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高中数学第三章32复数代数形式的四则运算322复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修2 2(数学教案)

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 预习课本 P109~111,思考并完成下列问题 (1)复数乘法、除法的运算法则是什么?共轭复数概念的定义是什么? (2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同?如何应用共轭复数的性 质解决问题? [新知初探] 1.复数代数形式的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad +bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数 z1,z2,z3∈C,有 交换律 结合律 分配律 3.共轭复数 已知 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则 (1)z1,z2 互为共轭复数的充要条件是 a=c 且 b=-d. (2)z1,z2 互为共轭虚数的充要条件是 a=c 且 b=-d≠0. 4.复数代数形式的除法法则: (a+bi)÷(c+di)= z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 a+bi ac+bd bc-ad = + i(c+di≠0). c+di c2+d2 c2+d2 [点睛] 在进行复数除法时,分子、分母同乘以分母的共轭复数 c-di,化简后即得结 果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似. 1 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( (2)若 z1,z2∈C,且 z1+z2=0,则 z1=z2=0.( (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.(北京高考)复数 i(2-i)=( A.1+2i C.-1+2i 答案:A 3.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2= ( A.4+2i C.2+2i 答案:A i +i +i 4.复数 =________. 1-i 1 1 答案: - i 2 2 2 3 4 2 2 ) ) ) ) B.1-2i D .-1-2i ) B.2+i D.3+4i 复数代数形式的乘法运算 [典例] (1)已知 i 是虚数单位, 若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数, 则实数 a 等于( A.2 1 C.- 2 B. 1 2 ) D.-2 (2)(江苏高考)复数 z=(1+2i)(3-i),其中 i 为虚数单位,则 z 的实部是________. [解析] (1)(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i,要使复数为纯虚数,所以有 2-a=0,1 +2a≠0,解得 a=2. (2)(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i =5+5i, 所以 z 的实部是 5. [答案] (1)A (2)5 2 1.两个复数代数形式乘法的一般方法 2 (1)首先按多项式的乘法展开. (2)再将 i 换成-1. (3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式. 2.常用公式 (1)(a+bi) =a -b +2abi(a,b∈R). (2)(a+bi)(a-bi)=a +b (a,b∈R). (3)(1±i) =±2i. [活学活用] 1.已知 x,y∈R,i 为虚数单位,且 xi-y=-1+i,则(1+i) A.2 C.-4 B.-2i D.2i x+y x+y 2 2 2 2 2 2 2 的值为( ) 解析:选 D 由 xi-y=-1+i 得 x=1,y=1,所以(1+i) =(1+i) =2i. 2 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则 a+bi=________. 解析:因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以 a-1=0,a+1=b,即 a=1,b =2,所以 a+bi=1+2i. 答案:1+2i 复数代数形式的除法运算 [典例] (1)若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 是虚数单位),则 z 为( A.3+5i C.-3+5i B.3-5i D.-3-5i ) ) 1+ai (2)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 1 C.- 2 [解析] (1)∵z(2-i)=11+7i, 11+7i (11+7i)(2+i) 15+25i ∴z= = = =3+5i. 2-i (2-i)(2+i) 5 B.-2 D. 1 2 1+ai (1+ai)(2+i) 2-a 1+2a 1+ai 2-a 1+2a (2) = = + i,由 是纯虚数,则 = 0, ≠0, 2-i (2-i)(2+i) 5 5 2-i 5 5 所以 a=2. [答案] (1)A (2)A 1.两个复数代数形式的除法运算步骤 3 (1)首先将除式写为分式; (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数; (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 1 1+i 1-i (1) =-i;(2) =i;(3) =-i. i 1-i 1+i [活学活用] 1-2i 1.(天津高考)i 是虚数单位,计算 的结果为________. 2+i 1-2i (1-2i)(2-i) (2-2)-i-4i 解析: = = =-i. 2+i (2+i)(2-i) 5 答案:-i (1+i)(4+3i) 2.计算: =________. (2-i)(1-i) (1+i)(4+3i) 1+7i (1+7i)(1+3i) 解析:法一: = = (2-i)(1-i) 1-3i 10 =-2+i. (1+i)(4+3i) ?1+i??4+3i? 法二: =? ?? ? (2-i)(1-i) ?1-i?? 2-i ? = = i(4+3i)(2+i) (-3+4i)(2+i) = 5 5 -10+5i =-2+i. 5 答案:-2+i i 的乘方的周期性及应用 [典例] (1)(湖北高考)


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