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南阳市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)

2015 年 春 期 高 中 二 年 级 期 终 质 量 评 估

数学试题(文)
一、选择题(每小题 5 分) z 1.设 i 是虚数单位,若 ? 1 ? i ,则复数 z=( 2?i )

A.2+i B.1+i C.3+i D.3-i 2.如图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加入“归纳”,则应该放在( A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位



3.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两同学各自独立地做 100 次和 150 次试验,并且 利用线性回归方法,求得回归直线分别为 t1 和 t 2 ,已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测值的平均值都 是 s ,对变量 y 的观测值的平均值都是 t ,那么下列说法正确的是( A. t1 和 t 2 有交点 ( s, t ) C. t1 和 t 2 必定重合 )

B. t1 和 t 2 相交,但交点不是 ( s, t ) D. t1 和 t 2 必定不重合
?
?? ? ? 3 1 ? , 0.18 ? 18 ? 2 , 0. 3 5 2 ? 352 , 9 3 99 11 999

4.观察下面关于循环小数化分数的等式: 0. 3 ?

0.000 5 9 ? 0.001 ? 0. 5 9 ?
A.

? ?

? ?

23 90

? 1 59 59 据此推测循环小数, 0.2 3 可化成分数( ? ? 1000 99 99000 99 8 7 B. C. D. 23 15 30



5.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z1 ? z2 ? 0 ,则 z1 ? z2 C.若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z1 ? z2 ? z2



B. 若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2 D.若 z1 ? z2 ,则

z1 ? z2

2

2

6.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四 个结论:

? ? 2.347x ? 6.423; ① y 与 x 负相关且 y ? ? 5.437x ? 8.493; ③ y 与 x 正相关且 y
其中一定不正确的结论的序号是( )

? ? ?3.476x ? 5.648 ; ② y 与 x 负相关且 y ? ? ?4.326x ? 4.578. ④ y 与 x 正相关且 y

A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 二、选修题,下列 7、8、9 三道题每题均含选修 4-1 和选修 4-4 各一个小题,请你在每道题的两个小题中 任选一题作答. 7.选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标方程(ρ﹣1) (θ﹣π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 选修 4-1:几何 证明选讲 如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于占 E,则 2 A.AD?AB=CD B.CE?CB=AD?AB 2 C.CE?CB=AD?DB D.CE?EB=CD

8.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .在以原点为极点, x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中,该圆的 方程为 A.ρ=2cosθ B.ρ=2sinθ 选修 4-1:几何证明选讲

C.ρ=﹣2cosθ

D.ρ=﹣2sinθ ,则∠ABC=( )

如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点, A.70° B. 60° C.45° D.30°

9.选修 4-4:坐标系与参数方程 设 P ( x, y ) 是曲线 C: ? A . [ ? 3, 3 ] C. [ ?

? x ? ?2 ? cosθ y ( ? 为参数,0≤θ<2π)上任意一点,则 的取值范围 x ? y ? sin θ
B. (??,? 3] ?[ 3,??) D. (??,?

3 3 , ] 3 3

3 3 ] ? [ ,??) 3 3

选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB =FD?FA; ③AE?CE=BE?DE;④AF?BD=AB?BF. 所有正确结论的序号是 A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
2

10. 甲、 乙两队进行排球决赛, 现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军, 乙队需要再赢两局才能得冠军, 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.

1 2

B.

3 5
x

C.

2 3

D.

3 4

11.已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 ? A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

1 的一个零点.若 x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 ,??) ,则 1? x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

12.已知函数 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 3 ,若存在 f (a) ? f (b) ,则实数 b 的取值范围为 A. [1,3] 二、填空题 13.已知 log2 ( x ? 3x ? 2) ? i log(x ? 2 x ? 1) ? 1 ,则实数 x 的取值集合为
2 2

B. (1,3)

C. (2 ? 2 ,2 ? 2 )

D. [2 ? 2 ,2 ? 2 ]

. .

14.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为

5 ,则判断框中应填入的条件是 6

15.甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这 20 名学生中随机抽取一 人, 将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件 A; “抽出的学生英语口语测试成绩不低于 85 分”记为事件 B. 则 P(A|B)的值是 .

3 2 16.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义: f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数, f ??( x) 是

函数 f ?( x ) 的导函数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同 学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有都有对称中心,且“拐点”就是对称

中心.若 f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,根据这一发现,可求得 3 2 12


f(

1 2 3 4 2015 )? f ( )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( )? 2016 2016 2016 2016 2016

三、解答题 17.已知: x ? R, a ? x 2 ?1, b ? 4 x ? 5 .求证: a , b 中至少有一个不小于 0. 18.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

1 2 与 ,且各次投球相互之间没有影响. 2 5

(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求这二次投球中恰好命中一次的概率; (2)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少有一次命中的概率. 19.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据:

x y
5

2 30
5

4 40
5

5 60

6 50
n i i

8 70

参考数据(

)b ? ? xi ? 145, ? yi ? 13500, ? xi yi ? 1380.
2 2 i ?1 i ?1 i ?1

? x y ? nx y
i ?1 n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx

(1)求线性回归方程; (2)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大? 20.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关, 先统计本校 2014-2015 学年高二年级每个学 生一学期数学成绩平均分 (采用百分制) , 剔除平均分在 30 分下的学生后, 共有男生 300 名, 女生 200 名, 现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为 6 组,得到如 下所示频数分布表. 分数段 男 女 [40,50) 3 6 [50,60) 9 4 [60,70) 18 5 [70,80) 15 10 [80,90) 6 13 [90,100) 9 2

(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该级区间中点值作代表) ,从计算结果看,数学成绩与性 别是否有关; (2)规定 80 分以上者为优分(含 80 分) ,请你根据已知条件作出 2×2 列联表,并判断是否有 90%以上的 把握认为“数学成绩与性别有关”. 优分 男生 女生 合计 100 非优 分 合计 喜欢户外活动

参考公式:K 2 =

n(ad ? bc)2 , 其中n ? a ? b ? c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

21.已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) ex

处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数.证明:对任意

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题计分,作答时请写清题号. 22.如图,已知 AB 为圆 O 的一条直径,以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点,交圆 O 于 E、F 两点,过点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点. (Ⅰ)求证:B、D、H、F 四点共圆; (Ⅱ)若 AC=2,AF=2 ,求△ BDF 外接圆的半径.

23.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标

? x ? ?2 ? ? ? 2 ? 4) 的直线 l 的参数方程为 ? 方程为 ?sin ? ? a cos? (a ? 0) ,过点 P(?2, ? y ? ?4 ? ? ?
线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; 2 (Ⅱ)若|PA|?|PB|=|AB| ,求 a 的值.

2 t 2 (t 为参数) ,直 2 t 2



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