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广东省肇庆市2013届高三上学期期末考试数学文试题及答案


广东省肇庆市 2013 届高三上学期期末考试数学(文)试题
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.已知 i 是虚数单位,则 z ? (1 ? i)(2 ? i) 的共轭复数是 A. 3 ? i
2

B. 3 ? i

C. 1 ? i

D. 1 ? i

2. 已知集合 M ? {x | x ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {x | ?2 ? x ? 4},则 M ? N ? A. {x | ?1 ? x ? 3} B. {x | ?1 ? x ? 4} C. {?3,1} D. {?1,3} 3. 命题 “若 f ( x ) 是正切函数,则 f ( x ) 是周期函数”的否命题是 A.若 f ( x ) 是正切函数,则 f ( x ) 不是周期函数. B.若 f ( x ) 是周期函数,则 f ( x ) 是正切函数. C.若 f ( x ) 不是正切函数,则 f ( x ) 不是周期函数. D.若 f ( x ) 不是周期函数,则 f ( x ) 不是正切函数. 4.若向量 a,b 满足 a ? b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60° ,则 | a ? b |? A. 2 2 ? 3 5. 函数 f ( x) ? A. (0, ??) B. 2 3 C.4 ) C. (0,1) D. D.12

1 2x ? 1

? ln( x ?1) 的定义域是(
B. (1, ??)

(0,1) ?(1, ??)
? x ? y ? 1 ? 0, ? 6. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ? x ? 0, ?
A. 0 7.函数 f ( x) ? x ? A. (?1,1) B.

1 2

C. 2

D. 3

1 的单调递减区间是 x B. (?1, 0) ?(0,1)

C. (?1, 0) 和 (0,1)

D. (??, ?1) 和 (1, ??) ).

8.如图 1,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心) P ? ABCD 的底 面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的正视图的面积等于( A. 3 7 B. 6 7 C.12 D.24

9. 在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则△ABC 的面积是 A.3 B.

3 3 2

C. 3 3

D. 6 3

10. 若函数 y ? f ? x? 数 g ( x) ? lg x A.10

? x? R? 满足 f ? x ? 2? ? f ? x? 且 x???1,1? 时, f ? x? ? 1? x2 ;函 ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为
C.5 D.4

B.8

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 龙舟赛是肇庆人民喜爱的运动之一。 为了参加端午节龙舟赛, 某龙舟队进行了 6 次测试, 测得最大速度(m/s)的茎叶图如图 2 所示: 6 次测试的最大速度的平均数等于 则 方差等于 (结果用分数表示). (m/s),

12.直线 y ? x 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 10 所截得的弦长等于

.

13.假设关于 出的维修费用

x y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

某种汽车的使用年限 x 和所支

y (万元)有如表统计资料:

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23x ? a ,据此模型估计使用年限为 10 年时,维修费用约
为 万元。 (结果保留两位小数)

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3, ?ABC 中,D、E 分别在边 AB、AC 上,CD 平分

∠ACB,DE∥BC,如果 AC=10,AE=4,那么 BC=___________.

15. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线

? (sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 0 与 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 ? 0 的交点的极坐标为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? (Ⅰ)求 f ?

? ?

?? ? ( ? ? 0 , x ? R ),且以 ? 为最小正周期.
3? ? ? ? ? 10 ? ? ? f ? ? ? ? ,? ? ? ? ,0 ? ,求 sin ? 2 12 ? 13 ? 2 ?

?? ? )已知 ? 的值; (Ⅱ ?2?

?? ? ? ? ? ? 的值. 4? ?

17.(本小题满分 12 分) 继“三鹿奶粉”,“瘦肉精”, “地沟油”等事件的发生之后,食品安全问题屡屡发生,引 起了国务院的高度重视.为了加强食品的安全,某食品安检部门调查一个海水养殖场的养殖 鱼的有关情况, 安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出 100 条鱼, 称得每条鱼的重 量(单位:kg) ,并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长的速度为 1.0~1.2kg/ 年的比重超过 15%,则认为所饲养的鱼有问题,否则认为所饲养的鱼没有问题。 .. 鱼的质量 鱼的条数

[1.00,1.05)
3

[1.05,1.1)
20

[1.10,1.15)
35

[1.15,1.2)
31

[1.20,1.25)
9

[1.25,1.30)
2

(Ⅰ)根据数据统计表,估计数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少,并判断此养殖场 所饲养的鱼是否存在问题? (Ⅱ)上面捕捞的 100 条鱼中间,从重量在 [1.00,1.05) 和[ [1.25,1.30) 的鱼中,任取 2 条鱼来检测,求恰好所取得鱼重量 [1.00,1.05) 和[ [1.25,1.30) 各有 1 条的概率.

18. (本题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 .(Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ m ? )若

(n ? 1) ?1 2 an ,数列 ?bn ? 的满足关系式 bn ? ? , 求数列 ?bn ? 的通项公式; n?2 2 ?bn ?1 ? m (n ? 1)

19.(本小题满分 14 分)

在如图 4 所示的几何体中,平行四边形 ABCD 的顶点都在以 AC 为直径的圆 O 上,

AD ? CD ? DP ? a , AP ? CP ? 2a , DP // AM , 且 A M ?

1 D P, E , F 分 别 为 2

BP, CP的中点.
(I)证明: EF // 平面 ADP ; (II)求三棱锥 M ? ABP 的体积.

20. (本小题满分 14 分) 一动圆与圆 O1 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1外切,与圆 O2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 内切. (I)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程. (Ⅱ )设过圆心 O1 的直线 l : x ? my ? 1与轨迹 L 相交于 A、B 两点,请问 ?ABO2 ( O2 为圆

O2 的圆心)的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程,
若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? (a ? 1) x , a ? R ). ( 2

(Ⅰ)已知函数 y ? g ( x) 的零点至少有一个在原点右侧,求实数 a 的范围. (Ⅱ)记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两 点.如果在曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:① x0 ?

x1 ? x2 ;②曲线 C 在点 M 处的切 2

线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x) 存在“中值相依切线”. 试问:函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) ( a ? R 且 a ? 0 )是否存在“中值相依切线”,请说明 理由.

2011—2012 学年第一学期统一检测题 高三数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题: 1A 解析:因为 z ? (1 ? i)(2 ? i) ? 3 ? i ,所以 z ? 3 ? i 2D 解析: M ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ? {?1,3} ,所以 M ? N ? {?1,3} 3C 解析:根据命题“若 p,则 q”的否命题是“若 ? p ,则 ? q ”可知 C 正确 4B 解析: a ? b |2 ?| a |2 ? | b |2 ?2 | a || b | cos600 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? | 5B 解析:由 ?

1 ? 12 , a ? b |? 2 3 | 2

?x ?1 ? 0
x

?x ? 1 ?? ? x ? 1. ?2 ? 1 ? 0 ? x ? 0

6D 解析:平面区域如下图,三个“角点”坐标分别为

1 1 (0, 0), (0,1), ( ? , ) ,所以 zmax ? 3 2 2 1 1 7C 解析:函数 f ( x) ? x ? 的定义域为 x ? 0 的实数,令 f ?( x ) ? 1 ? 2 ? 0 解得 x ? ?1 , x x 当 ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是
8A 解析:正视图底边长为 6cm,两腰分别是侧面 PAB 和 PCD 所在三角形的高(正四棱锥的 斜高)组成的等腰三角形,腰长为 l ? 52 ? 32 ? 4 ,高为 h ? 42 ? 32 ? 7 ,面积为

1 S ? ? 6? 7 ? 3 7 2
9C 解:由余弦定理 cosA= ∴ S?ABC

9 ? 16 ? 13 1 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 3 = = ,∴sinA= . 2 2 ? 3? 4 2 AB ? AC 2 1 1 3 ? AB ? AC sin A ? ? 3 ? 4 ? ?3 3 2 2 2

10B 解:如图所示,因为函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为方程

h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? 0 根的个数,即函数 f ? x ? 和g ? x ? 图像交点个数,所以画出图像可
知有 8 个交点,故选 C.

二、填空题: 11 填:33(2 分) ,

47 1 (3 分). 解: x ? (27 ? 38 ? 30 ? 37 ? 35 ? 31) ? 33 , 3 6

1 47 ?(27 ? 33) 2 ? (38 ? 33) 2 ? (30 ? 33)2 ? (37 ? 33)2 ? (35 ? 33)2 ? (31 ? 33)2 ? ? ? ? 3 6 | 2?4| 12 填: 4 2 . 解:由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离 d ? ? 2 .于是, 12 ? 12 s2 ?
弦长为 2 r ? d ? 2 10 ? ( 2) ? 4 2 .
2 2 2

13 填: 12.38 .解:(1) x ?

1 1 (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) ? 4, y ? (2.2 ? 3.8 ? 5.5 ? 6.5 ? 7) ? 5 5 5 ? a ? y ? bx ? 5 ? 1.23 ? 4 ? 0.08 , ∴回归直线方程为 y ? 0.08 ? 1.23x ? 当 x ? 10 时, y ? 0.08 ?1.23 ? ? 10 12.38 (万元). 即估计用 10 年时维修费约为 12.38 万

元. 14 填:15. 解:∵DE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3. ∴DE=EC=AC-AE=10-4=6.∵DE∥BC,∴ 15 填: ? 2,

DE AE = .∴BC=15. BC AC

? ? .解:转化为直角坐标系下 x ? y ? 2 ? 0 与 y ? x ? 2 ? 0 ? ? 3? ? 的交点为 (0, ?2) ,该点在极坐标系下表示为 ? 2, ? ? 2 ?
三、解答题 16. 解(Ⅰ)∵ T ?

? ?

3? 2

2?

?

? ? ,∴ ? ? 2 ,

(2 分)

∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? ∴f?

?
3

)

(3 分)

?? ? ?? ? ? ? ?? ? (5 分) ? ? 2sin ? 2 ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 3 2 3? 3? 3 ?2? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 10 ?? ? ? ? (Ⅱ) ∵ f ? ? ? ? 2sin ?? 2 ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? ? 2? 13 ? 2 12 ? ? ?? 2 12 ? 3 ? 5 ∴ cos ? ? , (7 分) 13
12 ?5? ∵ ? ? ( ? , 0) ,∴ sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 13 ? 13 ?
2

?

2

(9 分) (12 分)

∴ sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

??

12 2 5 2 17 2 ? ? ? ?? 13 2 13 2 26

17 解:(Ⅰ)捕捞的 100 条鱼中间,数据落在 [1.20,1.25) 的概率约为 P ? 1 分)

9 ? 0.09 ; (1 100

2 ? 0.02 ; (2 分) 100 所以数据落在[1.20,1.30)中的概率约为 P ? P ? P ? 0.11 (4 分) 1 2
数据落在 [1.25,1.30) 的概率约为 P ? 1 由于 0.11?100 % ? 11 % ? 15 % 故饲养的这批鱼没有问题. (5 分) (6 分)

(Ⅱ)重量在 [1.00,1.05) 的鱼有 3 条,把这 3 条鱼分别记作 A , A2 , A3 , 1 重量在 [1.25,1.30) 的鱼有 2 条,分别记作: B1 , B2 , 那么所有的可能有:

{A1, A2},{A1, A3},{A2 , A3},{A1, B1},{A1, B2},{A2 , B1} ,{A2 , B2},{A3 , B1}, {A3 , B2},{B1, B2} 共 10 种,
(9 分) 而恰好所取得鱼重量在 [1.00,1.05) 和 [1.25,1.30) 各有 1 条有:

{A1 , B1},{A1, B2},{A2 , B1} ,{A2 , B2},{A3 , B1}, {A3 , B2} 共 6 种,
p2 ? 6 3 ? . (12 分) 10 5

(11 分)

所以恰好所取得鱼重量在 [1.00,1.05) 和 [1.25,1.30) 各有 1 条的概率为

18 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , 所以有 ?

?a1 ? 2d ? 7 , ?2a1 ? 10d ? 26
(7 分)

解得 a1 ? 3,d ? 2 , (5 分)

(3 分)

所以 an ? 3 ? 2 n ?1) ? 2n ? 1 ; ( (Ⅱ)∵ m ?

2an 22 n ?1 ? n ? 2 ? 2n ?1 , 2n ? 2 2

(8 分)

?b2 ? b1 ? 2 ? 2 ?b3 ? b2 ? 2 ? 3 ∴当 n ? 1 时 bn ? bn?1 ? 2n?1 ,即 bn ? bn?1 ? 2n?1 ,所以, ?b4 ? b3 ? 2 ??? ? ?bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ? 以 上 n ? 1 个 等 式 相 加 得 , bn ? b1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n?1 , 即

1 ? 2n ? 2n ? 1 bn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 所以 bn ? 1? 2 当 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足上式,所以数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ?1 .
2 3 n?1

(13 分) (14 分)

19 (I) 证明:∵AC 是圆 O 的直径,∴ ?ADC 为直角,即 CD ? AD ∵ AD ? CD ? a ,∴平行四边形 ABCD 是正方形,∴ BC // AD ∵ E , F 分别为 BP, CP 的中点,∴ EF // BC , ∴ EF // AD (4 分) ∵ EF ? 平面 ADP , AD ? 平面 ADP ? ∴ EF // 平面 ADP (6 分) (3 分)

(1 分)

(2 分)

2 2 2 (II) ∵ AD ? DP ? AP ,∴ ? ADP 是直角,∴ DP ? AD , 分) (7

同理 DP ? CD

∴ DP ? 平面 ABCD (8 分) ∵ DP // AM ,∴ AM ? 平面 ABCD , (9 分) ∴ AM ? AD ,又∴ AB ? AD ∴ AD ? 平面 ABM , (10 分) ∴点 D 到平面 ABM 的距离 AD,即为点 P 到平面 ABM 的距离,

1 1 AB ? AM ? a 2 2 4 1 1 1 2 1 3 a ∴ VP ? ABM ? S ?ABM ? AD ? ? a ? a ? 3 3 4 12 1 3 a ∴ VM ? ABP ? VP ? ABM ? 12
在直角三角形 ABM 中, S ?ABM ? 20 解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y ) ,半径为 R .

(11 分) (13 分) (14 分)

由题意,得 MO1 ? R ?1 , MO2 ? 3 ? R , ∴ MO1 ? MO2 ? 4 . 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a ? 2,c ? 1 ,

(3 分)

∴b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 .∴ 动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . (6 分) 4 3 (2) 如图,设 ?ABO2 内切圆 N 的半径为 r ,与直线 l 的切点为 C,则三角形 ?ABO2 的面积 1 1 S△ ABO2 ? ( AB ? AO2 ? BO2 )r ? ?( AO1 ? AO2 ) ? ( BO1 ? BO2 ) ? r ? 2ar ? 4r ? 2 2? 当 S△ ABO2 最大时, r 也最大, ?ABO2 内切圆的面积也最大, (7 分)
设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( y1 ? 0, y2 ? 0 ),

1 1 O1O2 ? y1 ? O1O2 ? y2 ? y1 ? y2 , 2 2 ? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
则 S△ ABO2 ? 解得 y1 ? ∴ S△ ABO2 有 S△ ABO2

(8 分)

?3m ? 6 m2 ? 1 ?3m ? 6 m2 ? 1 , y2 ? , (10 分) 3m2 ? 4 3m2 ? 4 12 m2 ? 1 2 2 ,令 t ? m2 ?1 ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 , ? 2 3m ? 4 1 1 12t 12t 12 ,令 f (t ) ? 3t ? ,则 f ?(t ) ? 3 ? 2 , ? 2 ? 2 ? t t 3(t ? 1) ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t
12 ? 3, 4

当 t ? 1 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 , S△ ABO2 ? 即当 t ? 1 , m ? 0 时, 4r 有最大值 3 ,得 rmax ?

3 9 ,这时所求内切圆的面积为 ? , 4 16 9 ∴存在直线 l : x ? 1 , ?ABO2 的内切圆 M 的面积最大值为 ? . (14 分) 16

21 解:(Ⅰ) (1)当 a ? 0 时, g ( x) ? x ,直线与 x 轴的交点为 O (0, 0) ,即函数 y ? g ( x) 的 零点为 0,不在原点右侧,不满足条件. (2)当 a ? 1 时, g ( x) ? 在原点右侧,不满足条件. (3)当 0 ? a ? 1 时, g ( x) ? 轴x? (1 分)

1 2 x ,抛物线的顶点为 O(0, 0) ,即函数 y ? g ( x) 的零点为 0,不 2
(2 分)

a ?1 ? 0 ,所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的左侧,故函数 y ? g ( x) 的零点 a
(3 分)

1 a ? 1 2 (a ? 1)2 a(x ? ) ? ,抛物线开口向上且过原点,对称 2 a 2a

不在原点右侧,不满足条件.

1 a ? 1 2 (a ? 1)2 ) ? (4)当 a ? 1 时, g ( x ) ? a (x ? ,抛物线开口向上且过原点,对称轴 2 a 2a a ?1 x? ? 0 ,所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的右侧,故函数 y ? g ( x) 有一个零 a
点在原点右侧,满足条件. (4 分) (5)当 a ? 0 时, g ( x ) ?

x?

a ?1 ? 0 ,所以抛物线与 x 轴的另一交点在对称轴的右侧,故函数 y ? g ( x) 有一个零 a
(5 (6 分)

1 a ? 1 2 (a ? 1) a (x ? ) ? ,抛物线开口向下且过原点,对称轴 2 a 2a
2

点在原点右侧,满足条件. 分) 综上可得, 实数 a 的取值范围是 (??,0) ? (1, ??) . (Ⅱ)假设函数 G ( x) 存在“中值相依切线”. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是曲线 y ? G ( x) 上的不同两点,且 0 ? x1 ? x2 , 则 y1 ? ln x1 ?

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 . 2 2 1 (ln x2 ? ln x1 ) ? a( x2 2 ? x12 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) y2 ? y1 2 ? k AB ? x2 ? x1 x2 ? x1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) x2 ? x1 2

(8 分)

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率

x1 ? x2 x ?x 2 )? (9 分) ? a ? 1 2 ? (a ? 1) , 2 x1 ? x2 2 ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 依题意得: ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2

k ? G?( x0 ) ? G?(

x2 ? 1) x1 ln x2 ? ln x1 x2 2( x2 ? x1 ) 2 ? 化简可得: , 即 ln = . ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 x1 x2 ? x1 ?1 x1 2(t ? 1) 4 4 x ? 2? ? 2. 设 2 ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? ,即 ln t ? t ?1 t ?1 t ?1 x1 2(
令 h(t ) ? ln t ?

(11 分)

(12 分)

4 1 4 (t ? 1)2 , h '(t ) ? ? . ? t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2 4 ? 2 成立. t ?1
(14 分)

因为 t ? 1 ,显然 h '(t ) ? 0 ,所以 h(t ) 在 (1, ??) 上递增,显然有 h(t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

综上所述,假设不成立.所以,函数 G ( x) 不存在“中值相依切线”.



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