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3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)


3.1.1 数系的扩充与复数的引入 【教学目标】 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类 表; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念; 4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、 方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 【学情分析】 学生为文科普通版班学生,基础较差,理解力一般,且个别学生学习积极性不够高。 【重点难点】 教学重点:引进虚数单位 i 的必要性、对 i 的规定以及复数的有关概念。 教学难点:复数概念的理解。 【教学过程】 【导入】知识形成过程 1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生进行简明扼 要的概括和总结) 自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数 2.提出问题 我们知道,对于实系数一元二次方程 x ? 1 ? 0 ,没有实数根。我们能否将实数集进行扩充,
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使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 【活动】组织讨论,研究问题 我们说,实系数一元二次方程 x ? 1 ? 0 没有实数根。实际上,就是在实数范围内,没
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有一个实数的平方会等于负数。解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢? 组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1 的开平方问题。 即一个什么样的数,它的平方会等于-1。 【讲授】引入新数 1.引入新数 i ,并给出它的两条性质 根据前面讨论结果,我们引入一个新数 i , i 叫做虚数单位,并规定: (1) i ? ?1 ;
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(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成 立。 有了前面的讨论,引入新数 i ,可以说是水到渠成的事。这样,就可以解决前面提出的问题 ( ?1 可以开平方,而且 ?1 的平方根是 ?i )。 2.提出复数的概念 根据虚数单位 i 的第(2)条性质, i 可以与实数 b 相乘,再与实数 a 相加。由于满足乘法交 换律及加法交换律,从而可以把结果写成 a ? bi 这样,数的范围又扩充了,出现了形如

a ? bi(a, b ? R) 的数,我们把它们叫做复数。
3.巩固练习:教材 P.52 练习 1 【讨论】

1.复数 a ? bi(a, b ? R) 能否表示实数? 2.判断: (1)若 a ? 0 ,则 z ? a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数; (2)若 z ? a ? bi (a, b ? R ) 为纯虚数,则 a ? 0 ,故 a ? 0 是 z ? a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数 的 条件; 3.复数的分类; 4.练习巩固:P.52 练习 2; 【讲授例题】 例 1.(教材 P.51 例题) 提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。 也就是 a ? bi ? c ? di ? ?

?a ? c, (a, b, c, d ? R) ?b ? d .

例 2.已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,其中 x, y ? R ,求 x, y . 【当堂练习】 1. a ? 0 是复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数的 ( A 必要条件 C 充要条件 B 充分条件 D 非必要非充分条件
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2.以 3i ? 2 的虚部为实部,以 3i ? 3i 的实部为虚部的复数是 ( ) A C

?2 ? 3i ?3 ? 3i
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B 3 ? 3i D 3 ? 3i 。 。

3.若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为 4.复数 4 ? 3a ? a i 与复数 a ? 4ai 相等,则实数 a 的值为
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【课堂小结】 (1)虚数单位 i 的引入; (2) 复数的有关概念: 复数的代数形式 z ? a ? bi(a, b ? R) 复数的分类 复数相等的充要条件 【教学反思】 一方面,通过这节课的学习,让学生初步了解了数的发展历程,感受了数学思想和数学 文化,还让学生懂得如何发现问题和解决问题,在今后的学生生活中有很重要的意义。另一 方面,教师在新授课上课时,要遵循事物的客观规律,遵循学生的认知规律,不可将新知识

强加于学生,新知识的获得应该是和教师一起再创造的过程,让学生感受数学的价值所在, 享受数学带来的乐趣。


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