广到对一般数列求和中来. 设等差数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d,前 n 项和为 Sn,即:Sn=a1+a2+…+ a n. 下面我们用高斯算法来求出 Sn 的表达式. 当 n=2k 时,k∈N*,有

? ? a 2 + a n ?1 = 2a1 + (n ? 1)d ? ? a 3 + a n ? 2 = 2a1 + (n ? 1)d ? ? ?????? ? a k + a n? ( k ?1) = a k + a k +1 = 2a1 + (n ? 1)d ? ? 共 k 个等式.
将上面 k 个等式左右两边相加,得

a1 + a n = 2a1 + (n ? 1)d

n n( n ? 1) 2 Sn=a1+a2+…+an=[2a1+(n-1)d] ·k=[2a1+(n-1)d] 2 =na1+ · d.
当 n=2k+1 时,有 Sn=S2k+a2k+1

( 2k ) ? ( 2k ? 1) 2 应用上面的公式,得 S2k=(2k)a1+ ·d=2ka1+k(2k-1)d.
∴Sn=S2k+a2k+1=2ka1+k(2k-1)d+a1+2k·d=(2k+1)a1+k·(2k-1)d=na1+

n( n ? 1) 2 d.
这样我们就得到了通项公式为 an=a1+(n-1)d 的等差数列{an}的前 n 项和公式:Sn=

n( n ? 1) 2 na1+ d.



高斯的想法是非常巧妙的,但并不是惟一的好想法.前面堆放钢管根数的问题可给我 们一些启示:我们设想在这堆钢管的一侧,倒置堆放同样一垛钢管(如图 3—5 所示),这样

12 × 5 拼起来,每层都是 12 根,共 5 层,因此所求钢管总数是 2 =30 根.

这个例子启示我们可用下面的方法求等差数列的前 n 项和公式: Sn=a1+a2+…+an-1+an Sn=an+an-1+…+a2+a1

(a1 + a n ) + ( a 2 + a n ?1 ) + ? ? ? + ( a n + a1 ) = n( a1 + a n )
两式相加,得 2Sn=
共n 个

n ∴Sn= 2 (a1+an)
(2)课本中给出了四个例题.



将 an=a1+(n-1)d 代入,可得公式①

例 1 是已知首项、末项及项数求和,当然用第一个公式. 例 2 相当于已知 a1、d 及 Sn 求 n,可以由第二个公式列方程求得. 例 3 先求一个不等式的正整数解,确定数列的项数,再求出首项 a1=7,末项 a14=98, 从而用第一个公式求和. 例 4 是已知 S10、S20,通过列方程求出 a1 和 d. Ⅱ.知识拓宽

d 2 d n + ( a1 ? ) 2 n. 1. 等差数列前 n 项和公式可改写为 Sn= 2 显然 Sn 是 n 的二次函数. 当
d≥0 时有最小值; d<0 时有最大值. 当 我们可以利用二次函数求等差数列前 n 项和的最值. 2.数列{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(其中 A、B 为常数). 若等差数列{an}中 an=b,则 Sn=nb,而当 Sn=an2+bn+c(c≠0)时,数列{an}从第二项 起为等差数列. 3. 在等差数列中, 如果 a1, 2, an>0, n+1<0, Sn 最大(n>1). a …, a 则 同理如果 a1, 2, a …, an<0,an+1>0,则 Sn 最小(n>1).当 an+1=0 时,Sn=Sn+1.同是最大(最小)值.利用上述性 质求等差数列前 n 项和的最值的方法称为正负项分界法. Ⅲ.障碍分析 1.怎样合理选择数列求和公式解题? 要合理快捷地解答数列问题,恰当地选择公式是关键,因此弄清各公式的异同点和适 用范围是前提. 在等差数列的通项公式和两个求和公式中, 共有 a1, an, Sn 五个量. d, n, 知 道其中任意三个,就可以求出其余两个.这就是所谓的“知三求二”法.下表给出了等差 数列两个求和公式的比较. 前 n 项和公式 公式适用范围 相同点

n(a1 + a n ) 2 S n=
Sn=na1+

用于已知等差数列的首项和末项. 都是等差数列的前 n 项和公式. 用于已知等差数列的首项和公差.

n(n ? 1) d 2

[例 1]在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求 S110. 思路一:求数列的前 n 项和,只需求出 a1、d 两个量即可. 解法一:设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意得

11 10 × (10 ? 1) ? ? d = 100 ?d = ? 50 ?10a1 + ? ? 2 ? ? ?S10 = 100 ?100a + 100 × (100 ? 1) d = 10 ?a = 1099 ? 1 1 ? 2 100 ?S100 = 100 ? ? ? ?? 1 ? S110=110a1+ 2 ×110×109d=-110.
思路二:根据等差数列的前 n 项和公式的二次函数形式的变形,采用待定系数法. 解法二:设数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn,(A,B 为常数),则

11 ? ? A = ? 100 ? ? ?100 A + 10 B = 100 ? B = 111 ? 10 故 S110=12100A+110B=-110. ? ?10000 A + 100 B = 10 ? ?
思路三:运用等差数列中,如 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 的性质解题.

90(a11 + a100 ) 2 解法三:S100-S10=a11+a12+…+a100= =-90
故 a11+a100=a1+a110=-2,

110(a1 + a110 ) 2 ∴S110= =-110.
点评:在等差数列中,a1 和 d 是基本元素,在解决问题的过程中,通常是先求出基本 元素 a1、d,再解决其他问题.这种方法往往计算量较大.如果能运用等差数列的性质,则 可省却一些繁杂的运算,快速得到结果. 2.怎样结合函数性质解答数列问题? [例 2]等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大时,n=______________. 思路一:等差数列的前 n 项和 Sn 是关于 n 的二次函数,可结合二次函数的性质解答此 题.

4+9 解法一: n 有最大值. n 是开口向下的抛物线. ∵S ∴S 由于 S4=S5. 故对称轴为 n= 2

=6.5. 从而 n=6 或 7 时,Sn 最大.如图 3—6 所示.

思路二:写出 Sn 的二次函数表示式进行求解.

4×3 9×8 d = 9a1 + d 2 解法二:∵S4=S9,∴4a1+ 2 .
得 a1=-6d. ∵a1>0,∴d<0. ①

n( n ? 1) d 2 13d n( n ? 1) d n 2 2 ∴Sn=na1+ =n·(-6d)+ d= 2 - 2 n. 13 ∵d<0,∴开口向下,且对称轴 n= 2 =6.5,n∈N*.
∴n=6 或 7 时,Sn 最大. 思路三:采用正负项分界法,解法更为简捷. 解法三:由①得 an=a1+(n-1)d=-6d+(n-1)d=(n-7)d.

?a n ≥ 0, ?(n ? 7)d ≥ 0 得? ? 由 ?a n +1 ≤ 0. ?(n ? 6)d ≤ 0
?n ? 7 ≤ 0 ? ∵d<0,∴ ?n ? 6 ≥ 0 ,解得 6≤n≤7.
故 n=6 或 7. Ⅳ.思维拓展 [例 3]在等差数列{an}中,若 Sn=m,Sm=n(m≠n).求 Sm+n. 思路一:设 Sn=an2+bn,要求 Sm+n,即求 a(m+n)2+b(m+n). 解法一:设 Sn=an2+bn,由题意得 Sn=an2+bn=m Sm=am2+bm=n ①-②,得 a(n2-m2)+b(n-m)=m-n. ∵m≠n,∴a(n+m)+b=-1,∴a(m+n)2+b(m+n)=-(m+n). ① ②

∴Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=-(m+n).

(m + n)(a1 + a m + n ) 2 思路二:因为 Sm+n= ,所以只须求出 a1+am+n 即可.
解法二:不妨设 n>m.由题设知 Sn-Sm=m-n. 即 am+1+am+2+…+an=m-n.

(n ? m)(a m +1 + a n ) 2 ∴ =m-n,∴am+1+an=-2.
又 a1+am+n=am+1+an=-2.

(m + n)(a1 + a m + n ) 2 ∴Sm+n= =-(m+n) Sn 思路三:由 Sn=an +bn,得 n =an+b.可用几何法.
2

Sn 解法三:∵Sn=an2+bn.∴ n =an+b. S m+ n n m 故(m, m ),(n, n ),(m+n, m + n )在同一直线上,由斜率公式得
n m m S m+ n ? ? m n = n m+n m?n n ? (m + n) ,化简,得 Sm+n=-(m+n).
点评:解法一主要利用方程的思想及方法,在明确目标的前提下,凑出结论.解法二

Sn 利用求和公式, 应注意在利用求和公式时一定要数准项数. 解法三主要利用 n 的几何意义, Sn 即以(n, n )为坐标的点共线.
Ⅴ.探究学习 试将 5050 分拆成若干个连续整数之和. 答案: 答案: 解:(1)我们先从较小的数开始:1+2,1+2+3,…,太小了,继续往上加,得到:1 +2+3+…+100=5050, 很多读者对此结果是熟悉的. (2)由于 5050 是偶数,因此分成两个连续整数之和是不可能的.如分成三个连续整数之

a1 + a3 5050 3 ,而 a1+a2+a3=5050,必须 a2= 3 ,这也是不 和,则中间项是等差中项 a2=
可能的.如果分成连续四个整数之和,设为 a2-1,a2,a2+1,a2+2,则 2a2+2(a2+1)= 5050,即 a2=1262,因此有 1261+1262+1263+1264=5050. (3)按照上面的思路,继续考虑分解成 5 个连续整数之和的情形,设(a3-2)+(a3-1)+

a3+(a3+1)+(a3+2)=5050,

5050 a3= 5 =1010.
而再往下考虑可知 5050 不能分成 6 个或 7 个连续整数之和. 从上面的几种特殊情形,我们来看一看有没有一般规律可循,由于要分成连续 n 个整

5050 数之和,当 n 为奇数时, n 就是中间项,因此 n 是 5050 的一个奇数因子,而 5050=2
×5×5×101,所以 n 可取 5,25,101,2525 这几个值.

5050 5050 当 n 为偶数时, n 是中间两项的平均数,所以 2× n 是奇数,而 2×5050=22 5050 ×52×101,使 2× n 是奇数的偶数 n 有 4,4×5,4×52,4×101,4×5×101.这样就
可以很容易给出全部解答. 说明:(1)本题是已知数列求和的一种逆向问题,也可以通过用等差数列求和公式

n( n ? 1) 2 Sn=na1+ d
(本题 d=1,Sn=5050)解关于 n,a1 的不定方程. (2)本题 5050 是偶数,如果要分拆的整数为奇数,结果又会怎样?请读者自己思考.

【同步达纲练习】 同步达纲练习】 一、选择题 1.在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10 的值是 A.12 B.24 C.36 D.48 2.设{an}是等差数列且 d≠0,前 n 项和 Sn=a·n2+b·n+c,则 a,b,c 满足 A.a≠0,c=0 B.a=c=0 C.a≠0,b≠0,c≠0 D.c=0 3.已知在等差数列{an}中,a1<0,S25=S45,若 Sn 最小,则 n 为 A.25

B.35 C.36 D.45 4.在等差数列{an}中,a1∶a3=1∶3,且 S5=45.则 a4 等于 A.9 B.3 C.12 D.8 二、填空题 5.在等差数列{an}中,已知 a11=10,则 S21=______________. 6.在等差数列{an}中,若 a1-a4+a8-a12+a15=2,则 S15=______________. 三、解答题 7.已知一块菜地共有 20 畦,每畦长 12 m、宽 1.5 m,离菜地 18 m 处有一个池塘,浇 水的人从池塘挑一担水,绕着第一畦菜地走一圈,浇完第一畦菜地,然后返回池塘边,再 挑一担水,绕着第二畦菜地走一圈,浇完第二畦菜地,以后照此办理,直至浇完整块菜地, 问他一共走了多少路?如图 3—7

8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1,S2,S3,…S12 中哪一值最大,并说明理由.

参考答案 【同步达纲练习】 同步达纲练习】 达纲练习

10 × 9 一、1.B 提示:根据已知条件:10a1+ 2 ·d=120.

即:2a1+9d=24 ∴a1+a10=2a1+9d=24. 2.A 提示:根据等差数列前 n 项和公式.

n( n ? 1) d d 2 2 Sn=na1+ ·d= 2 ·n +(a1- 2 )·n d ∵d≠0,∴a= 2 ≠0,c=0.
3.B 提示:∵Sn 为 n 的二次函数,由 S25=S45 知,

25 + 45 2 =35 时,Sn 取值最小. 当 n=

5(a1 + a5 ) 5 × 2a3 = 2 2 =5a3=45. 4.C 提示:∵a3=3a1,S5=
1 ∴a3=9,a1=3,d= 2 (a3-a1)=3.
∴a4=12. 二、5.210 提示:∵a1+a21=2a11=20

21(a1 + a 21 ) 21 × 20 = 2 2 =210. ∴S21=
6.30 提示:∵a1+a15=a4+a12=2a8 ∴由已知可得:a8=2,a1+a15=4.

15(a1 + a15 ) 2 ∴S15= =30.
三、7.记浇完第 n(1≤n≤20)畦菜地后再回到池塘边时,浇水人所走的路程为 an,则 由题意得:a1=2×18+2×(12+1.5)=63 a2=2×18+2×(12+1.5)+2×1.5=66 a3=2×18+2×(12+1.5)+2×1.5+2×1.5=69 …… a20=2×18+2×(12+1.5)+19×2×1.5=120. 易见,{an}是等差数列.

a1 + a 20 63 + 120 2 2 S20= ×20= ×20=1830(m)
因为要计算的路程到浇完第 20 畦菜地为止,而我们假设的路程是浇完菜地后回到池塘 边的路程, 所以所求路程比实际要走的路程多出了从第 20 畦菜地返回到池塘边所走的路程, 因此所求路程为: S=S20-(18+19×1.5)=1830-46.5=1783.5(m) 答:浇水人一共走了 1783.5 m.

8.(1)依题意有:

12 × 11 ? ?S12 = 12a1 + 2 ? d > 0 ? ? ?S = 13a + 13 × 12 ? d < 0 1 ? 13 ? 2
① ②

?2a1 + 11d > 0 ? 即 ?a1 + 6d < 0
由 a3=a1+2d=12.得 a1=12-2d.

24 代入①②得:- 7 <d<-3.
(2)由 d<0 可知, a1>a2>a3>…>a12>a13. 因此,若在 1≤n≤12 中存在自然数 n,使 an>0,an+1<0 时,Sn 就是 S1,S2,S3,… Sn 中最大值.

a1 + a13 S13 ? = <0 ?a 7 = ? 2 13 ? ?a = a1 + a11 > a11 + a12 = S12 > 0 6 ? 2 2 12 由于 ? .
故 S1,S2,S3,…,S12 中,S6 为最大.



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