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复习下3(多元函数微分学)_图文

复习–3 多元函数微分学
一. 多元函数微分学的基本概念 主要考点:
?求定义域及复合函数式 ?求二元函数极限

?偏导数及梯度的概念
?连续、偏导、方向导数、可微之间的关系 (L. P228,4)

连续性

偏导数存在

偏导数连续

方向导数存在

可微性
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实例分析
1. 函数

填空题 ( 1 - 5 )
的定义域为

? ( x, y )
2

x ? y ?1 , y ? x ? 0
2

2

2

?
y D

x ? y ?1 ? 提示: y ? x ? 0 ? ? x?0
2. lim

o

x

? 0 x ?0 x 2 ? y 2
y ?0

x sin y

2

提示: 0 ?

? sin y ? y x2 ? y2
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x 2 sin y

1 x? y 2 3. 设 f ( x ? y , x ? y) ? x y ? y , 则 f x ( x , y) ? 2
提示: 令 则

1 2 1 2 f (u , v) ? ( u ? u v ) , 即 f ( x, y ) ? ( x ? x y ) 2 2 sin x 2 y , xy ? 0 ? 则 1 4. 设 f ( x, y ) ? ? x y ?0, xy ? 0
提示: f x ( 0 ,1) ?

sin x 2 ? lim x ?0 x2
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5. 函数 f ( x, y ) ? x 2 ? x y ? y 2 在点 (1, 1) 处的梯度为

grad f (1,1) ? (1, 1) , 该点处各方向导数中的最大值是
grad f (1,1) ? 2 .
提示:

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选择题 ( 6 - 9 )
6. f ( x , y ) 在点 处偏导数 存在是 f ( x , y ) 在该点连续的 ( (A) 充分条件但非必要 ; (C) 充要条件 ;

D

).

(B) 必要条件但非充分 ; (D) 既非充分也非必要条件.

7. z ? f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处有两个偏导数是函数在该点 可微的(

B

) (B) 必要条件; (D) 无关条件
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(A)充分条件; (C) 充要条件;

8. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则

B
( A) 0 ; (C ) f1?(2 a, b) ; ( B) 2 f1?(a, b) ; ( D) f1?(a, b) .

提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案 原式 ? lim [ f1?(a ? x, b) ? f1?(a ? x, b) ]
x ?0

? 2 f1?(a, b)
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2x y
9. 函数 在点(0, 0)处(

x ?y

2

2

, x ?y ?0

2

2

0,

x2 ? y2 ? 0
(B) 不连续且不可导; (D) 可导但不连续.
( 03届考题)

D

).

(A) 连续且可导; (C) 连续但不可导; 提示: 令 y = k x , 则
x ?0

lim f ( x, y ) ?

2k 1? k
2

, 故 lim f ( x, y ) 不存在 ,
x ?0 y ?0

又 f ( x,0) ? f (0, y) ? 0, 故 f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0.
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二. 多元函数微分法
主要考点:
?具体函数计算偏导数或微分
?复合函数及隐函数求导

注意:
1. 熟记导数及微分公式 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号

3. 利用一阶微分形式不变性
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实例分析
1. 设 z ? arctan x y , 求

1 ?z 1 y ?1 提示: ? ? ? yx y ?x 1 ? x 2 xy 1 ?z 1 y ? ? ? x ln x y ?y 1? x y
2 x
y

x ?z ?z y ? ? ? ? ? ? ln x ?x ? y 2(1 ? x y ) x
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2. 设



?z 解: 1 ? ? ?x

?z ? xy ; ?x

?z ?z 1? ? xz ? x y ?y ?y
2

? z ? ?x ? y
2 2

? z ?z ? xy ?x ?x ? y ?x

? z xz ?1 z y y z ? 1 x ? ? ? ? ? ? ?x? y 1? x y 1? x y 1? x y 1? x y 1? x y

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3. 设
求 解:
( 03届考题)

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练习题: 设 2sin( x ? 2 y ? 3z ) ? x ? 2 y ? 3z, 求 ? z .
?x

方法1. 方程两边直接对 x 求导; 方法2. 利用公式. 4. 设 求

(04届考题)

?z 1 答案: ? ?x 3

解: 利用微分形式不变性

在点 ( 0 , 1 ) 处 z = 2 ,

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5. 设

其中



?u y y y ? f ( ) ? f ?( ) 解: ?x x x x 2 2 y y ? u y y y y ?? f ?( ) ? 2 f ?( ) ? 3 f ??( ) x x x x x ? x2 x2

?u y ? f ?( ) ; ?y x

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6. 设

由方程

确定 ,

?z ?z ?y . 其中F 可微 , 求 x ?.x ?y yd z ? zd y xd z ? zd x ? ? (dy ? ) ? F ) ? 0 解: F1? ? ( d x ? 2 y2 x2 z z ? ? F2 ? F ? ? F ? F 1 1 2 2 2 y 得 dz ? x dy dx ? ? F1? F2 ? ? F F 1 2 ? ? y x y x ?z ?z xy z z x ?y ? ? ? x F1? ? F1? ? y F2 ?) ( F2 ?x ? y x F1? ? y F2? x y
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7. 设变量x, y, z 满足方程

dy 其中f , g 具有连续偏导数, 求 . dx 解: 每个方程两端对 x 求导: dz dy ? fx ? f y dx dx dy dz gx ? g y ? gz ?0 dx dx dy dz fy ? ? ? fx dx dx 即 dy dz gy ? gz ? ?g x dx dx gx ? gz fx dy ?? 解得: dx g y ? gz f y

? f x ?1 ? gx gz dy ? f y ?1 dx g y gz
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8. 设
试证 证:

可微 , 且满足方程 在极坐标系下只与 ? 有关 .

u ? f ( x, y) ? f ( r cos? , r sin ? )
?u ? f ?x ? f ? y ? ? ? r ? x ?r ? y ?r ?f 1 ?f ? (x ?y ) r ?x ?y
这说明 在极坐标系下与 r 无关 ,

只与 ? 有关
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三、多元函数微分法的应用
主要考点:
1.在几何中的应用
求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 ? 极值的必要条件与充分条件 ? 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) ? 求解最值问题

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实例分析
1. 设曲面的方程为 解: 令 证明曲面在任意点 则曲面在点 M 的法向量为 的法线与向量 OM 垂直 .

? n ? ( Fx , Fy , Fz )
而 OM ? ( x , y , z ),

e ,
y x

y x

? n ? OM


?ye

?0

n ? OM
? 曲面 F ( x, y, z ) ? 0 的法向量 : n ? ( Fx , Fy , Fz )
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2. 设曲面方程为
证明: 曲面在任一点

证明曲面上任一
处的法向量为

点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 .

? 1 , 1 , 1 ? ? ? ? 2 x0 2 y0 2 z0 ?
切平面方程为 即

x x0

?

y y0

?

z z0

? a

则在坐标轴上的截距之和为

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?2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 9 3. 求曲线 ? 2 在点M(1,-1,2) 处的 2 2 ? z ? 3x ? y 切线方程与法平面方程. ( 03届期中考题) ? n1 ? (4 x, 6 y, 2 z ) M ? (4, ? 6, 4) 解: ? n2 ? (6 x, 2 y, ? 2 z ) M ? (6, ? 2, ? 4) ? ? ? i j k ? ? T ? n1 ? n2 ? 4 ? 6 4 ? (32, 40, 28) ? 4 (8, 10, 7 ) 6 ?2 ?4
法平面方程: 8( x ? 1) ? 10( y ? 1) ? 7( z ? 2) ? 0 即 切线方程:

8 x ? 10 y ? 7 z ? 12 ? 0 x ?1 y ?1 z ? 2 ? ? 8 10 7
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x ? y ? z ? 3x ? 0 在点(1, 1, 1)处的 练习题:求曲线 2 x ? 3 y ? 5z ? 4 ? 0 切线方程及法平面方程. ( 02届期中考题) 解: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3x ? 0 在点(1, 1, 1)处的法向量为 ? n1 ? (2 x ? 3, 2 y, 2 z ) (1,1,1) ? (?1, 2, 2) ? 2 x ? 3 y ? 5 z ? 4 ? 0 的法向量 n2 ? (2, ? 3, 5)
因此曲线在点(1,1,1)处的切向量为 ? ? ? i j k ? ? ? T ? n1 ? n2 ? ? 1 2 2 ? (16, 9, ? 1) 2 ?3 5 即: y ? 1 z ?1 16 x ? 9 y ? z ? 24 ? 0 ? 切线方程为 x ?1 ? ? 16 9 ?1 法平面方程为 16( x ? 1) ? 9( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 0
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2

2

2

4. 求点 ( 1, 2, 0 ) 到曲面

的距离 .
2 2 2 ( min ) ?z

d ? ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 解: 问题为 ? ? z 2 ? x y ? 0 ( 条件 )


F ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2
解得

Fx ? 2 ( x ? 1) ? ? y ? 0 ? F ? 2( y ? 2) ? ? x ? 0 ? 令 ? y Fz ? 2 z ? 2? z ? 0 ? ? F? ? z 2 ? x y ? 0
故 d ( 0 , 2 , 0 ) ? 1 为最小 .

( x, y, z ) ? (1, 0 , 0 ) ( x, y, z ) ? ( 0 , 2 , 0 )
d ( 0, 2, 0) ? 1
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此两点到曲面的距离为 d (1, 0 , 0 ) ? 2 ;

5. 求原点到曲面 z ? xy ? x ? y ? 4 的最短距离.
提示: d ? x 2 ? y 2 ? z 2 , 作拉格朗日函数:

2

L ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ? ( z 2 ? x y ? x ? y ? 4) Lx ? 2 x ? ? ( y ? 1) ? 0 Ly ? 2 y ? ? (1 ? x) ? 0 Lz ? 2 z ? 2? z ? 0 L? ? z 2 ? x y ? x ? y ? 4 ? 0
解得 x ? ?1,

y ? 1, z ? ? 3

在点P 1 (?1, 1, 3) , P 2 (?1, 1, ? 3)处均有 d ? 5 , 原点到
该曲面的最短距离存在, 故 d ? 5 即为所求最短距离.
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6. 在曲面
沿着点 的方向导数具有最大值 .

上求出一点 M , 使 到

解: AB ? ?1, ? 1, 0 ? , 其方向余弦为 ? 1 , ?1 , 0 ? , 2 2 则问题为

? ? ?

?f 1 ? 2x? ? 2 y ? ?1 ? 2 z ? 0 2 2 ?l

( max )

x ?y ?z ? 1

2

2

2

2

( 条件 )


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? ? ? ? ?

Fx ? 1 ? 4? x ? 0 Fy ? ?1 ? 4? y ? 0

Fz ? 4? z ? 0
F? ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 1 ? 0
2 2 2

解得 M ( 1 , ?1 , 0 ) ; M 2 ( ?1 , 1 , 0 ) 1 2 2 2 2 经验证 为最大值 .

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7. 设长方体在第一卦限内,三面在坐标面上, 其一顶点 在平面 上 , 求长方体的最大体积 . 解: 设长方体在已知平面上的顶点为 且满足条件 设 F ? x y z ? ? (6 x ? 2 y ? 9 z ? 18) , 令 则

2 由实际意义知 2 则得唯一驻点 ( 1 , 3 , ) , Vmax ? 1 ? 3 ? ? 2 3 3 练习题: 求体积为8, 表面积最小的长方体的长、宽、高.
(04届考题)
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8. 曲面 最大距离. 解法1. 问题是求

被平面

截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平面的

在条件

的最大值 .

用拉格朗日乘数法 . 拉氏函数有两种构造法: 法1 法2 考虑到曲面在平面上方, 设

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8. 曲面 最大距离 .

被平面

截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平面的 解法2. 因曲面在最值点处的切平面平行于已知 平面, 故有

因最值存在 , 切点只此一个, 故

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备用题 : 求函数
y

在区域 上的最大值 .

解: 令

o
则有
代入上式有

D
2? x



是D的内点时, 必有



(2 cos x ? 1)(1 ? cos x) ? 0
函数 u 在有界闭集 D 上连续, 故必存在最大值.
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在D内部有唯一驻点

比较驻点与边界上的函数值 驻点处 : 边界 x= 0 : 边界 y= 0 : 边界 故函数在 D 上的最大值点为 最大值为
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y

o

D
2? x



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