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湖北省武汉市第二中学、麻城一中高一数学下学期期中试题 文

武汉二中、麻城一中 2014-2015 学年度下学期期中联考 高一文科数学试卷
考试时间:2015 年 4 月 24 日下午 2 :30— 4:30 试卷满分:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1. 已知 a>b,则下列不等式中成立的是( ) A. a2>b2 B. ac>bc C. |a|>|b| D. 2a>2b

(sin
2. 已知角α 终边上一点的坐标为

?
6

, cos

?

) 6 ,则角α 的最小正值为(



11 ? A. 6

5 ? B. 6

? C. 3
6 ,则 a · b =(
C. 3

? D. 6
) D. 5 )

3. 若向量 a , b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? A. 1 4. 在等比数列 B. 2

?an ?中, a3 ? 7 ,前 3 项之和 S3 ? 21,则公比 q 的值等于(
?
B.

A. 1

1 2

1 C. 1 或 2 ?

1 D. ? 1 或 2

?x x?0 ? , f ( x) ? ? 2 ?? x 2 ? 3x, x< 0 ? 5. 已知 ,则不等式 f ( x) < f ( 4) 的解集为(
A. (4,??) B. (??,4) C. (?3,0)

) D. (??,?3)

6. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) , ( 的表达式为( )

? >0,0< ? < 2? )的部分图象如右图所示,则 f ( x)

4 2 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) 3 9 A. 4 25 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) 3 18 B. 3 ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 C. 3 5 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) 2 4 D.


7. 若点(x,y)位于曲线 y ?| x | 与 y ? 2 所围成的封闭区域内,则 2 x ? y 的最小值是(

A. -6

B. -2

C. 0

D. 2

? 1 ? ? ? an an?1 ? { a } a ? 5 S ? 15 ? n 5 5 8. 已知等差数列 的前 n 项和为 Sn, , ,则数列 的前 100 项之
和为( )

100 A. 101

99 B. 101
2

99 C. 100
2

101 D. 100

9. 已知实数 a,b,c 满足 b ? c ? 6 ? 4a ? 3a , c ? b ? 4 ? 4a ? a ,则 a,b,c 的大小关 系是( ) A. c≥b>a B. a>c≥b C. c>b>a D. a>c>b

o s 10. 设 ?ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 若bc
的形状为( ) A. 锐角三角形 C. 直角三角形
2

C ? cc o s

B ? an s i A, B C 则 ?A

B. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 )

11. 若不等式 x ? ax ? 2 >0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围是(

(?
A.

23 ,?? ) 5

(?
B.

23 ,1] 5

C. (1,??)

( ?? ,?
D.

23 ] 5

12. 已 知 f ( x) ? bx ? 1 是 关 于 x 的 一 次 函 数 , b 为 不 等 于 1 的 常 数 , 且

n?0 ?1, g (n) ? ? * ? f ( g (n ? 1)),n ? 1 ,设 an ? g (n) ? g (n ? 1)(n ? N ) ,则数列 {an } 是(
A. 等差数列 B. 等比数列 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 C. 递增数列 D. 递减数列



13. 已知向量 a ? (1,1) , b ? (2,0) ,则向量 a 、 b 的夹角为________. 14. 若不等式 x ? ax ? 4 <0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是_________.
2

15. 已知数列 则

{an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ? 3 , a3 ? 4 ? 5 ? 6 , a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10,? ,

a10 ? ___________.

16. 如右图,一艘船上午 9:30 在 A 处,测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在 它 的 北 偏 东 75 ° 处 , 且 与 它 相 距 8 2n mile , 此 船 的 航 速 是 __________n mile/h.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin? , cos? ? 2 sin ? ) , b ? (1,2) . (1)若 a ∥ b ,求 tan ? 的值; (2)若 | a |?| b | ,0< ? < ? ,求 ? 的值; 18.(本题满分 12 分)

f ( x) ? 4 cos x ? sin( x ?
已知函数 (1)求 f ( x) 的最小正周期;

?
6

) ?1
.

(2)求 f ( x) 在区间

[?

? ?

, ] 6 4 上的最大值和最小值.

19.(本题满分 12 分) 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄 瓜和韭菜的产量,成本和售价如下表 年产量/亩 种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,求黄瓜和韭菜的种植面积分 别为多少亩? 20.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 , b ? 13 ,求 ?ABC 的面积.

a?

1 c ? b cos C 2 .

21.(本题满分 12 分) 已知等比数列 (1)求数列

{an } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中项.

{an } 的通项公式;

bn ? a n ? log2
(2)若 小值.

1 a n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 S n ? 2 n?1 ? 47 <0 成立的 n 的最

22.(本题满分 10 分) 已知二次函数 f ( x) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x) ? 2 x >0 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

武汉二中、麻城一中 2014-2015 学年度下学期期中联考 高一文科数学试卷参考答案 一、选择题 题 1 2 3 4 5 6 7 8 号 答 D C A C B D A A 案 二、填空题

9 A

10 C

11 A

12 B

? 13. 4 ;
三、解答题 17.解: (1)∵ a ∥ b

14. (-?,-4)? (4,??)

15. 505

16. 32

∴ 2 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? ? 0 …………………………………………………………(3 分)

tan ? ?


1 4 ……………………………………………………………………………(4 分)

(2)由 | a |?| b | 有

sin 2 ? ? (cos ? ? 2 sin ? ) 2 ? 5

…………………………………………………(6 分)

∴ cos? (sin? ? cos? ) ? 0 ∴ cos ? ? 0 或 sin ? ? cos ? ? 0 ………………………………………………………(10 分) 0< ? < ?

??


?

3 ? 2 或 4 ………………………………………………………………………(12 分)

f ( x) ? 4 cos x(
18.解: (1)

3 1 sin x ? cos x) ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos2 x 2 2

? 2 sin( 2 x ?

?

) 6 ……………………………………………………(4 分)

∴ T ? ? ………………………………………………………………………………(6 分)

?
(2)∵

?
6

?x?

?
4, ∴

?

?
6

? 2x ?

?

2 ? ? 6 3 …………………………………(8 分)

x??


?

6 时, ymin ? ?1 ……………………………………………………………(10 分)

x?

?

6 时, y max ? 2 ……………………………………………………………………(12 分)
x , y 亩.

19.解:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为



? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? y ? 50 ?1.2 x ? 0.9 y ? 54 ?

………………………………………(4 分)

总利润 z ? 4 x ? 0.55 ? 6 y ? 0.3 ? 1.2 x ? 0.9 y ? x ? 0.9 y

y??


10 10 x? z 9 9

画出可行域如右图…………………………………………(8 分)

? x ? y ? 50 ? 1.2 x ? 0.9 y ? 54 得到 A(30,20)………………………(10 分) 解?
y??


10 10 x? z 9 9 过 A 点,则 z max ? 48 (万元)…………………………(11 分)

故黄瓜和韭菜应分别种植 30 亩和 20 亩…………………………………………(12 分)

a?
20.解: (1)由

1 c ? b cos C 2

有 2 sin A ? sin C ? 2 sin B cos C ………………………………………………(2 分) ∵ A ? ? ? (B ? C) ∴ 2 sin(B ? C ) ? sin C ? 2 sin B cosC

即 sin C (2 cos B ? 1) ? 0 …………………………………………………………(4 分) ∵ ? <C< ? ∴ sin C ? 0

cos B ?


? 1 B? 3 …………………………………………………………(6 分) 2,
2 2 2

(2)由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B 有 13 ? (a ? c) ? 3ac ………………………………………………………………(8 分)
2

∴ ac ? 4 ………………………………………………………………………………(10 分)



S ?ABC ?

1 ac sin B ? 3 2 …………………………………………………………(12 分)

21.解: (1)设等比数列

{an } 的公比为 q

2 ? ?2a1 ? a1 q ? 3a1 q ? ?2(a1 q 2 ? 2) ? a1 q ? a1 q 3 则?

① ②
………………………………………(2 分)

∵ a1 ? 0 ,∴由(1)有 q ? 3q ? 2 ? 0
2

∴q=1 或 2………………………………………………………………………………(3 分) 若 q=1 由②a1 不存在,故舍去, ②若 q=2 由②有 a1=2…………………………………………………………………(5 分) ∴

an ? a1q n?1 ? 2n (n∈N*)………………………………………………………(6 分) bn ? 2n ? n
n(n ? 1) 2 …………………………………………………………(8 分) 45 ? n(n ? 1) 2 <0

(2)



S n ? 2 n ?1 ? 2 ?

S ? 2 n?1 ? 47 <0,有 由 n
2

即 n ? n ? 90 >0……………………………………………………………………(10 分) ∴n<-10 或 n>9,又 n∈N* ∴n 的最小值为 10……………………………………………………………………(12 分) 22.解(1)依题意可设 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)(x ? 3) ………………………………(2 分) 即 a( x ? 1)(x ? 3) >0 的解集为(1,3) ∴a<0……………………………………………………………………………………(3 分)

f ( x) ? ax2 ? 2(2a ? 1) x ? 3a
∴ ax ? 2(2a ? 1) ? 9a ? 0 有两相等实根
2

∴ ? ? 4(2a ? 1) ? 36a ? 0
2 2

a??


1 5 (a=1 舍去)………………………………………………………………(5 分)

1 6 3 f ( x) ? ? x 2 ? x ? 5 5 5 ………………………………………………………………(6 分)

(2)

f ( x) max ?

12a 2 ? 4(2a ? 1) 2 4a >0………………………………………………(8 分)

∵a<0 ∴ a ? 4a ? 1>0
2

故 a ? (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) …………………………………………………(10 分)



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