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上海华师大二附中2015届高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版


上海华师大二附中 2015 届高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版

教学目标: 1、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性,初步掌握用集合间的包含关 系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题; 2、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想,进一步树立辩证唯物主义的观点。 教学重点:集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。 教学难点:灵活运用集合间的包含关系进行推理,解决具体问题。 教学过程: 1、 情景引入

如果 ? ? ? , ? 叫做 ? 的充要条件) 2.引例: 用“ ? ” , “ ?” , “ ?” , “ ?”填空: (1){ x x 是上海人}________{ x x 是中国人} ; 我是上海人 ________ 我是中国人 (2) {x|x>5} ________ {x|x>3} ; x>5 ________ x>3 2 2 (3) {x|x =1}_______ {x|x=1} ; x =1 _______ x=1 ( (1) ? ; ? (2) ? ; ? (3) ? ; ? ) 3.讨论 从上述引例中,子集与推出关系有怎样的联系? (我们可以发现,将符合具有性质 ? 的元素的集合记为 A ,将符合具有性质 ? 元素的 集合记为 B ,若 A ? B ,则 ? ? ? ;反之,若 ? ? ? ,则 A ? B 。 ) 2、 概念形成 1.定义:子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。 2.设 A ? a a具有性质 ? , B ? b b具有性质 ? ,则“ A ? B ”与“ ? ? ? ”等价。 (证明略)

?

?

?

?

A ? a a具有性质 ?
A? B A?B A?B

? ? B ?? b b具有性质 ??

集合

元素的性质(命题)

?
?

? ?? ? ?? ? ??

【题目】 :试用子集与推出关系来说明 ? 是 ? 的什么条件。 (1) ? : x ? 1 , ? : x 2 ? 1 (2)

? : 正整数 n 被 5 整除 , ? : 正整数 n 的个位数是 5

【解答】 :(1)充分非必要条件;(2)必要非充分条件 说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,易,逻辑思维能力 【题目】 :试用子集与推出关系来说明集合 A 与 B 的关系。 (1) A ? x x是12的约数 (2) A ? x x ? 1

?

?

, B ? x x是36的约数 ,B ? x x ?3

?

? ?

?

?

?

?

(3)A ? x x是矩形

?

?

,B ? x x是有一个角为直角的平行四边形

?

【解答】 : (1) A ? B (2) A ? B
? ?

(3) A ? B

说明:体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系。 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思 维能力 【题目】 : 设 ? : 1 ? x ? 3 , ? : m ? 1 ? x ? 2m ? 4, m ? R , ? 是 ? 的 充 分 条 件 , 求 m 的取值范围。 【解答】 :?

1 ?m?0 2

说明:透彻理解“子集与推出关系” ,学会综合运用集合、命题、充分条件与必要条件 等知 识来解决问题。 3、 课堂反馈 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力

【题目】 : “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的
2

条件。

【解答】 :充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力

【题目】 : “ x ? 2 ”是“ x ? 2 或 x ? 1 ”的 【解答】 :充分非必要

条件。

【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 : “ x ? 2 ”是“ x ? 2 ”的 【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : 1 ? x ? 4 , ? : x ? m ,若 ? 是 ? 的充分条件,求:实数 m 的取值范围。 【解答】 :m ? 4 4、 课堂小结 1.在判断充分、必要等条件时,通常可以从两方面入手: 方法一:直接用逻辑推理的方法进行推理; 方 法二:借助集合间的包含关系,利用集合思想解决数学中的条件问题。 2.本节课,我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系,通过集 合间的包含关系联系了起来。具体如下: 设 A ? a a具有性质 ? , B ? b b具有性质 ? (1) A ? B ? ? 是 ? 的充分条件; (2) A ? B ? ? 是 ? 的必要条件; (3) A ? B ? ? 是 ? 的充分非必要条件;
?

条件。

?

?

?

?

(4) A ? B ? ? 是 ? 的必要非充分条件;
?

(5) A ? B ? ? 是 ? 的充要条件。 5、 作业布置 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 : “该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 : ? : k 除以 4 余 1 , ? : k 除以 2 余 1,则 ? 是 ? 的 条件。

条件。

【解答】 :充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,中,逻辑思维能力 【题目】 : ? :是整数的 件。 【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : 0 ? x ? a(a ? 0) , ? : x ? 10 ? 2a ,若 ? 是 ? 的充分条件,求实数

1 1 的数, ? :与整数相差 的数,则 ? 是 ? 的 2 2



a 的取值范围。
【解答】 :0 ? a ?

10 3

【属 性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 A ? x x ? 2 , B ? x x ? a ,求满足 B ? A 的一个充分条件。
?

?

?

?

?

【解 答】 : a ? 3 (答案不唯一) 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : x ? ?5 或 x ? 1 , ? : 2m ? 3 ? x ? 2m ? 1 ,若 ? 是 ? 的必要条件, 求实数 m 的取值范围。 【解答】 : m ? 2 或 m ? ?3 【情景资源】 情景 1: 1.复习: 问题(1)集合的表示方法以及集合之间的关系是怎样的? (2)命题与推出关系有那几种? 2.建立集合与命题的联系 集合的要素是它所含的元素,集合可以用它所含元素的特征性质来描述;反过来,给定 一个明确的性质,则符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里,描述元素特征性质的 语句可以看作是命题。因此,集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系(具体例子 见下表) 。 集合 元素具有的性质(命题)

B ? ?x x ? 3?

A ? ?x x ? 5?

x?5 x?3

3.观察子集与推出关系 因为“ x ? 5 ”可推出“ x ? 3 ” ,所以,若 x ? A ,则 x ? B ,即 A ? B 。 反之,如果 A ? B ,即若 x ? A ,则 x ? B ,那么可由“ x ? 5 ”推出“ x ? 3 ” 。 因此, “ A ? B ”与“ x ? 5 ? x ? 3 ”等价。 (见下表) 集合 元素的性质(命题)

B ? ?x x ? 3?
A? B

A ? ?x x ? 5?

x?5
x?3

4.把上述结论推广到一般性,设 A ? a a具有性质 ? , B ? b b具有性质 ? , 则“ A ? B ”与“ ? ? ? ”等价。 (证明略) 情景 2: 1.复习旧知识导入新课 口答: (1) 什么情况下 p 是 q 的充分条件? (2) 什么情况下 p 是 q 的必要条件? (3) 什么情况下 p 是 q 的充要条件? 2.联系实际,激发兴趣 用充分条件、必要条件或充要条件填空: (1) “ x 是整数”是“ x 是有理数”的 (2) “ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”的 3.启发学生从不同角度思考问题 思考: (1)从推出的角度,上述两题有怎样的推出关系? (2)从集合的角度,满足上述两题条件的集合之间有怎样的关系? 4.归纳小结 设 A ? a a具有性质 ? , B ? b b具有性质 ? , 则“ A ? B ”与“ ? ? ? ”等价。 (证明略)

?

x ?5? x ?3

?

?

?

?

?

?

?

【题目资源】 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? :实数 x 是 x ? 5x ? 6 ? 0 的解, ? : x ? 2 则? 是 ? 的 条件。
2

【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 x, y ? R ,若 ? : x ? y ? 0 , ? : xy ? 0 , 则 ? 是 ? 的 件。
2 2



【解答】 :充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 x, y ? R ,若 ? : x, y 都不为零, ? : xy ? 0 , 则? 是 ? 的 条件。

【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : a ? b ? 3 , ? : a ? 1 且 b ? 2 , 则? 是 ? 的 条件。

【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : x ? 5 , ? : ? x ? 1?? x ? 5? ? 0 则? 是 ? 的 【解答】充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : x ? 1 , ? : x ? a ,若 ? 是 ? 的充分条件, 则实数 a 的取值范围为 。 【解答】 :a ?1 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,易,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : a ? 3 , ? : a ? 3 则? 是 ? 的 【解答】 :充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,选择题,易,逻辑思维能力 【题目】 : “ xy ? 0 ”的一个充要条件是( ) 条件。

, 条件。

A.x?0

B.y?0

C . x, y 异号

D . x ? 0, y ? 0

【解答】 :C 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,中,逻辑思维能力

【题目】 :设 ? :三角形中有一个角是直角, ? :三角形的三边满足 AB ? BC ? AC ,
2 2 2

则? 是 ? 的

条件。

【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? :实数 x 适合 x2 ? 3x ? 2 , ? : x ? ?4 或 x ? 1 , 则? 是 ? 的 条件。 【解答】 :充要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,选择题,中 ,逻辑思维能力 【题目】 :下列各式中, ? 是 ? 的必要非充分条件的是( (1) ? : ? x ?1?? x ? 2? ? 0 ,
2



? : x ? ?2
a b ? b c ? : a ? b 不为偶数 ? : xy ? ?2 D . (1)(3) C .(2)(4)

(2) ? : b ? ac , (4) ? : x ? 1 且 y ? ?2 , (3) ? : a , b 不都为偶数,

?:

A .(1)(2)(3)
【解答】 :A

B .(1)(3)(4)

【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,填空题,中,逻辑思维能力 【题目】 :设 ? : x 是奇数, ? : x 被 4 除余 1, 则? 是 ? 的 条件。

【解答】 :必要非充分 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力
2 【题目】 :如果命题 p: m ? ?3 , q :方程 x ? x ? m ? 0 无实数根,那么 p 是 q 的什么

条件?说明理由。 【解答】 :充分非必要 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,中,逻辑思维能力 【题目】 :已知命题 ? : 2 ? x ? 4 ,命题 ? : 3m ? 1 ? x ? ?m ,且 ?是? 的充分条件, 求实数 m 的取值范围。

【解答】 : m ? ?4 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,选择题,中,逻辑思维能力 【题目】 :已知 ? :集合 P ? x ? 2 ? x ? 4 ? Q ? x x ? a , ? : a ? x x ? ?2 , 则 ? 与 ? 的推出关系是( )

?

??

?

?

?

?

A .? ? ?
【解答】 :B

B .? ? ?

C .? ??

D . ? ?? ?

【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,难,分析问题、解决问题 能力 【题目】 :已知命题 ? : ? 1 ? x ? 4 ,命题 ? : 3m ? 1 ? x ? ?m ,且 ?是? 的必要条件, 求实数 m 的取值范围。 【解答】 :解:令 A ? x ? 1 ? x ? 4 , B ? x 3m ? 1 ? x ? ? m 因为 ? ? ? , 所以 B ? A 。 1.当 B ? ? 时, ? m ? 3m ? 1 ? m ?

?

?

?

?

1 满足条件。 4

? ? m ? 3m ? 1 1 ? 2.当 B ? ? 时, ?3m ? 1 ? ?1 ? 0 ? m ? 4 ??m ? 4 ?
综上所述: m ? 0 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,选择题,难,逻辑思维能力 【题目】 : 若 a1 , b1 , a2 , b2 ? R ,且都不为零,则“

a1 b1 ? ”是“ a1x ? b1 ? 0 与 a2 b2

a2 x ? b2 ? 0 解集相同 ”的(
A .充分非必要条件 C .充要条件



B .必要非充分条件 D .既非充分又非必要条件

【解答】 :若

a1 b1 ? ,取 a1 ? b1 ? 1 , a2 ? b2 ? ?1 则 x ? 1 ? 0 与 ? x ? 1 ? 0 解集不同。 a2 b2

a1 b1 ? ”不是“ a1x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 解集相同 ”的充分条件。 a2 b2 若 a1 , b1 , a2 , b2 ? R , 且都不为零且 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 解集相同, 此时, b b a b 必有 ? 1 ? ? 2 ,所以 1 ? 1 成立。 a2 b2 a1 a2
所以“

a1 b1 ? ”是“ a1x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 解集相同 ”的必要条件。 a2 b2 a b 综上所述, “ 1 ? 1 ”是“ a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 解集相同 ”的必要非 a2 b2 充分条件。 故选 B .
所以“ 【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,难,分析问题、解决问题能 力 【题目】 :设 ? : a ? a ? 6 ? 0 , ? : mb ? 1 ? 0 ,若 ? 是 ? 的充分条件,求 m 的值。
2
2 【解答】 :令 A ? a a ? a ? 6 ? 0

?

?

, B ? b mb ? 1 ? 0

?

?

则 A ? ??3,2?

?? ? ?

? B ? A ? B ? ? 或 ??3? 或 ?2?
(2)当 B ? ??3? 时, m ?

(1)当 B ? ? 时, m ? 0 (3)当 B ? ?2? 时, m ? ?

1 3

1 2 1 1 综上所述: m ? 0 或 或 ? 3 2

【属性】 :高一(上) ,集合与命题,子集与推出关系,解答题,难,分析问题、解决问题能 力
2 g ? x ? ? mx ? 2ax ? 【题目】 : 设 m, a ? R ,f ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 1 ,
2

“对一切实数 x , f ? x ? ? 0 ”是“对一切 实数 x , g ? x ? ? 0 ”的 充分条件,求实数 m 的 取值范围。 【解答】 :解:对一切实数 x , f ? x ? ? 0 ? ? f ? ? a ? 1? ? 4 ? 0 ? ?1 ? a ? 3
2

m , 4



当 m ? 0 时, g ? x ? ? 2ax , 因为 g ? 0 ? ? 0 ,所以不可能对一切实数 x , g ? x ? ? 0 。 因此,对一切实数 x , g ? x ? ? 0 ? ?

? ?m ? 0 2 2 ? ? ? g ? 4a ? m ? 0

m m ? a ? ? m ? 0? 2 2 m m ? ? 令 A ? ?a ? 1 ? a ? 3? , B ? ?a ? ? a ? , m ? 0? 2 2 ? ? m 由条件知: A ? B , 所以 ? 3 ,即 m ? 6 。 2 ??


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