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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第九章 平面解析几何 第8课


数学

R B(理)

§9.8 曲线与方程
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间具有如下关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是 方程F(x,y)=0的解 . (2)以方程 F(x, y)=0 的解为坐标的点都 在曲线C上 . 那么这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程

的曲线
基础知识


题型分类 思想方法 练出高分

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要点梳理
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2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点, 选用距离公式、 斜率公式 等将其转化为 x,y 的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
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3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知, 两条曲线交点的坐标应该是 两个曲线方程的公共解, 即两个曲线方程组成的方程组 的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几 个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的 方程组有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由 它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) ×

解析

C D
y2=x


基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切, 建立适当的坐标系,求动圆 圆心 M 的轨迹方程, 并说明 轨迹是何种曲线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,

利用两圆内、外切的充要条件 找出点 M 满足的几何条件, 结

建立适当的坐标系,求动圆 合双曲线的定义求解. 圆心 M 的轨迹方程, 并说明 轨迹是何种曲线.
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题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知两个定圆 O1 和 解 如图所示, O2,它们的半径分别是 1 和 以 O1O2 的中点 2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 所在直线为 x 轴
O 为原点,O1O2

O1 内切,又与圆 O2 外切, 建立平面直角坐标系.
由|O1O2|=4, 得 O1(-2,0)、 O2(2,0). 设

建立适当的坐标系,求动圆 动圆 M 的半径为 r, 则由动圆 M 与圆 圆心 M 的轨迹方程, 并说明 O1 内切,有|MO1|=r-1;
由动圆 M 与圆 O2 外切,有|MO2|

轨迹是何种曲线.
基础知识 题型分类

=r+2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和

∴|MO2|-|MO1|=3.
∴点 M 的轨迹是以 O1、O2 为焦点,

2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 实轴长为 3 的双曲线的左支.
3 7 2 2 2 O1 内切,又与圆 O2 外切, ∴a=2,c=2,∴b =c -a =4.
4x2 4y2 建立适当的坐标系,求动圆 ∴点 M 的轨迹方程为 9 - 7 =1 3 圆心 M 的轨迹方程, 并说明 (x≤-2).

轨迹是何种曲线.
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题型分类·深度剖析
题型一 定义法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知两个定圆 O1 和 O2,它们的半径分别是 1 和 求曲线的轨迹方程时,应尽量地 2,且|O1O2|=4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切, 建立适当的坐标系,求动圆 圆心 M 的轨迹方程, 并说明 轨迹是何种曲线.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

利用几何条件探求轨迹的曲线类 型,从而再用待定系数法求出轨

迹的方程, 这样可以减少运算量, 提高解题速度与质量.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知点
?1 ? ? F? ,0? ?,直线 4 ? ?

1 l:x=- ,点 B 是 l 上的 4

动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于 点 M,则点 M 的轨迹是 A.双曲线 B.椭圆 C.圆 (D ) D.抛物线

解析 由已知得,|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的 轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与 抛物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值),C 为抛物线上 任意一点,求△ABC 的重心 的轨迹方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与

设△ABC 的重心坐标为 G(x, 抛物线 y2=4ax 交于两点 A, y),利用重心坐标公式建立 x, B(a 为定值),C 为抛物线上 y 与△ABC 的顶点 C 的关系, 任意一点,求△ABC 的重心 再将点 C 的坐标(用 x,y 表示) 的轨迹方程. 代入抛物线方程即得所求.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华



设 △ABC 的

【例 2】 设直线 x-y=4a 与 重心为 G(x,y),
y0), 抛物线 y2=4ax 交于两点 A,点 C 的坐标为 C(x0, A(x1,y1),B(x2,y2). B(a 为定值),C 为抛物线上 ? ?x-y=4a, 由方程组:? 2 ? ?y =4ax

任意一点,求△ABC 的重心 的轨迹方程.

消去 y 并整理得:x2-12ax+16a2=0.

∴x1+x2=12a,
y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2) -8a=4a.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与

由于 G(x,y)为△ABC 的重心,

? ?x=x0+x1+x2=x0+12a, 3 3 抛物线 y2=4ax 交于两点 A,∴? ? ? y0+y1+y2 y0+4a y= = 3 , ? 3 ? B(a 为定值),C 为抛物线上

任意一点,求△ABC 的重心 的轨迹方程.

? ?x0=3x-12a, ∴? ? ?y0=3y-4a.

又点 C(x0,y0)在抛物线上,
∴将点 C 的坐标代入抛物线的方程 得:(3y-4a)2=4a(3x-12a),

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与

抛物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值),C 为抛物线上

4a 2 4a 即(y- ) = (x-4a). 3 3

又点 C 与 A,B 不重合, ∴x≠(6± 2 5)a,

任意一点,求△ABC 的重心 ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 的轨迹方程.
4a 4a (y- 3 )2= 3 (x-4a)(x≠(6± 2 5)a).

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 相关点法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 设直线 x-y=4a 与

“相关点法”的基本步骤:

抛物线 y2=4ax 交于两点 A, B(a 为定值),C 为抛物线上

(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主 动点坐标为(x1,y1);

(2)求关系式:求出两个动点坐标之 ? x1=f?x,y?, 任意一点,求△ABC 的重心 间的关系式? ? ? ?y1=g?x,y?;

的轨迹方程.

(3)代换: 将上述关系式代入已知曲线方 程,便可得到所求动点的轨迹方程.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
→ 跟踪训练 2 设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且MN= → → → 2MP,PM⊥PF,当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程.
设 M(x0,0),P(0,y0),N(x,y), → → → → ∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0),
2 ∴(x0,-y0)· (1,-y0)=0,∴x0+y0 =0. → → 由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),



? ?x-x0=-2x0 ∴? ? ?y=2y0

y2 ∴-x+ =0,即 y2=4x. 4

x =-x ? ? 0 ,即? . 1 y0=2y ? ?

故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x.
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题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过 定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 分线,证明:直线 l 过定点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过 定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

(1) 利用曲线的求法求解轨迹方 程,但要注意结合图形寻求等量

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 关系; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x (2)设出直线方程,结合直线与圆 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 锥曲线的位置关系转化为方程的 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 根与系数的关系求解,要特别注 分线,证明:直线 l 过定点.
基础知识 题型分类

意判别式与位置关系的联系.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过 定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

(1)解

如图,设动圆

圆心为 O1(x, y), 由题 意,得|O1A|=|O1M|,

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 当 O1 不 在 y 轴 上 时, 过 O1 作 (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x O1H⊥MN 交 MN 于 H,则 H 是 MN 的中点,∴|O1M|= x2+42, 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 又|O1A|= ?x-4?2+y2, 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 ∴ ?x-4?2+y2= x2+42, 分线,证明:直线 l 过定点. 化简得 y2=8x(x≠0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过

又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,

定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 点 O 的坐标为(0,0)也满足方程 y2 1
=8x, ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2=8x. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)证明 由题意, (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 设直线 l 的方程为 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 y=kx+b(k≠0),

MN 的长为 8.

点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 分线,证明:直线 l 过定点.
基础知识 题型分类

P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中,
得 k2x2+(2bk-8)x+b2=0.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过

其中 Δ=-32kb+64>0.

定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 由 根 与 系 数 的 关 系 得 , x + x = 1 2 8-2bk MN 的长为 8. ① k2 , (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; b2 x1x2=k2 , ② (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线, y1 y2 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 所以 =- , x1+1 x2+1 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, 分线,证明:直线 l 过定点. (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过 定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0 ③ MN 的长为 8.
将①,②代入③得 2kb2+(k+b)(8-

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 2bk)+2k2b=0, (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x ∴k=-b,此时 Δ>0, 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),即直 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 线 l 过定点(1,0). 分线,证明:直线 l 过定点.
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题型三 直接法求轨迹方程
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【例 3】 (2013· 陕西)已知动圆过 定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.

直接法求曲线方程时最关键的就是 把几何条件或等量关系翻译为代数 方程,要注意翻译的等价性.通常

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; 将步骤简记为建系设点、列式、代 (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 换、化简、证明这五个步骤,但最 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两 后的证明可以省略.如果给出了直 角坐标系则可省去建系这一步.求 点 P,Q, 若 x 轴是∠PBQ 的角平 出曲线的方程后还需注意检验方程 分线,证明:直线 l 过定点. 的纯粹性和完备性.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直 线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.
解 设点 M 的坐标为(x,y),
∵M 是线段 AB 的中点,

∴A 点的坐标为(2x,0),B 点的坐标为(0,2y). → → ∴PA=(2x-2,-4),PB=(-2,2y-4). → → 由已知PA· PB=0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0,

即 x+2y-5=0.

∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一般 情况下,分类标准的确立有两点:一是二次项系数分别为 0 时 的参数值,二是二次项系数相等时的参数值,然后确定分类标 准进行讨论,讨论时注意表述准确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪


规 范 解 答

温 馨 提 醒
2分

(1)因为抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2),

所以(-2 2)2=4p,解得 p=2.

所以抛物线的方程为 y2=4x,其焦点为 F(1,0),
即椭圆的右焦点为 F(1,0),得 c=1. 1 又椭圆的离心率为2,所以 a=2,可得 b2=4-1=3,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒
6分

x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设 Q(x,y),其中 x∈[ -2,2] ,设 P(x,y0), x2 y2 0 因为 P 为椭圆上一点,所以 4 + 3 =1, 2 3 | OP | | OP | 2 解得 y0 =3-4x2.由|OQ|=λ 可得|OQ|2=λ2,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

1 得(λ2-4)x2+λ2y2=3,x∈[ -2,2] . 1 1 当 λ2=4,即 λ=2时, 得 y2=12,点 Q 的轨迹方程为 y=± 2 3,x∈[ -2,2] , 思想方法 题型分类 基础知识

思 维 启 迪 3 2 2 x +3- x 4 故 =λ2. 2 2 x +y

规 范 解 答

温 馨 提 醒

9分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

此轨迹是两条平行于 x 轴的线段; x2 2 3 1 1 y 当 λ2<4,即 0<λ<2时,得到 + 3 =1, 1 λ2-4 λ2 此轨迹表示实轴在 y 轴上的双曲线满足 x∈[ -2,2] 的部分;
基础知识 题型分类 思想方法

11分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1 1 当 λ > ,即 λ> 时,得到 4 2
2

y2 + =1, 1 3 2 λ- 4 λ2
12分

x2 3

此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x∈[ -2,2] 的部分.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列18 分类讨论思想在曲线与方程中的应用
2

x2 y2 典例:(12 分)已知抛物线 y =2px 经过点 M(2,-2 2),椭圆 2+ 2=1 的右 a b 1 焦点恰为抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 . 2 (1)求抛物线与椭圆的方程; |OP| (2)若 P 为椭圆上一个动点, Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, |OQ| =λ(λ≠0),试求 Q 的轨迹.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

此题求轨迹既有直接法,又有相关点法.求出轨迹方程后,容易忽略 x 的范 围,导致轨迹图形出错.

备考建议:(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题.
(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握.
(3)除此之外,正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

求轨迹的常用方法

方 法 与 技 巧

(1)直接法: 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 (如 距离与角)的等量关系, 或这些几何条件简单明了且 易于表达,我们只需把这种关系转化为 x、y 的等式 就得到曲线的轨迹方程. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程 ——先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确 定其待定系数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
(3)定义法: 其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲 线)的定义,则可根据定义采用设方程,求方程系

方 法 与 技 巧

数得到动点的轨迹方程. (4)代入法(相关点法): 当所求动点 M 是随着另一动点 P(称之为相关点) 而运动. 如果相关点 P 所满足某一曲线方程, 这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标, 再把相关点 代入曲线方程, 就把相关点所满足的方程转化为动 点的轨迹方程, 这种求轨迹的方法叫做相关点法或 代入法.

基础知识

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思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.求轨迹方程时,要注意曲线上的点与方程的解是一一 对应关系.检验可从以下两个方面进行:一是方程的 化简是否是同解变形; 二是是否符合题目的实际意义.
2.求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应 先求轨迹方程, 然后根据方程说明轨迹的形状、 位置、 大小等.

基础知识

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6 7 8 9 10

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1.已知命题“曲线 C 上的点的坐标是方程 f(x,y)=0 的 解”是正确的,则下列命题中正确的是 A.满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上 B.方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 C.方程 f(x,y)=0 所表示的曲线不一定是 C D.以上说法都正确 ( C )

解析 曲线 C 可能只是方程 f(x,y)=0 所表示的曲线 上的某一小段,因此只有 C 正确.
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2.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的 圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 ( A ) D.圆

解析 设圆 C 的半径为 r,则圆心 C 到直线 y=0 的距离为 r. 由两圆外切可得, 圆心 C 到点(0,3)的距离为 r+1, 也就是说, 圆心 C 到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1, 故点 C 到 点(0,3)的距离和它到直线 y=-1 的距离相等,符合抛物线的 特征,故点 C 的轨迹为抛物线.
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3. 设点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 A.y2=2x C.y2=-2x
解析

( D )

B.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=2

由题意知 P 到圆心(1,0)的距离为 2,

∴P 的轨迹方程为(x-1)2+y2=2.

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4.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在 直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 ( C ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 9 16 16 9 x2 y2 x2 y2 C. - =1 (x>3) D. - =1 (x>4) 9 16 16 9
解析 如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6.

根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 x2 y2 6 的双曲线的右支,方程为 9 -16=1 (x>3).
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5.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B, 若△ABP 为正三角形,则点 P 的轨迹为 A.直线
解析

( D ) D.双曲线

B.圆

C.椭圆

设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R,

由于△ABP 为正三角形, 3 3 ∴P 到 y 轴的距离 d= 2 R, 即|x|= 2 R. 3 2 2 2 2 而 R=|PF|= ?x-a? +y ,∴|x|= 2 · ?x-a? +y . 2 ? x + 3 a ? y2 2 2 2 整理得(x+3a) -3y =12a ,即 12a2 -4a2=1. ∴点 P 的轨迹为双曲线.
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6.设 P 是圆 x2+y2=100 上的动点,点 A(8,0),线段 AP 的垂 椭圆 . 直平分线交半径 OP 于 M 点,则点 M 的轨迹为________

解析

如图,设 M(x,y),由于 l 是 AP

的垂直平分线,于是|AM|=|PM|,又由于 10=|OP|=|OM|+|MP|=|OM|+|MA|, 即|OM|+|MA|=10,也就是说,动点 M 到 O(0,0)及 A(8,0 )的距离之和是 10,故动点 M 的轨迹是以 O(0,0)、A(8,0)为焦点,中心在(4,0),长半 轴长是 5 的椭圆.
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7.已知△ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|
2 2 ( x - 10) + y =36(y≠0) . =3,则顶点 A 的轨迹方程为_____________________

x y 解析 设 A(x,y),则 D( , ), 2 2 2 x y ∴|CD|= ? -5?2+ =3, 2 4
化简得(x-10)2+y2=36, 由于 A、B、C 三点构成三角形,

∴A 不能落在 x 轴上,即 y≠0.
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x2 y2 8.P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1,F2 是它的两个焦点,O 为 a b x2 y2 2+ 2=1 → → → 4 a 4 b 坐标原点, OQ=PF1+PF2, 则动点 Q 的轨迹方程是_____________.

→ → → 解析 由于OQ=PF1+PF2, → → → → → 又PF1+PF2=PM=2PO=-2OP, 1→ x y → 设 Q(x,y),则OP=-2OQ=(-2,-2), x y 即 P 点坐标为(-2,-2), x2 y2 ?- ? ?- ? 2 2 x2 y2 又 P 在椭圆上, 则有 2 + 2 =1 上,即4a2+4b2=1. a b
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3 9.已知曲线 E:ax +by =1(a>0,b>0),经过点 M( ,0)的 3 → → 直线 l 与曲线 E 交于点 A,B,且MB=-2MA.若点 B 的坐 标为(0,2),求曲线 E 的方程.
3 解 设 A(x0,y0),∵B(0,2),M( ,0), 3 3 3 → → 故MB=(- ,2),MA=(x0- ,y0). 3 3 3 3 → → 由于MB=-2MA,∴(- 3 ,2)=-2(x0- 3 ,y0). 3 3 ∴x0= ,y0=-1,即 A( ,-1). 2 2
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3 9.已知曲线 E:ax +by =1(a>0,b>0),经过点 M( ,0)的 3 → → 直线 l 与曲线 E 交于点 A,B,且MB=-2MA.若点 B 的坐 标为(0,2),求曲线 E 的方程.

02+b· 22=1 ?a· ? ∵A,B 都在曲线 E 上,∴? , 32 2 a· ? ? +b· ?-1? =1 ? ? 2

a=1 ? 2 ? y 解得? 1 .∴曲线 E 的方程为 x2+ =1. 4 b=4 ? ?
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10.已知点 P 是圆 O:x2+y2=9 上的任意一点,过 P 作 2→ → PD 垂直 x 轴于 D,动点 Q 满足DQ= DP. 3 (1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E(1,1),在动点 Q 的轨迹上是否存在两个 → 1 → → 不重合的点 M、N,使OE= (OM+ON)(O 是坐标原 2 点).若存在,求出直线 MN 的方程;若不存在,请 说明理由.
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专项基础训练
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(1)设 P(x0,y0),Q(x,y),依题意,

则点 D 的坐标为 D(x0,0),
→ → → 2→ ∴DQ=(x-x0,y),DP=(0,y0),又DQ =3DP,

x-x0=0 x =x ? ? ? ? 0 ∴? 2 ,即? 3 . y= y y= y ? ? ? 3 0 ? 0 2
2 2 x y 2 ∵P 在圆 O 上,故 x2 + y 0 0=9,∴ + =1. 9 4

x2 y2 ∴点 Q 的轨迹方程为 + =1. 9 4
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5
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x2 y2 (2)存在.假设椭圆 + =1 上存在两个不重合的点 M(x1,y1), 9 4 → 1 → → N(x2,y2)满足OE=2(OM+ON),
则 E(1,1)是线段 MN 的中点,

? ?x1+x2=1 ? 2 且有? ?y1+y2 =1 ? ? 2

? ?x1+x2=2 ,即? ? ?y1+y2=2

.

x2 y2 又 M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆 9 + 4 =1 上,
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1 2 3
2 2 x y ? 1 1 ? 9 + 4 =1 ∴? 2 2 ?x2+y2=1 ?9 4

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

,两式相减,

y1-y2 4 ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ∴kMN= =-9, 得 + = 0. x -x 9 4
1 2

∴直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0.

→ 1 → → ∴椭圆上存在点 M、N 满足OE= (OM+ON), 2

此时直线 MN 的方程为 4x+9y-13=0.
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1 2

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专项能力提升
3 4 5 6

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.已知定点 P(x0,y0)不在直线 l:f(x,y)=0 上,则方程 f(x,y)- f(x0,y0)=0 表示一条 A.过点 P 且平行于 l 的直线 B.过点 P 且垂直于 l 的直线 C.不过点 P 但平行于 l 的直线 D.不过点 P 但垂直于 l 的直线
解析 由题意知 f(x0,y0)≠0,又 f(x0,y0)-f(x0,y0)=0,

( A )

∴直线 f(x,y)=0 与直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 平行,
且点 P 在直线 f(x,y)-f(x0,y0)=0 上.
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

→ 2.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC= → → λ1OA+λ2OB(O 为原点),其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的 轨迹是 A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 ( A )

→ → → 解析 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3),
?x=3λ1-λ2 → → → ∵OC=λ1OA+λ2OB,∴? , ? ?y=λ1+3λ2 ?

又 λ1+λ2=1,
∴x+2y-5=0,表示一条直线.
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点作∠F1PF2 外角平 分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ( A ) D.抛物线

解析 如图, 延长 F2M 交 F1P 延长线 于 N.
∵|PF2|=|PN|,∴|F1N|=2a.
连接 OM,则在△NF1F2 中,OM 为中位线,
1 则|OM|=2|F1N|=a.∴M 的轨迹是圆.
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角
2 2 x + y =4 (x≠± 2) 顶点 P 的轨迹方程是_______________________ .

解析 设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形,

∴|MP|2+|NP|2=|MN|2, ∴(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得,x2+y2=4. ∵M,N,P 不共线,∴x≠± 2, ∴轨迹方程为 x2+y2=4 (x≠± 2).
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B组

专项能力提升
3 4 5 6

5.如图所示, 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1, 1 点 M 在 AB 上, 且 AM= AB, 点 P 在平面 ABCD 3 上,且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到 点 M 的距离的平方差为 1,在平面直角坐标系 xAy 中,动点 P 的轨迹方程是____________.
解析 过 P 作 PQ⊥AD 于 Q ,再过 Q 作
2 1 y2=3x-9

QH⊥A1D1 于 H, 连接 PH、 PM, 可证 PH⊥A1D1, 设 P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,
得x
2

?? ? 2 1 1? ?? ?2 2 2? 化简得 y =3x-9. +1-??x-3? +y ?=1, ?? ? ?

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
解 (1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), y 则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0=2, ①
2 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x2 0+y0=1.



2 y 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x2+ =1. 4

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专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
(2)由题意知,|t|≥1.

当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,
3 3 点 A、B 的坐标分别为(- 2 ,1)、( 2 ,1),
此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3;
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6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R,

y=kx+t, ? ? 由? 2 y2 得(4+k2)x2+2ktx+t2-4=0. x + 4 =1 ? ?



设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则由③得 t2-4 2kt x1+x2=- ,x x = . 4+k2 1 2 4+k2
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6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标. |t| 2 2 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 2 =1,即 t2=k2+1, k +1
所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2



2 2 2 4 ? t -4? 4 3|t| 4 k t 2 ?1+k ?[ . 2 2- 2 ]= 2 ?4+k ? 4+k t +3

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6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
4 3|t| 4 3 因为|AB|= 2 = 3, t +3 |t|+|t|
且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.
依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x2+y2=1 的半径,
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专项能力提升
3 4 5 6

6.如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM| =2|DP|.当点 P 在圆 x2+y2=1 上运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0, t)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.
1 所以△AOB 面积 S 的最大值为2×2×1=1,
此时 t=± 3,相应的点 T 的坐标为(0,- 3)或(0, 3).

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