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【步步高】(浙江专用)2014届高考数学 考前三个月 专题六 第二讲圆锥曲线的方程与性质


第二讲

圆锥曲线的方程与性质

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) 双曲线 ||PF1|-|PF2|| =2a(2a<|F1F2|) 抛物线 |PF|=|PM|,点 F 不 在直线 l 上,PM⊥l 于M

定义

标准方程 图形 范围 顶点 对称性 几 何 性 质 离心率 焦点 轴

x y + =1(a>b>0) a2 b2

2

2

x y - =1(a>0,b>0) a2 b2

2

2

y2=2px(p>0)

|x|≤a,|y|≤b (±a,0)(0,±b)

|x|≥a (±a,0)

x≥0
(0,0) 关于 x 轴对称 ( ,0) 2

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (±c,0) 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b

p

c e= = a
(0<e<1)

1-

b a2

2

c e= = a

b2 1+ 2(e>1) a

e=1 p x=-
2

准线 渐近线

b y=± x a

1. (2013?课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若 以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 (
2

2

)
2

A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x 答案 C
2 2

B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2

2

2

? ? 解析 由题意知:F? ,0?,抛物线的准线方程为 x=- ,则由抛物线的定义知,xM=5 2 ?2 ? 5 y p M? ? ? 5?2 ? yM?2 25 - ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? , ?,所以圆的方程为?x- ? +?y- ? = ,又 2 ?2 2 ? ? 2? ? 2 ? 4
p p
1

因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p?5- ?,解得 p=2 或 p ? 2? =8,所以抛物线 C 的方程为 y =4x 或 y =16x,故选 C.
2 2

?

p?

x2 y2 5 2. (2013?课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线 a b 2
方程为 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 答案 C 解析 由 e= =
2 2 2 2

( 1 B.y=± x 3 D.y=±x

)

c a

5 + 知,a=2k,c= 5k(k∈R ), 2

由 b =c -a =k 知 b=k. b 1 所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 1 2 x2 2 3. (2013?山东)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 2p 3

C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于(
A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3

)

答案 D 解析 抛物线 C1 的标准方程为:x =2py,其焦点 F 为?0, ?,双曲线 C2 的右焦点 F′为 ? 2?
2

?

p?

(2,0),渐近线方程为:y=±

3 x. 3

1 3 3 ? 3 p? 由 y′= x= 得 x= p,故 M? p, ?. p 3 3 6? ?3 4 3 由 F、F′、M 三点共线得 p= . 3

x2 y2 4. (2013?福建)椭圆 Г : 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 a b y= 3(x+c)与椭圆 Г 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于
________. 答案 3-1

解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60°,又∠MF1F2=2∠MF2F1, 所以∠MF2F1=30°,MF1⊥MF2, 所以|MF1|=c,|MF2|= 3c, 所以|MF1|+|MF2|=c+ 3c=2a.即 e= = 3-1.
2

c a

5. (2013?浙江)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A、

2

B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________.
答案 ±1 解析 设直线 l 的方程为 y= k(x+ 1), A(x1, y1)、 B(x2, y2)、 Q(x0, y0).解方程组 .
2 2 2 2

?y=k?x+1? ? ? 2 ?y =4x ?

化简得:k x +(2k -4)x+k =0, 2 4-2k 4 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2+2)= .

k

k

2-k 2 ∴x0= 2 ,y0= .

2

k

k

由 ?x0-1? +?y0-0? =2 得:?
2 2

2k ?2 ?2?2 ?2-2 ? +? ? =4. ? k ? ?k?

2

∴k=±1.

题型一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 2 为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 2 __________. (2)已知 P 为椭圆 +y =1 和双曲线 x - =1 的一个交点,F1,F2 为椭圆的两个焦点, 4 2 那么∠F1PF2 的余弦值为________. 审题破题 (1)根据椭圆定义, △ABF2 的周长=4a, 又 e= 中使用余弦定理. 答案 (1) + =1 16 8 2 可求方程; (2)在焦点△F1PF2 2

x2

2

2

y2

x2

y2

1 (2)- 3

解析 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1,由 e=

x2 y2 a b

2 c 2 知 = , 2 a 2

b 1 故 2= . a 2
由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1| +|BF2|=4a=16,故 a=4. ∴b =8.∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 (2) 由椭圆和双曲线的方程可知, F1 , F2 为它们的公共焦点,不妨设 |PF1|>|PF2| ,则 ?|PF1|+|PF2|=4 ? ? , ? ?|PF1|-|PF2|=2
3
2

2

x2

y2

?|PF1|=3 ? 所以? ?|PF2|=1 ?

.又|F1F2|=2 3,

1 由余弦定理可知 cos∠F1PF2=- . 3 反思归纳 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因 此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求 |PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|. 变式训练 1 (1)已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点 F1,F2,M 为双曲线上一点,且 7 满足∠F1MF2=90°, 点 M 到 x 轴的距离为 .若△F1MF2 的面积为 14, 则双曲线的渐近线方 2 程为__________. 答案 y=± 7x 1 7 解析 由题意得 ?2c? =14,所以 c=4. 2 2 ||MF |-|MF ||=2a, ? ?|MF | +|MF | =8 , 又? 1 ? ?2?|MF |?|MF |=14.
1 2 2 2 2 1 2 1 2

x2 y2 a b

所以 a= 2,b= 14.所以渐近线方程为 y=± 7x. (2)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为________. 答案 y =±8x
2 2

? ? 2 解析 抛物线 y =ax(a≠0)的焦点坐标为? ,0?,过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y= ?4 ?
a
2?x- ?,令 x=0 得 y=- . 2 ? 4? 1 ?a? ? a? ∴△OAF 的面积为 ?? ???- ?=4, 2 ?4? ? 2? ∴a =64,∴a=±8. ∴抛物线方程为 y =±8x. 题型二 圆锥曲线的性质 例2 (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为 A. 2 B.2 2 C.4 D.8 ( )
2 2 2

?

a?

a

(2)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2| =4∶3∶2,则曲线 C 的离心率等于 1 3 A. 或 2 2 ( 2 B. 或 2 3 )

4

1 C. 或 2 2

2 3 D. 或 3 2

审题破题 (1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解;(2)由于已知圆锥曲线的两个焦 点,所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线,再由离心率的定义即可求解. 答案 (1)C (2)A 解析 (1)设 C: 2- 2=1. ∵抛物线 y =16x 的准线为 x=-4, 联立 2- 2=1 和 x=-4 得 A(-4, 16-a ), B(- 4,- 16-a ), ∴|AB|=2 16-a =4 3, ∴a=2,∴2a=4.∴C 的实轴长为 4. |F1F2| 3 1 (2)当曲线 C 为椭圆时,e= = = ; |PF1|+|PF2| 4+2 2 |F1F2| 3 3 当曲线 C 为双曲线时,e= = = . |PF1|-|PF2| 4-2 2 反思归纳 (1)求椭圆或双曲线的离心率的方法: ①直接求出 a 和 c,代入 e= ; ②建立关于 a,b,c 的方程或不等式,然后把 b 用 a,c 代换.通过解关于 的方程或不 等式求得离心率的值或范围. (2)研究圆锥曲线的几何性质,实质是求参数 a、b、c 或者建立 a、b、c 的关系式(等式 或不等式),然后根据概念讨论相应的几何性质. 变式训练 2 (1)已知 O 为坐标原点,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直 → → → 径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A,B,若(AO+AF)?OF=0,则双曲线的 离心率 e 为 A.2 答案 C → → → 解析 如图,设 OF 的中点为 T,由(AO+AF)?OF=0 可知 B.3 C. 2 D. 3 ( )
2 2 2

x2 y2 a a

x2 y 2 a a

2

c a

c a

x2 y2 a b

AT⊥OF,

? ? 又 A 在以 OF 为直径的圆上,∴A? , ?, ?2 2?
c c
又 A 在直线 y= x 上, ∴a=b,∴e= 2.

b a

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的距离为 4, a b
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 ( )
5

A.2 3 答案 B

B.2 5

C.4 3

D.4 5

解析

b y= x ? ? a 由? p x=- ? ? 2

bp y=- ? ? 2a ,解得? p x=- ? ? 2 b 1 ? ? = ,得?a 2 ? ?p=4



bp ? ?-2a=-1 由题意得? p ? ?-2=-2 p



又知 +a=4,故 a=2,b=1, 2

c= a2+b2= 5,∴焦距 2c=2 5.
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 3 2 . 2

两点.当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (1)求 a、b 的值;

→ → → (2)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求 出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由. 2 可求解;(2)需分 2 → → → 直线 l 的斜率存在或不存在两种情况讨论.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件OP=OA+OB 审题破题 (1)由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F,原点 O 到 l 的距离为 可得 P 点坐标,结合 A、B、P 在椭圆上列等式消元求解. 解 = |0-0-c| (1)设 F(c,0), 当 l 的斜率为 1 时, 其方程为 x-y-c=0, O 到 l 的距离为 2

c

c 2 ,故 = ,c=1. 2 2 2 c a
3 2 2 ,得 a= 3,b= a -c = 2. 3

由 e= =

→ → → (2)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OP=OA+OB成立. 由(1)知 C 的方程为 2x +3y =6.设 A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1). → → → C 上的点 P 使OP=OA+OB成立的充要条件是 P 点坐标为(x1+x2,y1+y2),且 2(x1+x2)2 +3(y1+y2) =6,整理得 2x1+3y1+2x2+3y2+4x1x2+6y1y2=6, 又 A、B 在椭圆 C 上,即 2x1+3y1=6,2x2+3y2=6, 故 2x1x2+3y1y2+3=0. 将 y=k(x-1)代入 2x +3y =6,并化简得
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



(2+3k )x -6k x+3k -6=0, 2 2 6k 3k -6 于是 x1+x2= 2,x1?x2= 2, 2+3k 2+3k 2 -4k y1?y2=k2(x1-1)(x2-1)= 2. 2+3k 3 2 代入①解得 k =2,此时 x1+x2= . 2

2

2

2

2

k? k ?3 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=- ,即 P? ,- ?. 2? 2 ?2
2? ?3 因此,当 k=- 2时,P? , ?,l 的方程为 2x+y- 2=0; 2 2 ? ? 2? ?3 当 k= 2时,P? ,- ?,l 的方程为 2x-y- 2=0. 2 ? ?2 → → → → → (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由OA+OB=(2,0)知,C 上不存在点 P 使OP=OA+OB成立. 2? → → → ?3 综上,C 上存在点 P? ,± ?使OP=OA+OB成立,此时 l 的方程为 2x±y- 2=0. 2 2 ? ? 反思归纳 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤: (1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式; (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解. 变式训练 3 (2013?浙江)如图, 点 P(0, -1)是椭圆 C1: 2+ 2= 1(a>b>0)的一个顶点, C1 的长轴是圆 C2: x +y =4 的直径. l1,
2 2

x2 y2 a b

l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B
两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. ?b=1, ? 解 (1)由题意得? ?a=2. ? 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x +y =4, 故点 O 到直线 l1 的距离 1 d= 2 , k +1 所以|AB|=2 4-d =2
2 2 2

x2

2

4k +3 . k2+1
7

2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. 由?
?x+ky+k=0, ? ?x +4y =4. ?
2 2 2 2

消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0, 2 8k 8 k +1 故 x0=- . 所以 | PD | = 2 2 . 4+k 4+k 1 设△ABD 的面积为 S,则 S= ?|AB|?|PD| 2 = 8 4k +3 , 2 4+k 32 4k +3+ = 16 13 , 13 10 时取等号. 2 10 x-1. 2
2 2

所以 S=

13 4k +3
2

≤ 2
2

32 4k +3? 13 4k +3
2

当且仅当 k=±

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

典例

x2 y2 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(- a b

1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. 规范解答 (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1. x2 y2 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即 b=1, 解
2

a

b

b

所以 a =b +c =2. 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2
2

2

2

2

x2

2

[4 分]

(2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m,由

x ? ? +y2=1, ?2 ? ?y=kx+m,
消去 y 并整理得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0. 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ 1=16k m -4(1+2k )(2m -2)=0.
8
2 2 2 2 2 2 2

整理得 2k -m +1=0. 由?
?y =4x, ? ?y=kx+m, ?
2 2 2 2

2

2

①[7 分]

消去 y 并整理得 k x +(2km-4)x+m =0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ 2=(2km-4) -4k m =0,整理得 km=1. 分] 2 ? ?k= , 2 综合①②,解得? ? ?m= 2 所以直线 l 的方程为 y= 2 ? ?k=- , 2 或? ? ?m=- 2. [14 分]
2 2 2

②[10

2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

评分细则 (1)得到 b=1 给 2 分;(2)两个判别式应用中,得到化简后的方程均给 1 分, 判别式等于 0 没化简不扣分;(3)k、m 的值不全扣 2 分. 阅卷老师提醒 (1)对于直线和圆锥曲线相切的问题,除曲线为 y =ax 形式的,一般都 利用判别式. (2)直线和圆锥曲线是高考热点,判别式、弦长公式、设而不求思想是常用工具.
2

1. (2013?四川)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是 3 A. 1 2 B. 3 2 C.1 D. 3

2

2

y2

(

)

答案 B 解析 抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0), 双曲线 x - =1 的渐近线是 y=± 3x, 即 3x±y 3 ? 3? +?±1? π x2 y2 y2 x2 2.(2013?湖北)已知 0<θ < , 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 2 4 cos θ sin θ sin θ sin θ tan θ =1 的( ) B.虚轴长相等 D.离心率相等
2 2 2 2

y2

=0,∴所求距离为

| 3±0|
2

2



3 .选 B. 2

A.实轴长相等 C.焦距相等 答案 D

sin θ +cos θ 1 解析 双曲线 C1:e= = , 2 2 cos θ cos θ 2 2 2 sin θ +sin θ tan θ 1 2 双曲线 C2:e= =1+tan θ = 2 , 2 sin θ cos θ

9

∴C1,C2 离心率相等. 3. 已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 ( 2-k 2k-1 ?1 ? A.? ,2? B.(1,+∞) ?2 ? ?1 ? C.(1,2) D.? ,1? ?2 ? 答案 C 解析 由题意可得,2k-1>2-k>0,
?2k-1>2-k, ? 即? ?2-k>0, ?

x2

y2

)

解得 1<k<2,故选 C.
2

4. (2013?江西)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 A、B 3 3 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 答案 6 解析 因为△ABF 为等边三角形, 所以由题意知 B?

x2 y2

? p ,-p? , 2? ? 3 ?

代入方程 - =1 得 p=6. 3 3

x2 y2

x2 y2 5. (2013?湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b
|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小内角为 30°,则双曲线 C 的离心率为______. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|, 则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30°, 由正弦定理得,∠PF2F1=90°,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a 6. (2013?辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相 4 交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e= 5 ________. 5 答案 7 4 解析 如图,在△ABF 中,|AB|=10,|AF|=6,且 cos∠ABF= , 5 设|BF|=m,

x2 y2 a b

10

由余弦定理,得 4 2 2 2 6 =10 +m -20m? , 5 ∴m -16m+64=0,∴m=8. 1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2 设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′, 由对称性,|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14.
2

c 5 ∴a=7,因此离心率 e= = . a 7
专题限时规范训练 一、选择题 3 1. (2013?广东)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方 2 程是 ( )

A. - =1 4 5 C. - =1 2 5 答案 B

x2

y2

B. - =1 4 5 D. - =1 2 5

x2 y2

x2 y2

x2

y2

c 3 2 2 2 解析 由题意知:c=3,e= = ,∴a=2;b =c -a =9-4=5,故所求双曲线方程为 a 2 x2 y2
4 - =1. 5

2. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该 抛物线焦点的距离为 3,则|OM|等于 A.2 2 答案 B 解析 由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0),则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3, 2 2 ∴p=2,∴y =4x. ∴y0=4?2=8, ∴|OM|= 4+y0= 4+8=2 3.
2 2 2 2

( C.4 D.2 5

)

B.2 3

p

p

x2 y2 3. 已知双曲线 C: 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作双曲线 C 的一 a b
条渐近线的垂线,垂足为 H,若 F2H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为 ( A. 2 B. 3 C.2 D.3
11

)

答案 A 解析 取双曲线的渐近线 y= x,则过 F2 与渐近线垂直的直线方程为 y=- (x-c),可

b a

a b

x ?a ab? 则 F H 的中点 M 的坐标为?a +c ,ab?, 解得点 H 的坐标为? , ?, 代入双曲线方程 2- 2 ? ? 2c? a ?c c ? ? 2c 2 2 2 y2 ?a +c ? a2b2 c 2 2 =1 可得 - 2 2=1,整理得 c =2a ,即可得 e= = 2,故应选 A. 2 2 b2 4a c 4c b a y → → 2 4. 设 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1?PF2=0,则 9 → → |PF1+PF2|等于 ( )
A. 10 C. 5 答案 B → → → → 解析 如图,由PF1?PF2=0,可得PF1⊥PF2,又由向量加法的平 行四边形法则可知?PF1QF2 为矩形,因为矩形的对角线相等,故 → → → 有|PF1+PF2|=|PQ|=2c=2 10, 所以选 B. 5. 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,P、Q 是抛物线上的两个点,若△PQF 是边长为 2 的正三角形,则 p 的值是 A.2± 3 C. 3±1 答案 A
2 2 2

2

2

2

2

B.2 10 D.2 5

( B.2+ 3 D. 3-1
2

)

?p ? 设 P? y1 ,y1?, ? y2 ? 解析 依题意得 F? ,0?, 由抛物线定义及|PF|=|QF|, ?2p ? Q?2p,y2?(y1≠y2). ?2 ? ? ? ? ? 2 2 y1 p y2 p ?1 ? 2 2 得 + = + ,∴y1=y2,∴y1=-y2.又|PQ|=2,因此|y1|=|y2|=1,点 P? ,y1?. 2p 2 2p 2 ? 2p ?
1 p 又点 P 位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|= + =2,由此解得 p=2± 3,故 2p 2 选 A. 6. (2013?浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 4

x2

2

C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

)

A. 2 答案 D

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

12

解析 |F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. ∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90°, ∴|AF1| +|AF2| =|F1F2| , 即(2-a) +(2+a) =(2 3) , c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = .故选 D. a 2 2 7. 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且双 曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A. - =1 5 4 C. - =1 3 6 答案 A 解析 ∵双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 圆 C 的标准方程为(x-3) +y =4, ∴圆心为 C(3,0). 又渐近线方程与圆 C 相切, 即直线 bx-ay=0 与圆 C 相切, 3b 2 2 ∴ 2 =2,∴5b =4a . a +b2 又∵ 2- 2=1 的右焦点 F2( a +b ,0)为圆心 C(3,0), ∴a +b =9. 由①②得 a =5,b =4. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 5 4 8. (2012?安徽)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△AOB 的面积为 2 A. B. 2 2 答案 C 解析 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3, 由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2.
13
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

2

2

(

)

x2 y2 x2 y2

B. - =1 4 5 D. - =1 6 3

x2 y2

x2 y2

x2 y2 a b

b a


2

x2 y2 a b

2



x2 y2

( C. 3 2 2 D.2 2

)

将 x=2 代入 y =4x 得 y =8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 联立直线与抛物线的方程? 1 ? ?x=2, 解之得? ? ?y=- 2

2

2

?y=2 2?x-1?, ?y2=4x,

或?

?x=2, ?y=2 2.

?1 ? 由图知 B? ,- 2?, ?2 ? 1 1 ∴S△AOB= |OF|?|yA-yB|= ?1?|2 2+ 2| 2 2 3 = 2.故选 C. 2
二、填空题 9. 已知 F1、 F2 为椭圆 + =1 的两个焦点, 过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点. 若|F2A|+|F2B| 25 9 =12,则|AB|=________. 答案 8 解析 如图所示,由椭圆定义得 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20, 又|AF2|+|BF2|=12, 所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8. 10.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 C1 的 a b 4 16 右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 1 解析 2

x2

y2

x2 y2

x2

y2

与双曲线 - =1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ ,即 - 4 16 4 16 4λ

x2

y2

x2

y2

x2

y2
16λ

=1(λ ≠0).

1 2 2 由题意知 c= 5,则 4λ +16λ =5? λ = ,则 a =1,b =4.又 a>0,b>0,故 a=1,b 4 =2. 11.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 答案 15 解析 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知 M
14

x2

y2

点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+ |PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3? +4 =15. 12.过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x +y = 的切线,切点为 E,延长 FE 交 a b 4 双曲线的右支于点 P,若 E 为 PF 的中点,则双曲线的离心率为________. 10 答案 2 解析 设双曲线的右焦点为 F′,由于 E 为 PF 的中点,坐标原点 O 为 FF′的中点,所以
2 2

x2 y2

2

2

a2

a EO∥PF′,又 EO⊥PF,所以 PF′⊥PF,且|PF′|=2? =a,故|PF|=3a,根据勾股定
2 理得|FF′|= 10a.所以双曲线的离心率为 三、解答题 13.(2012?安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) 的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的 另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e= . 2 解 (2)方法一 a =4c ,b =3c ,直线 AB 的方程为
2 2 2 2

10a 10 = . 2a 2

x2 y2 a b

y=- 3(x-c),
3 3 ? ?8 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c?, 5 5 ? ? ?8 ? 16 所以|AB|= 1+3?? c-0?= c. 5 ? ? 5 1 1 16 3 2 3 2 由 S△AF1B= |AF1|?|AB|?sin∠F1AB= a? c? = a =40 3,解得 a=10,b 2 2 5 2 5 =5 3. 方法二 设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60°可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a? a? = a =40 2 5 2 5 3知,

a=10,b=5 3.
14.(2013?课标全国Ⅱ)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线

x2 y2 a b

x+y- 3=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .
15

1 2

(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ① ②

x2 y2 1 1 2+ 2=1 a b x2 y2 2 2 2+ 2=1 a b
?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. 2 2

a y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2

b

1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 所以可以解得 a =2b ,即 a =2(a -c ),即 a =2c , 又因为 c= 3,所以 a =6, 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x -4 3x=0,即 A(0, 3),B?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

2

y

2

x2 y2

3? ?4 3 ,- ?, 3? ? 3

4 6 所以可得|AB|= ; 3 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x +4mx+2m -6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 则|CD|= 2 ?x3+x4? -4x3x4=
2 2 2 2 2

x2 y2

2 2 2 18-2m , 3

又因为 Δ =16m -12(2m -6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时, |CD|取得最大值 4, 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|?|CD|= . 2 3

16


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