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2013山东省春季高考数学试题含答案(打印)


山东省 2013 年普通高校招生(春季)考试

数学试题 卷一(选择题,共 60 分)
一、选择题(本题 25 个小题,每小题 3 分,共 75 分)

1,2,3,4?, N ? ? 1,2,3?,则下列关系式中正确的是( 1.若集合 M ? ?
A. M ? N ? M B. M ? N ? N C. N ? M D. N ? M



2.若 p 是假命题,q 是真命题,则下列命题为真命题的是( A.
?



q

B.

?

p?q

C.

?

( p ? q)

D. p ? q

3. 过点 p(1,2)且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程是( A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. x ? 3 y ? 7 ? 0 C. x ? 3 y ? 5 ? 0



D. x ? 3 y ? 5 ? 0

4.“ a ? c ? 2b ”是“a,b,c”成等差数列的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数 y ? x 2 ? 4x ? 5 的定义域是( A. ?? 1,5? B. ?? 5,?1? ) D. (??,?5] ? [1,??) )

C. (??,?1] ? [5,??)

6. 已知点 M(1,2),N(3,4),则 A.(1,1) B.(1,2)

1 MN 的坐标是( 2
D. (2,3)

C.(2,2)

7. 若函数 y ? 2 sin(?x ? ) 的最小正周期为 ? ,则 ? 的值为( 3 A. 1 B. 2 C.

?



1 2

D. 4 )

8. 已知点 M(-1,6),N(3,2),则线段 MN 的垂直平分线方程为( A. x ? y ? 4 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0

D. x ? 4 y ? 17 ? 0 )

9. 五边形 ABCDE 为正五边形,以 A,B,C,D,E 为顶点的三角形的个数是(
1

A.

5

B. 10

C. 15

D. 20 )

10. 二次函数 y ? ( x ? 3)(x ? 1) 的对称轴是( A. x ? ?1 B. x ? 1 C. x ? ?2 D. x ? 2

11. 已知点 P(9 ? m, m ? 2) 在第一象限,则 m 的取值范围是( A. ? 2 ? m ? 9 B. ? 9 ? m ? 2 C. m ? ?2 D. m ? 9



12. 在同一坐标系中,二次函数 y ? (1 ? a) x 2 ? a 与指数函数 y ? a x 的图象 可能的是 y y
1

( y



y

o

x

o B.

x

o

1

x

o

x

A.

C.

D.

13. 将卷号为 1 至 4 的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上,则自左到右卷 号顺序恰为 1,2,3,4 的概率等于( ) A.

1 8

B.

1 12

C.

1 16

D.

1 24


14. 已知抛物线的准线方程为 x ? 2 ,则抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 8x B. y 2 ? ?8x C.

y 2 ? 4x

D. y 2 ? ?4x

? ? ? ) ? 2 ,则 cos2 ? 等于( 15. 已知 tan(
A.



4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

16. 在下列函数图象中,表示奇函数且在 (0,??) 上为增函数的是(
y


y

.

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

2

A.

B.

C. )

D.

17. (2 x ? 1) 5 的二项展开式中 x 3 的系数是( A. -80 B. 80 C. -10 D. 10

18. 下列四个命题: (1)过平面外一点,有且只有一条直线与已知平面平行; (2)过平面外一点,有且只有一条直线与已知平面垂直; (3)平行于同一个平面的两个平面平行; (4)垂直于同一个平面的两个平面平行。 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19. 设 0 ? a ? b ? 1 ,那么 loga 与 logb 的大小关系( A. loga ? logb C. loga ? logb
5 5 5

5

5



B. loga ? logb D. 无法确定

5

5

5

?x ? y ? 2 ? 0 ? 20. 满足线性约束条件 ? x ? 0 的可行域如图所示,则线性目标函数 ?y ? 0 y ?
z ? 2 x ? 2 y 取得最大值时的最优解是(
A.(0,0) C.(2,0) B.(1,1) D. (0,2)
0 2 x 2



21. 若 a ? b(ab ? 0), 则下列关系式中正确的是( A. a ? b B. ac2 ? bc2 C.

) D. c ? a ? c ? b )

1 1 ? a b

22. 在 ?ABC 中已知 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,则 ?ABC 的面积是( A.

3 2

B.
m

3

C. 2 3

D. 3 3 )

23. 若点 p(log3 ,3n ) 关于原点的对称点为 p / (1,?9), 则 m 与 n 的值分别为(

3

A.

1 ,2 3

B.

3,2

C.

?

1 ,-2 3

D.

-3,-2

24. 某市 2012 年的专利申请量为 10 万件,为了落实“科教兴鲁”战略,该市计划 2017 年专利申请量达到 20 万件,其年平均增长率最少为( ) A. 12. 25 0 0 B. 13. 32 0 0 C. 14. 78 0 0 D. 18. 92 0 0

25. 如图所示,点 p 是等轴双曲线上除顶点外的任意一点, A1 , A2 是双曲线的顶点, 则直线 pA1 与 pA2 的斜率之积为( A. 1 B. -1 C. 2 D.-2
A1

) y o
p A2

x

卷二(非选择题,共 60 分)
二、填空题(本题 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分)
26. 已知函数 f ( x) ? x 2 ,则 f (t ? 1) ? ______________. 27. 某射击运动员射击 5 次,命中的环数为 9,8,6,8,9 则这 5 个数据的方差为 ______________. 28. 一个球的体积与其表面积的数值恰好相等,该球的直径是______________. 29. 设直线 x ? y ? 3 2 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 25 的两个交点为 A,B,则线段 AB 的长度为 _________. 30. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (0,3) , 若 a ? b 取最大值, 则 a 的坐标为_________ . 三、解答题(本题 5 个小题,共 55 分,请在答题卡的相应的题号处写出解答过程) 31. (本题 9 分)在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a3 ? 8 。求: (1)该数列的通向公式; (2)该数列的前 10 项和。

4

32. (本题 11 分)已知点 p (4,3)是角 ? 终边上一点,如图所示。 求 sin(

? ? 2? ) 的值。 6
y P(4,3)

0

x

33. (本题 11 分)如图所示,已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (1) 求三棱锥 C1 ? BCD 的体积;
D1

(2) 求证:平面 C1 BD ? 平面 A1 B1CD .
A1 B1

C1

D F A B

C

34. (本题 12 分)某市为鼓励居民节约用电,采取阶梯电价的收费方式,居民当月 用电量不超过 100 度的部分,按基础电价收费;超过 100 度不超过 150 度的部 分,按每度 0.8 元收费;超过 150 度的部分按每度 1.2 元收费.该居民当月的 用电量 x (度)与应付电费 y (元)的函数图象如图所示。 (1)求该市居民用电的基础电价是多少? (2)某居民 8 月份的用电量为 210 度,求应付电费多少元? (3)当 x ? ?100,150? 时,求 x 与 y 的函数关系式( x 为自变量)
5

y(元) 150 90 50 0 50 100 150 x(度)

35. (本题 12 分)已知椭圆的一个焦点为 F1 (? 3,0) ,其离心率为 (1)求该椭圆的标准方程;

3 。 2

4 (2)圆 x 2 ? y 2 ? 的任一条切线与椭圆均有两个交点 A,B, 5
求证: OA ? OB (O 为坐标原点)。 山东省 2013 年普通高校招生(春季)考试答案 一、选择题(本题 25 个小题,每小题 3 分,共 75 分) 1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.B 10.D 11.A 12.C 13.D 14.B 15.D 16.A 17.B 18.B 19.C 20.C 24.C 25.A 二、填空题(本题 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 26. (t ? 1) 2 或 t 2 ? 2t ? 1 27.

21.D 22.D 23.A

6 或 1.2 5

28.6

29.8

30.(0,1)

三、解答题(本题 5 个小题,共 55 分,请在答题卡的相应的题号处写出解答过程) 31.(本题 9 分) (1)解法一:由等比数列的定义可知:公比 q ?

a3 8 ? ?2 a2 4

2分



a2 ? q ,得 a1 ? 2 a1

2分 1分

因此,所求等比数列的通项公式为 an ? a1q n?1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n 解法二:设等比数列的通项公式为 an ? a1 q n?1

6

?a1q ? 4 由已知列方程组 ? 2 ?a1q ? 8 ?a1 ? 2 解之得 ? ?q ? 2
因此,所求等比数列的通项公式为 an ? a1q n?1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n (2)由等比数列的前 n 和公式,得

2分

2分 1分

S10 ?

a1 (1 ? q10 ) 1? q

2分

?

2(1 ? 210 ) =2046 1? 2

1分

即:该数列的前 10 项和为 2046. 32. (本题 11 分) 解:由 p (4,3)是角 ? 终边上一点,知 x ? 4, y ? 3 得 r ? 0 p ? 32 ? 4 2 ? 5 1分 2分

3 4 所以 sin ? ? , cos ? ? 5 5
所以 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?

7 25

2分

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ?

24 25

2分

所以 sin(

? ? ? ? 2? ) ? sin cos 2? ? cos sin 2? 6 6 6
? 7 ? 24 3 50

2分

2分

33. (本题 11 分)

1 1 解: (1)由正方体的棱为 1,可得 ?BCD 的面积为 ? 1 ? 1 ? 2 2 1 1 1 所以, VC1 ? BCD ? ? ? 1 ? 3 2 6
(2)证明:由 CD ? 平面 B1 BCC1 ,又 BC1 ? 平面 B1 BCC1 ,得 CD ? BC1
7

2分

2分 2分

又正方形 B1 BCC1 中, B1C ? BC1 且 B1C ? CD ? C , B1C ? 平面 A1 B1CD , CD ? 平面 A1 B1CD 所以 BC1 ? 平面 A1 B1CD

1分

2分

BC1 ? 平面 C 1 BD
所以,平面 C1 BD ? 平面 A1 B1CD 34. (本题 12 分) 解: (1)设该市居民用电的基础电价是每度 k 1 元, 则所用电量 x (度)与应付电费 y (元)的函数关系是 y ? k1 x(0 ? x ? 100) 由函数图象过点(100,50) ,得 50 ? 100k1 ,即 k1 ? 0.5 所以,既基础电价为每度 0.5 元。 (2)由阶梯电价曲线可知,在 210 度电中, 其中,100 度的电费为 y1 ? 0.5 ? 100 ? 50 (元) ; 50 度的电费为 y2 ? 0.8 ? 50 ? 40 (元) ; 60 度的电费为 y3 ? 1.2 ? 60 ? 72 (元) ; 所以,该居民 8 月份应付电费 50+40+72=162 元。 (3)设函数的解析式为 y ? k 2 x ? b, x ? (100,150] 由题意可知 k 2 ? 0.8 由因为函数图象过点(150,90) ,因此 90 ? 150 ? 0.8 ? b 解得 b ? ?30 所以,所求函数的解析式为 y ? 0.8x ? 30, x ? ?100,150? 。 35. (本题 12 分) 解: (1)由椭圆的一个焦点坐标为 F1 (? 3,0) 。得 c ? 3 由椭圆的离心率为 因此得 a ? 2 从而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 1分 2分

3 c 3 ,得 ? 2 a 2

8

x2 由已知得焦点在 x 轴上,所以椭圆的标准方程为 ? y 2 ? 1 4
(2)证明:当圆的切线斜率存在时, 设其方程为 y ? kx ? t 将其代人

1分

1分 1分

x2 ? y 2 ? 1 ,整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 4

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得,

x1 x 2 ?

4t 2 ? 4 8kt , x ? x ? ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 t 2 ? 4k 2 1 ? 4k 2
1分

所以 y1 y 2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ?

由点到直线的距离公式知,原点到切线 y ? kx ? t 的距离为

t 2 5 ? 5 1? k 2
1分

4 t2 ? 即 ,得 5t 2 ? 4 ? 4k 2 2 5 1 ? 4k
因此 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 所以 OA ? OB ? 0

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 0 ? ? ? 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2
1分

,即 OA ? OB

当圆的切线斜率不存在时,切线方程为 x ? ?

2 5 5

此时其中一条切线与椭圆的交点 A( 显然 OA ? OB ? 0 ,即 OA ? OB

2 5 2 5 2 5 2 5 , ), B( ,? ) 5 5 5 5

同理可得,另一条切线也具有此性质。 所以,切线斜率不存在时, OA ? OB 也成立。 综上, OA ? OB 。

1分

9



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