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【测控指导】2018版高中数学人教A版必修2课件 1.3.1.1 柱体 锥体 台体的表面积_图文

1.3 空间几何体的表面积与体积

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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

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第1课时 柱体、锥体、台体的表面积

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1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图,掌握柱体、锥体、台体 的表面积的求法. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并了解柱体、锥 体和台体表面积之间的关系. 3.初步掌握面积在实际生活中的应用.

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1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,计算它 们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和.

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2.圆柱的表面积 (1)侧面展开图:圆柱的侧面展开图是一个矩形,其中一边是圆柱 的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图所示.

2)面积:圆柱的表面积S表=S侧+2S底.若圆柱的底面半径为r,母线长 为l,则圆柱的侧面积S侧=2πrl,表面积S表=2πr(r+l).

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【做一做1】 若圆柱OO'的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆 柱OO'的表面积等于 cm2. 解析:S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2). 答案:20π

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3.圆锥的表面积 (1)侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径是圆 锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图所示.

(2)面积:圆锥的表面积S表=S侧+S底.若圆锥的底面半径为r,母线长 为l,则圆锥的侧面积S侧=πrl,表面积S表=πr(l+r).

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【做一做2】 若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于 ( ) A.15 B.15π C.24π D.30π 解析:S侧=πrl=π×3×5=15π. 答案:B

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4.圆台的表面积 (1)侧面展开图:圆台的侧面展开图是一个扇环,其侧面积可由大 扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图所示.

(2)面积:圆台的表面积S表=S侧+S上底+S下底.若圆台的上、下底面 半径分别为r',r,母线长为l,则侧面积S侧=π(r+r')l,表面积S表 =π(r2+r'2+rl+r'l).

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【做一做3】 若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6, 则其表面积等于( ) A.72 B.42π C.67π D.72π 解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π. 答案:C

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面积公式对比 剖析:如下表所示.
图形 多面体(以长 方体为例) 表面积公式 多面体(棱柱、棱锥、棱台)的表面积 就是各个面的面积之和

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图形

表面积公式 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S=2πr(r+l) 底面积:S 底=πr2 侧面积:S 侧=πrl 表面积:S=πr(r+l) 上底面面积:S 上底=πr'2 下底面面积:S 下底=πr2 侧面积:S 侧=πr'l+πrl 表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)

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题型一

求几何体的表面积

【例1】 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一 个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞, 求挖洞后几何体的表面积是多少?(π取3.14)

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解:正方体的表面积为4×4×6=96(cm2), 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2), 则挖洞后几何体的表面积约为96+6.28=102.28(cm2).

反思求几何体的表面积时,通常先将所给几何体分成基本的柱体、 锥体、台体,再通过这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,进行 求和或作差,从而获得几何体的表面积.

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【变式训练1】 若把轴截面是等边三角形的圆锥称作等边圆锥, 则等边圆锥的侧面积是底面面积的( ) A.4倍 B.3倍 C. 2倍 D. 2 倍 解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则l=2r,所以侧面积S侧 =πrl=2πr2.因为底面面积S底=πr2,所以侧面积是底面面积的2倍. 答案:D

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题型二

与三视图有关的面积计算

【例2】 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为 ( )

A.72 B.66

C.60 D.30

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解析:由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角

三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所示,

1 × 3 × 4 + (3 + 4 + 5) × 5 = 72. 所以表面积 为 2 2
答案:A

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反思已知三视图求面积的步骤:(1)根据三视图明确几何体的结构 特征;(2)明确三视图中各数据所反映的几何体的度量;(3)代入相应 的面积公式进行计算.

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【变式训练2】 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积等于 .

解析:该几何体是由一个底面半径为1,高为2的圆柱与一个底面 半径为1,母线长为2的圆锥组合而成的,故S表=S圆柱侧+S圆锥侧+S底 =2π×1×2+π×1×2+π×12=7π. 答案:7π

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题型三

实际应用问题

【例3】 粉碎机的下料斗是正四棱台形(两个底面均是正方形,侧棱 相等,侧面是全等的等腰梯形),如图所示,它的两个底面边长分别是 80 mm和440 mm,侧棱长是300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板 的面积是多少?

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解: 如图,设四边形 ABCD 是该下料斗的一个侧面,过点 A 作 AE⊥ CD 于点 E, 则 AE= 2 - 2 . 由题意知,CD=440 mm,AB=80 mm,AD=BC=300 mm, 则 DE=

∴AE= 2 - 2 = 3002 -1802 = 240(mm). 1 ∴S 梯形 ABCD= 2 × (440 + 80) × 240 = 62 400(mm2).
则四棱台的侧面积为 62 400×4=249 600(mm2). 故制造这个下料斗所需铁板面积为 249 600 mm2.

440-80 2

= 180(mm).

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反思解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积,其 次将实物转化为空间图形,最后转化到平面图形进行处理.

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【变式训练3】

牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体,尺寸 如图所示,请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米 的篷布?(精确到1 m2)

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解:上部圆锥的母线长为 1.22 + 2.52 m, 则其侧面积 S1=π×2.5× 1.22 + 2.52 (m2). 下部圆柱的侧面积 S2=π×5×1.8=9π(m2). 所以搭建这样的一个蒙古包需要篷布的面积为 S=S1+S2=π×2.5× 1.22 + 2.52 + 9π≈50.05(m2),即至少需要 51 m2 的篷布.

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易错辨析

易错点:三视图中线段的长度与几何体中线段的长度不对应而致错 【例4】 一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.

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错解:由三视图知三棱柱的底面三角形是正三角形,且底面边长 为 2 3 cm,各侧面为矩形,侧棱长为 4 cm,所以三棱柱的侧面积为 S 侧 =2 3 × 4 × 3 = 24 3(cm2). 错因分析:侧视图中的数据 2 3 cm 应为底面正三角形的高,错 解中误认为是正三角形的边长.

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正解:

由三视图易知,该三棱柱的底面为正三角形,各侧面为矩形,侧棱 长为 4 cm,如图所示. 因为正三角形 ABC 和正三角形 A'B'C'的高为 2 3 cm, 所以正三角形 ABC 的边长 AB= 故三棱柱的侧面积为 S 侧=4×4×3=48(cm2).
2 3 sin60°

= 4(cm).



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