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2014广州二模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】


2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)
一、选择题: 1.若复数 z 满足 i z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z 的虚部为( A. ? 2 B. 2 C. ?2 i 2.若函数 y ? f ? x ? 是函数 y ? 3x 的反函数,则 f ? A. ? log2 3 B. ? log3 2
3 2

) D. 2 i )

?1? ? 的值为( ?2?

C.

1 9


D. 3

3.命题“对任意 x ?R,都有 x ? x ”的否定是(
3 2 A.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0 3 2 C.存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0

3 2 B.不存在 x0 ? R,使得 x0 ? x0

D.对任意 x ?R,都有 x ? x
3

2

4.将函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x( x ? R ) 的图象向左平移

? 个单位长度后得到函数 y ? g ? x ? ,则函数 6

y ? g ? x? (



A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 5.有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1 ,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3 ,将两张卡片排在一起 组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 8

6.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上, a 2 b2


? C 的离心率为( 若 ?PF 1F 2 ? 30 ,则椭圆

A.

1 6

B.

1 3

C.

3 6

D.

3 3
) D. 12 ? ?12 第1列 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 … … 第2列 第3列 第4列 第5列

7.一个几何体的三视图如图 1,则该几何体的体积为( A. 6 ? ? 4 B. 12 ? ?4 C. 6 ? ?12 8. 将正偶数 2, 4, 6,8, 按表 1 的方式进行排列, 记 aij

表示第 i 行第 j 列的数,若 aij ? 2014 ,则 i ? j 的 值为( ) A. 257 C. 254 B. 256 D. 253

16 32

2 14 18 30 34


4 12 20 28 36


6 10 22 26 38


8
24

40


二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
1

9.不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集为
2

.

1? ? 10.已知 ? 2 x3 ? ? 的展开式的常数项是第 7 项,则正整数 n 的值为 x? ?

n

.

11.已知四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,若 DE ? 2EC, CF ? 2FB ,则 AE ? AF 的值为

.

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 12.设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8 ,则 ab 的最大值 ? x ? 0, y ? 0. ?
为 .
* 13.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,例如 ??1.5? ? ?2, ?1.5? ? 1 .设函数 f ? x ? ? ? ? x ? x ?? ? ,当 x ??0, n? (n ? N )

时,函数 f ? x ? 的值域为集合 A ,则 A 中的元素个数为 (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 ? 参数 ) 相切,切点在第一象限,则实数 a 的值为 .

.

? x ? a ? t, ? x ? 1 ? cos ? , (? 为 (t 为参数 ) 与圆 ? ? y ? sin ? ?y ? t

15. (几何证明选讲选做题)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AB 上,且 AE ? 与 DE 相交于点 F ,若△ AEF 的面积为 1 cm ,则△ AFD 的面积为
2

1 EB ,连接 DE, AC , AC 2
cm .
2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)如图 2,在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点,且 AB ? AD ? 1 , BD ? (1)求 cos A 的值; (2)求 sin C 的值.

2 3 . 3

2

17. (本小题满分 12 分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取 50 个作为样 本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 ? 5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ? 35,45? ,由此得到样本的重 量频率分布直方图,如图 3 .(1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1, 2,3,

, n? ,则样本数据的平均值为
频率 组距

X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

? xn pn .)

(3)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 ? 5,15? 内的小球 个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.
0.032 a 0.02 0.018

O

5

15

25 图3

35

45

重量/克

EF ∥平面 ABCD , 18. (本小题满分 14 分) 如图 4 , 在五面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,

EF ? 1 , FB ? FC, ?BFC ? 90? , AE ? 3 .(1)求证: AB ? 平面 BCF ;
(2)求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值.

E D

F C

A

B

3

19. (本小题满分 14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 ,对任意 n ?N ,都有 nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? .
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 n ? log 2 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 14 分) 已知定点 F ? 0,1? 和直线 l : y ? ?1 , 过点 F 且与直线 l 相切的动圆圆心为点 M , 记点 M 的轨迹为曲线 E .(1)求曲线 E 的方程; (2)若点 A 的坐标为 ? 2,1? , 直线 l1 : y ? kx ? 1(k ? R,且 k ? 0) 与曲线

E 相交于 B, C 两点,直线 AB, AC 分别交直线 l 于点 S , T . 试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个定点?若
是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? bx(a, b ? R ) 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 . (1)求 a , b 的值; (2)当 x ? 1 时, f ? x ? ?
*

?

?

k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

1 1 ? ? (3)证明:当 n ?N ,且 n ? 2 时, 2ln 2 3ln 3

1 3n2 ? n ? 2 ? ? . n ln n 2n 2 ? 2n

4

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 9. ? ? ,1? 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C

? 1 ? ? 2 ?

10. 8

11. a

2

12. 4

13.

n2 ? n ? 2 2

14. 2 ? 1

15. 3

三、解答题: 16. (本小题满分12分)

?2 3? 1 ?1 ? ? ? 3 ? 1 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 2 3 ? ? ? .……4 分 (1)解:在△ ABD 中, AB ? AD ? 1 , BD ? ,∴ cos A ? 2 ? 1? 1 3 2 ? AB ? AD 3
2 2

2

(2)解:由(1)知, cos A ?

1 2 2 2 ,且 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ? .………6 分 3 3

∵ D 是边 AC 的中点,∴ AC ? 2 AD ? 2 . 在△ ABC 中, cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 12 ? 22 ? BC 2 1 33 ? ? ,………8 分,解得 BC ? .………10 分, 2 ? AB ? AC 2 ? 1? 2 3 3

由正弦定理得,

AB ? sin A BC AB ? ? ,………11 分,∴ sin C ? sin A sin C BC

1?

2 2 3 ? 2 66 .………12 分 33 33 3

17. (本小题满分 12 分) (1)解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? x ? 0.018? ?10 ? 1,………1 分,解得 x ? 0.03 .………2 分 (2)解: 50 个样本小球重量的平均值为 X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6 (克)……3 分 由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克. …………4 分 (3)解:利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,则 ?
3

? 1? B ? 3, ? .………5 分 ? 5?
2

64 48 ?4? 1?1? ? 4? ? 的取值为 0,1, 2,3 ,………6 分, P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? , P ?? ? 1? ? C3 , ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3

1 ? 1 ? ? 4 ? 12 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ………10 分,∴ ? 的分布列为: P ?? ? 2? ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125

2

3

?
P

0

1

2

3

64 125

48 125
5

12 125

1 125

……11 分,∴ E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .……12 分(或者 E? ? 3 ? ? ) 125 125 125 125 5 5 5

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 AB 的中点 M ,连接 EM ,则 AM ? MB ? 1 , ∵ EF ∥平面 ABCD , EF ? 平面 ABFE ,平面 ABCD 平面 ABFE ? AB , ∴ EF ∥ AB ,即 EF ∥ MB .………1 分,∵ EF ? MB ? 1 ,∴四边形 EMBF 是平行四边形.………2 分
2 2 2 ∴ EM ∥ FB , EM ? FB .在 Rt△ BFC 中, FB ? FC ? BC ? 4 ,又 FB ? FC ,得 FB ?

2.

∴ EM ? 2 .………3 分,在△ AME 中, AE ? 3 , AM ? 1 , EM ? 2 ,
2 2 2 ∴ AM ? EM ? 3 ? AE ,∴ AM ? EM .………4 分,∴ AM ? FB ,即 AB ? FB .

∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AB ? BC .……5 分,∵ FB

BC ? B , FB ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,

∴ AB ? 平面 BCF .………6 分 (2)证法 1:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点, 取 BC 的中点 H ,连接 OH , EO , FH ,则 OH ∥ AB , OH ? 由(1)知 EF ∥ AB ,且 EF ?

1 AB ? 1 . 2
D

E

F C

1 AB ,∴ EF ∥ OH ,且 EF ? OH . 2 ∴四边形 EOHF 是平行四边形.∴ EO ∥ FH ,且 EO ? FH ? 1 ……7 分 A 由(1)知 AB ? 平面 BCF ,又 FH ? 平面 BCF ,
∴ FH ? AB .………8 分,∵ FH ? BC , AB

O M B

H

BC ? B, AB ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,

∴ FH ? 平面 ABCD .………9 分,∴ EO ? 平面 ABCD . ∵ AO ? 平面 ABCD ,∴ EO ? AO .………10 分 ∵ AO ? BD , EO

BD ? O, EO ? 平面 EBD , BD ? 平面 EBD , ∴ AO ? 平面 EBD .………11 分
AO ? 2 .……13 分 EO

∴ ?AEO 是直线 AE 与平面 BDE 所成的角.…12 分,在 Rt△ AOE 中, tan ?AEO ? ∴直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值为 2 .………14 分 证法 2:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O ,则点 O 是 AC 的中点,

1 取 BC 的中点 H ,连接 OH , EO , FH ,则 OH ∥ AB , OH ? AB ? 1 . 2 1 由(1)知 EF ∥ AB ,且 EF ? AB ,∴ EF ∥ OH ,且 EF ? OH . 2 A ∴四边形 EOHF 是平行四边形.∴ EO ∥ FH ,且 EO ? FH ? 1 .…7 分 AB ? FH ? FH ? AB BCF BCF 由(1)知 平面 ,又 平面 ,∴ .
∵ FH ? BC , AB

E D O M x B

F

z

C H y

BC ? B, AB ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,∴ FH ? 平面 ABCD .

∴ EO ? 平面 ABCD .………8 分,以 H 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴, OH 所在直线为 y 轴, HF 所在直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系 H ? xyz ,则 A ?1, ?2,0? , B ?1,0,0 ? , D ? ?1, ?2,0? , E ? 0, ?1,1? . ∴ AE ? ? ?1,1,1? , BD ? ? ?2, ?2,0 ? , BE ? ? ?1, ?1,1? .………9 分,设平面 BDE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 由 n ?BD ? 0 , n ?BE ? 0 ,得 ?2 x ? 2 y ? 0 , ? x ? y ? z ? 0 ,得 z ? 0, x ? ? y .

6

令 x ? 1 ,则平面 BDE 的一个法向量为 n ? ?1, ?1,0? .……10 分,设直线 AE 与平面 BDE 所成角为 ? ,

则 sin ? ? cos n, AE

?

n ? AE n AE

?

sin ? 3 6 2 ? 2 .…13 分 .…11 分,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , tan ? ? cos ? 3 3

∴直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值为 2 .………14 分 19. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:当 n ? 2 时, nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? , ? n ? 1? an ? Sn?1 ? n ? n ? 1? ,……1 分 两式相减得 nan?1 ? ? n ?1? an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1? ? n ? n ?1? ,………3 分 即 nan?1 ? ? n ?1? an ? an ? 2n ,得 an?1 ? an ? 2 .…5 分,当 n ? 1 时,1? a2 ? S1 ? 1? 2 ,即 a2 ? a1 ? 2 ……6 分 ∴数列 ?an ? 是以 a1 ? 0 为首项,公差为 2 的等差数列.∴ an ? 2 ? n ?1? ? 2n ? 2 .………7 分 解法 2:由 nan?1 ? Sn ? n ? n ?1? ,得 n ? Sn?1 ? Sn ? ? Sn ? n ? n ? 1? ,………1 分 整理得, nSn?1 ? ? n ? 1? Sn ? n ? n ? 1? ,………2 分,两边同除以 n ? n ? 1? 得, ∴数列 ?

Sn ?1 Sn ? ? 1 .………3 分 n ?1 n

Sn S1 ? Sn ? ? 是以 ? 0 为首项,公差为 1 的等差数列.∴ ? 0 ? n ? 1 ? n ? 1 .∴ Sn ? n ? n ?1? .…………4 分 1 n ?n?

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ?1? ? ? n ?1?? n ? 2? ? 2n ? 2 .………5 分 又 a1 ? 0 适合上式,…………6 分,∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 2 .…………7 分 (2)解法 1:∵ an ? log2 n ? log 2 bn ,∴ bn ? n ? 2 n ? n ? 22n?2 ? n ? 4n?1 .………9 分
a

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bn?1 ? bn ? 40 ? 2 ? 41 ? 3? 42 ?

? ? n ?1? ? 4n?2 ? n ? 4n?1 ,①

4Tn ? 41 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ?
0 1 2

? ? n ?1? ? 4n?1 ? n ? 4n ,②………11 分
?4
n?1

① ? ②得 ?3Tn ? 4 ? 4 ? 4 ? ∴ Tn ?

1 ? 3n ? ? 4n ? 1 ? 1 ? 4n n ? n?4 ? .………13 分 ? n? 4 ? 1? 4 3
n

1 ?? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? .………14 分 9?
a 2 n ?2

解法 2:∵ an ? log2 n ? log 2 bn ,∴ bn ? n ? 2 n ? n ? 2 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? 由x?x ?x ?
2 3

? n ? 4n?1 .…………9 分

? bn?1 ? bn ? 40 ? 2 ? 41 ? 3? 42 ?
x ? x n ?1 ? x ? 1? ,………11 分 1? x

? ? n ?1? ? 4n?2 ? n ? 4n?1 .

? xn ?

7

两边对 x 取导数得, x ? 2 x ? 3x ?
0 1 2

? nxn?1 ?

nx n ?1 ? ? n ? 1? x n ? 1

?1 ? x ?

2

.……12 分

令 x ? 4 ,得 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ?
0 1 2

? ? n ? 1? ? 4n ? 2 ? n ? 4n ?1 ?

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ? .………13 分 9

∴ Tn ?

1 ? ? 3n ? 1? ? 4n ? 1? ? ? .…………14 分 9

20. (本小题满分 14 分) (1)解法 1:由题意,点 M 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离,故点 M 的轨迹是以点 F 为焦点, l 为准线 的抛物线.………1 分,∴曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y .………2 分 解法 2:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,依题意, 得 MF ? y ?1 ,即 x ? ? y ? 1? ? y ? 1 …………1 分
2 2

化简得 x2 ? 4 y .∴曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y .………2 分
2 2 (2)解法 1: 设点 B, C 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,依题意得, x1 ? 4 y1 , x2 ? 4 y2 .

由?

? y ? kx ? 1, 4k ? 4 k 2 ? 1 2 y x ? 4 kx ? 4 ? 0 消去 得 ,解得 x ? ? 2k ? 2 k 2 ? 1 . 1,2 2 2 ? x ? 4 y,
x12 ?1 y ?1 4 x ?2 ? 1 ? ? 1 , x1 ? 2 x1 ? 2 4

∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .………3 分,直线 AB 的斜率 k AB

故直线 AB 的方程为 y ? 1 ?

x1 ? 2 8 , ? x ? 2 ? .………4 分,令 y ? ?1 ,得 x ? 2 ? 4 x1 ? 2

∴点 S 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? ? ? 8 8 , ?1 ? .……5 分,同理可得点 T 的坐标为 ? 2 ? , ?1 ? .………6 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? ?

∴ ST ? 2 ?

8 ? x1 ? x2 ? 8 ? x1 ? x2 ? 8 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 8 8 ? ??2? ? ? ? .……7 分 ?? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k
2

∴ ST

2

?

? x1 ? x2 ?
k2

?x ? x ? ? 1 2

2

? 4 x1 x2

k2

?

16 ? k 2 ? 1? k2

.………8 分,设线段 ST 的中点坐标为 ? x0 , ?1? ,

则 x0 ?

4 ? x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? 4k ? 4? 4 ? 4k ? 4 ? 1? 8 8 ? 2 ?2? ? 2? ? 2? ? ? .……9 分 ?2? ? ? 2? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 8k k 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2?

2 4 ? k 2 ? 1? 2? 1 2 2 ? ∴以线段 ST 为直径的圆的方程为 ? x ? ? ? ? y ? 1? ? ST ? .………10 分 k2 k? 4 ?

4 ? k 2 ? 1? 4 4 2 2 展开得 x ? x ? ? y ? 1? ? ? 2 ? 4 .………11 分,令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 2 k k k
2

y ? ?3 .………12 分,∴以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? .………14 分

8

解法 2:由(1)得抛物线 E 的方程为 x2 ? 4 y .设直线 AB 的方程为 y ?1 ? k1 ? x ? 2? ,点 B 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,

2 ? ? ? ? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , 2 ?x ? 2 ? , k1 ∴点 S 的坐标为 ? 2 ? , ?1 ? . …………3 分 由? 解得 ? k1 ? ? ? y ? ?1, ? y ? ?1. ?
由?

? y ? 1 ? k1 ? x ? 2 ? , ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x2 ? 4k1x ? 8k1 ? 4 ? 0 ,即 ? x ? 2?? x ? 4k1 ? 2? ? 0 ,解得 x ? 2 或

x ? 4k1 ? 2 .………4 分,∴ x1 ? 4k1 ? 2 , y1 ?

1 2 x1 ? 4k12 ? 4k1 ? 1 . 4

2 ∴点 B 的坐标为 4k1 ? 2, 4k1 ? 4k1 ? 1 .…………5 分,同理,设直线 AC 的方程为 y ?1 ? k2 ? x ? 2? ,

?

?

则点 T 的坐标为 ? 2 ?

? ?

? 2 2 , ?1 ? ,点 C 的坐标为 ? 4k2 ? 2, 4k2 ? 4k2 ? 1? . …………6 分 k2 ?

∵点 B, C 在直线 l1 : y ? kx ? 1上,∴ k ?

? 4k

2 2

? 4k2 ? 1? ? ? 4k12 ? 4k1 ? 1?

? 4k2 ? 2 ? ? ? 4k1 ? 2 ?

?

?k

2 2

? k12 ? ? ? k2 ? k1 ? k2 ? k1

? k1 ? k2 ?1 .


2 2 ∴ k1 ? k2 ? k ? 1 .……7 分, 又 4k1 ? 4k1 ?1 ? k ? 4k1 ? 2? ?1 , 得 4k1 ?4k1 ?4k k 1 ?2 k ?4 k ?1? k 2 ? 1k 1 k ?? 2

化简得 k1k 2 ? 得? x ?2?

k .………8 分,设点 P ? x, y ? 是以线段 ST 为直径的圆上任意一点,则 SP ? TP ? 0 ,………9 分 2

? ?

4 2 ?? 2? 2 2 ?? x ? 2 ? ? ? ? y ? 1?? y ? 1? ? 0 ,……10 分,整理得, x ? k x ? 4 ? ? y ? 1? ? 0 .……11 分 k1 ?? k2 ?
2

令 x ? 0 ,得 ? y ? 1? ? 4 ,解得 y ? 1 或 y ? ?3 .………12 分 ∴以线段 ST 为直径的圆恒过两个定点 ? 0,1? , ? 0, ?3? .………14 分 21. (本小题满分 14 分) (1)解:∵ f ? x ? ? a ln x ? bx ,∴ f ? ? x ? ?

1 a 1? ? ? b .∵直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的斜率为 ,且过点 ?1, ? ? ,……1 分 2 x 2? ?

1 1 ? ? f ?1? ? ? , ?b ? ? , ? 1 ? ? 2 2 ∴? 即? 解得 a ? 1, b ? ? .………3 分 2 ? f ? ?1? ? 1 , ?a ? b ? 1 , ? ? ? 2 ? 2
(2)解法 1:由(1)得 f ? x ? ? ln x ? 当 x ? 1 时, f ? x ? ?

x . 2

k x k x2 ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 ,等价于 k ? ? x ln x .………4 分 x 2 x 2

x2 ? x ln x ,则 g? ? x ? ? x ? ? ln x ?1? ? x ?1? ln x .………5 分 令 g ? x? ? 2

9

令 h ? x ? ? x ?1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? . x x

当 x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? x ? ? h ?1? ? 0 .………6 分 从而,当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,即函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 g ? x ? ? g ?1? ? 因此,当 x ? 1 时, k ?

1 .………7 分 2

1 x2 1? ? ? x ln x 恒成立,则 k ? .………8 分,∴所求 k 的取值范围是 ? ??, ? .………9 分 2 2 2? ? x k x k .当 x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0 恒成立,即 ln x ? ? ? 0 恒成立.………4 分 2 x 2 x

解法 2:由(1)得 f ? x ? ? ln x ? 令 g ? x ? ? ln x ?
2

x k 1 1 k x 2 ? 2 x ? 2k ? ,则 g ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? . 2 x x 2 x 2x2

方程 x ? 2 x ? 2k ? 0 (﹡)的判别式 ? ? 4 ? 8k .

1 2 时,则 x ? 1 时, x ? 2 x ? 2k ? 0 ,得 g? ? x ? ? 0 , 2 1 k 故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减.由于 g ?1? ? ? ? k ? 0, g ? 2 ? ? ln 2 ?1 ? ? 0 , 2 2 x k 则当 x ? ?1, 2? 时, g ? x ? ? 0 ,即 ln x ? ? ? 0 ,与题设矛盾. …………5 分 2 x
(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 k ?

1 ? x ?1? ? 0 . x2 ? 2 x ? 1 (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 k ? 时,则 x ? 1 时, g ? ? x ? ? ? ?? 2 2 2x 2 x2
2

故函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减,则 g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,符合题意. ………6 分 (ⅲ) 当 ? ? 0 ,即 k ?

1 时,方程(﹡)的两根为 x1 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1, x2 ? 1 ? 1 ? 2k ? 1 , 2

则 x ? ?1, x2 ? 时, g? ? x ? ? 0 , x ? ? x2 , ??? 时, g? ? x ? ? 0 . 故函数 g ? x ? 在 ?1, x2 ? 上单调递增,在 ? x2 , ??? 上单调递减, 从而,函数 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的最大值为 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x2 k ? . ………7 分 2 x2

而 g ? x2 ? ? ln x2 ?

x 1 x2 k x 1 ?0, ? ? ln x2 ? 2 ? ,由(ⅱ)知,当 x ? 1 时, ln x ? ? 2 2x 2 x2 2 2 x2

得 ln x2 ?

x2 1 ? ? 0 ,从而 g ? x2 ? ? 0 .故当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ? x2 ? ? 0 ,符合题意.………8 分 2 2 x2
? ? 1? ?

综上所述, k 的取值范围是 ? ??, ? .………9 分 2

x 1 x2 ?1 ? 0 ,可化为 x ln x ? (3)证明:由(2)得,当 x ? 1 时, ln x ? ? , …10 分 2 2x 2
10

又 x ln x ? 0 ,从而, 把 x ? 2,3, 4,

1 2 1 1 ? 2 ? ? .………11 分 x ln x x ? 1 x ? 1 x ? 1

, n 分别代入上面不等式,并相加得,

1 1 ? ? 2ln 2 3ln 3
? 1?

?

1 ? 1? ? 1 1? ?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ln n ? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ?

1? ? 1 1 ? ? 1 ? ??? ? ? ? …………12 分 ? n ? 2 n ? ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 3n2 ? n ? 2 ? ? ……13 分, ? .………14 分 2 n n ?1 2n 2 ? 2n

11



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