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2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念章末检测新人教A版必修1

第一章 集合与函数概念

章末检测

时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)

1.(2016·高考全国卷Ⅲ)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则 S∩T=( )

A.[2,3]

B.(-∞,2]∪[3,+∞)

C.[3,+∞)

D.(0,2]∪[3,+∞)

解析:由题意知 S={x|x≤2 或 x≥3},则 S∩T={x|0<x≤2 或 x≥3}.故选 D.

答案:D

2.设集合 A={a,b},B={a+1,6},且 A∩B={1},则 A∪B=( )

A.{1,6}

B.{0,6}

C.{0,1}

D.{0,1,6}

解析:∵A∩B={1},∴1∈A,1∈B,∴a+1=1,∴a=0,b=1.∴A={0,1},B={1,6},∴

A∪B={0,1,6}.

答案:D

3.已知 f(x)=ax+bx(a,b 为常数),且 f(1)=1,则 f(-1)=(

)

A.1

B.-1

C.0

D.不能确定

解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-1.

答案:B

4.f(x)=???x2-2x,x≥0, 则 f(3)=(

)

??-x,x<0,

A.3

B.-3

C.0

D.6

解析:∵3≥0,∴f(3)=32-2×3=3.

答案:A

5.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则 f(3)等于( )

A.10

B.6

C.12

D.16

解析:令 x=y=1 得 f(2)=f(1)+f(1)+2=6,

令 x=2,y=1 得 f(3)=f(1)+f(2)+2×2=2+6+4=12.

答案:C

6.若函数

y=f(x)的定义域是[0,2],则函数

g(x)=f

x x-1

的定义域是(

)

A.[0,1]

B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4]

D.(0,1)

解析:要使 g(x)有意义,则?????0x≤-21x≠≤02,, 答案:B

解得 0≤x<1,故定义域为[0,1),选 B.

?? 1,x>0, 7.设 f(x)=?0,x=0,
??-1,x<0,

g(x)=?????10,,xx为为有无理理数数,,

则 f(g(π ))的值为( ) A.1

B.0

C.-1

D.π

解析:∵g(π )=0,∴f[g(π )]=f(0)=0,选 B.

答案:B 8.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},映射 f:

x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:由已知得?????ab22--44ab=+-1=2,-1,

??a2-4a+2=0, ? ???b2-4b+2=0,

∴a,b 为方程 x2-4x+2=0 两个根,

∴a+b=4.

答案:D

9.已知集合 A={x|-2≤x≤7},集合 B={x|m+1<x<2m-1},若 A∪B=A,则实数 m 的取

值范围是( )

A.-3≤m≤4

B.-3<m<4

C.2<m≤4

D.m≤4

解析:由题设可知 B? A. (1)当 B=?,即 m+1≥2m-1,m≤2 时满足题设

?? 2m-1>m+1, (2)B≠?时,?m+1≥-2,
??2m-1≤7,

解得 2<m≤4

综上所述,m 的取值范围是 m≤4.

答案:D

10.y=x-1 2+1 在[3,4]的最大值为(

)

A.2

B.32

C.52

D.4

解析:y=x-1 2+1 在[3,4]上是减函数,

∴y 的最大值为3-1 2+1=2.

答案:A

11.奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上,函数 f(x)

的解析式是( )

A.f(x)=-x(1-x)

B.f(x)=x(1+x)

C.f(x)=-x(1+x)

D.f(x)=x(x-1)

解析:当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由于函数 f(x)是奇函数,

故 f(x)=-f(-x)=x(1+x).

答案:B

12.若函数 f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又 f(-2)=0,则 x·f(x)<0 的解

集是( )

A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-∞,-2)∪ (0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,0)∪(2,+∞)

解析:因为函数 f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又 f(-2)=0,所以可画出符

合条件的奇函数 f(x)的图象,如图所示.

因为 x·f(x)<0,所以?????xf>0x

或?????xf<0x

,结合图象,x 的范围是(-2,0)∪(0,2).

答案:A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上)

13.已知 f(2x+1)=x2,则 f(5)=________.

解析:f(5)=f(2×2+1)=22=4.

答案:4 14.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9 且 g(-2)=3,则 f(2)=________. 解析:g(-2)=f(-2)+9=3,∴f(-2)=-6, 又∵f(x)是奇函数,∴f(2)=-f(-2)=6.

答案:6 15.已知 U={0,2,3,4},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={2,3},则实数 m=________. 解析:由题设可知 A={0,4},故 0,4 是方程 x2+mx=0 的两根,∴x1+x2=4=-m, ∴m=-4.

答案:-4

16. 已知 f(x)=???
??

-a x-

x-4a,x<1, 2,x≥1,

若 f(x)是 R 上的增函数,则实数 a 的范围是

________.

解析:?????3-a->0a

-4a

- 2 解得35≤a<3.

答案:???35,3???
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},B? A,求 a 的值. 解析:∵B? A,A≠?, ∴B=?或 B≠?. 当 B=?时,方程 ax+1=0 无解,此时 a=0. 当 B≠?时,此时 a≠0,B={-1a}, ∴-1a∈A,即有-1a=-2,得 a=12. 综上所述,a=0 或 a=12. 18.(本小题满分 1 2 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x, 求 f(x)在 R 上的解析式 f(x). 解析:设 x<0,则-x>0,∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, ∴f(x)=?????xx22- +22xx, ,xx≥ <00 . 19.(本小题满分 12 分)某市乘出租车计费规定:2 公里以内 5 元,超过 2 公里不超过 8 公

里的部分按每公里 1.6 元计费,超过 8 公里以后按每公里 2.4 元计费.若甲、乙两地相距 10 公里,则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元? 解析:设乘出租车走 x 公里,车费为 y 元,

?? 5,0<x≤2

由题意得 y=?5+

x- ,2<x≤8,

??14.6+

x- ,x>8

?? 5,0<x≤2 即 y=?1.8+1.6x,2<x≤8,
??2.4x-4.6,x>8
因为甲、乙两地相距 10 公里,即 x=10>8,所以车费 y=2.4×10-4.6=19.4(元). 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为 19.4 元. 20.(本小题满分 12 分)奇函数 f(x)是定义在(-1,1)上的减函数, 且 f(1-a)+f(2a-1)<0,求实数 a 的取值范围. 解析:由 f(1-a)+f(2a-1)<0,得 f(1-a)<-f(2a-1), ∵f(x)是奇函数,∴f(1-a)<f(1-2a) 又∵f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
?? -1<1-a<1 ∴?-1<1-2a<1,
??1-a>1-2a
解得 0<a<1, 即所求实数 a 的取值范围是 0<a<1. 21.(本小题满分 13 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,解析式为 f(x)=2xx++13. (1)求 f(x)在 R 上的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 解析: (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=--2xx++13. 又因为 f(x)是 R 上的奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)=--2xx++13,所以 f(x)=-x2-x+1 3. 又奇函数在 0 点有意义,所以 f(0)=0,

??-x2-x+1 3,x<0, ? 函数的解析式为 f(x)= 0,x=0,
??2xx++13,x>0.

(2)设? x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

则 f(x1)-f(x2)=2xx11++13-2xx22++13

= x1+

x2+ - x2+

x1+

x2+

x1+



-x1+x2

x1+

x2+

.

因为 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2, 所以 x1+1>0,x2+1>0,x2-x 1>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 所以 f(x1)>f(x2),

所以函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数.

22.(本小题满分 13 分)设函数 f(x)的定义域为 R,并且图象关于 y 轴对称,

当 x≤-1 时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0)与(-1,1)的射线,又在 y=f(x)的图象中有

一部分是顶点在(0,2),且经过点(1,1)的一段抛物线.

(1)试求出函数 f(x)的表达式,作出其图象;

(2)根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数.

解析:(1)当 x≤-1 时,设 f(x)=ax+b(a≠0),由已知得

??-2a+b=0, ???-a+b=1,

解得???a=1, 所以 f(x)=x+2(x≤-1). ??b=2,
由于函数图象关于 y 轴对称,则由 x≥1,得-x≤-1,f(-x)=-x+2, 且 f(-x)=f(x),所以 f(x)=-x+2(x≥1). 当-1<x<1 时,设 f(x)=mx2+2,由已知得 m=-1,即 f(x)=-x2+2(-1<x<1),所以函数

?? x+2,x≤-1, f(x)的表达式为 f(x)=?-x2+2,-1<x<1,
??-x+2,x≥1,

图象如图所示.

(2)从图象可看出,函数 f(x)的单调区间有(-∞,-1],(-1,0],(0,1),[1,+∞). 其中,f(x)在区间(-∞,-1]和(-1,0]上是增函数;在区间(0,1)和[1,+∞)上是减函数.



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