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江苏省宿迁市沭阳银河学校2014-2015学年高二12月月考试卷 数学 Word版含答案


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沭阳银河学校 2014-2015 学年度第一学期 12 月月考

高二数学试卷
置上 . .. 1. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 1 ”的 “既不充分也不必要”之一) ▲

12 月 11 日

一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共计 40 分.请把答案填写在答题卡相应位 ......

条件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要” 、

2. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标 准方程是 ▲ . ▲
2

3. 底面边长为 2,侧棱与底面成 60?的正四棱锥的侧面积为 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3x 是双曲线 曲线的离心率为 ▲ .
2



x y ? ? 1 的一条渐近线方程,则此双 a 2 b2

5.已知空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b, OC ? c, 点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,则 MN ?
2





6. 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与

FQ 的长分别是 p 、 q ,则

1 1 ? ? p q



.

7. 已知 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0) , (-1,0,-1) , (2,1,1) ,点 P 的坐标是 ( x, 0, y ) , 若 PA ? 平面ABC ,则点 P 的坐标是 ▲ .

8. 如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A?DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形 (点 A? ? 平面 ABC) , 则下列命题中正确的是 ▲ .

①动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A?DE;③三棱锥 A??FED 的体积有最大值. x2 y2 9. 设椭圆a2+b2 = 1(a>b>0)恒过定点 A(1,2),则椭圆的中心到准线 距离的最小值是 ▲ .

A

D

10. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中,底面如图所示, 其中三棱柱的底面 AEF 是一个直角三角形,∠AEF = 90?,AE = a,EF = b ,三棱柱的高与正四棱柱的高均为 1 ,则此正四棱柱的体积为 ▲ .

F B E C

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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 60 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 11. (本题满分 8 分) 抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x 2 ? y 2 ? 9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5 , 求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.

12. (本题满分 8 分) 已知 a ?

1 且 a ? 1 .条件 p :函数 f ( x) ? log (2 a ?1) x 在其定义域上是减函数;条件 q :函 2

数 g ( x) ?

x ? x ? a ? 2 的定义域为 R .如果 p ? q 为真,试求 a 的取值范围.

13. (本题满分 10 分) 已知 a ? 0 ,命题 p : ?x ? 0, x ?

a ? 2 恒成立;命题 q : ?k ? R, 直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x

x2 ?

y2 ? 1 有公共点.是否存在正数 a ,使得 p ? q 为真命题,若存在,请求出 a 的范围, a2

若不存在,请说明理由.

14. (本题满分 10 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值.

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15.(本题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 3a, BC ? 2a, D 是 BC 的中点, E, F 分别是 A1A, C1C 上一点,且 AE ? CF ? 2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 B1 ? ADF 的体积; (3)求证:BE∥平面 ADF. . A1
1

C

1

1

B1 F

1

E

C A 16. (本题满分 12 分)

D

B

1 x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F,且椭圆 E 上的点到点 F 2 a 2 b2 距离的最小值为 2.
已知椭圆 E: (1)求椭圆 E 的方程; (2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A、B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相 交于点 M、N. ①当过 A、F、N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ②若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ ABM 的面积. 65

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2013 年 12 月高二数学理科试题参考答案
1 .充分不必要 2.

x2 ? y2 ? 1 4

3. 4 7

4.2

5. ?

2 1 1 a? b? c 3 2 2

6 . 4a

7. (?1, 0, 2)

8.①②③ 9. 2+ 5. 10.

a4 a 2 ? ( a ? b) 2

11 . 解 : 由 题 意 , 抛 物 线 方 程 为 x ? 2ay ( a ? 0). 设 公 共 弦 MN 交 y 轴 于 点 A , 则
2

MA=AN= 5 .

ON ? 3 , ? OA ? 32 ? ( 5) 2 ? 2,? N ( 5, ?2).

N 点在抛物线上,

? 5 ? 2a ? (?2), 即 2a ? ?

5 5 5 ,故抛物线的方程为 x 2 ? y 或 x 2 ? ? y. ?????4 分 2 2 2 5 5 5 5 抛物线 x 2 ? y 的焦点坐标为 (0, ), 准线方程为 y ? ? .抛物线 x 2 ? ? y 的焦点坐标为 2 8 8 2 5 5 (0, ? ), 准线方程为 y ? .?????8 分 8 8 1 12.解:若 p 为真,则 0 ? 2a ? 1 ? 1 ,得 ? a ? 1 .?????2分 2
若 q 为 真 , 则 x ? x ? a ? 2 ? 0 对 ?x ? R 恒 成 立 . 记 f ( x) ? x ? x ? a ? 2 , 则

?2 x ? a ? 2, x ? a , 所 以 f ( x) 的 最 小 值 为 a ? 2 , 故 q 为 真 即 为 a ? 2 ? 0 , 即 f ( x) ? ? ?a ? 2, x ? a,

a ? 2 .?????6分
1 1 ? a ? 1 或 a ? 2 ”故 a 的取值范围为 ( ,1) ? 2, ??) .??8分 2 2 a a 13 . 解 : 对 ?x ? 0 , x ? ? 2 a , (a?0 ) ,所以要使 x ? ? 2 恒成立,应有 x x
于是 p ? q 为真,即为“

2 a ? 2,? a ? 1. ?????4分
2 ?k ? R ,直线 kx ? y ? 2 ? 0 恒过定点(0,2) ,要使直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x ?

y2 ?1 a2

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有公共点,应有

22 ? 02 ? 1 ,解得 a ? 2. 若 p ? q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题,因此 2 a

?a ? 1 , 所以 a ? 2. ?????8分 ? ?a ? 2
综上,存在 a ? 2. 使得 p ? q 为真命题.?????10分 14.解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知 BD ? CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos(180 ? ?DAB) ? 3CD ,
2 2 2 0 2

即 BD ?

3CD ? 3 AD ,在 ?ABD 中,∠DAB=60°, BD ? 3 AD ,则 ?ABD 为直角三

角形,且 AD ? DB .又 AE⊥BD, AD ? 平面 AED, AE ? 平面 AED,且 AD ? AE ? A , 故 BD⊥平面 AED;?????5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC ? CB ,设 CB ? 1 ,则 CA ? BD ? 坐标系, F (0,01), B (0,1,0), D (

3 ,建立如图所示的空间直角

3 1 ,? ,0) ,向量 n ? (0,0,1) 为平面 BDC 的一个法向量. 2 2

设向量 m ? ( x, y, z ) 为平面 BDF 的法向量,则 ?

? 3 3 ? ? m ?BD ? 0 ? ,即 ? 2 x ? 2 y ? 0 , ? ?m ? FB ? 0 ? ? y?z ?0

取 y ? 1 ,则 x ?

3 , z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.

cos ? m, n ??

m ?n mn

?

1 5

?

5 ,而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则 5

二面角 F-BD-C 的余弦值为

5 .?????10分 5

15. (1)证明:∵AB ? AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD ? 底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC B1B ? B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F ? 平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F ? CD ? a,B1C1 ? CF ? 2a, ∴Rt△ DCF ≌ Rt△ FC1B1. ∴?CFD ? ?C1B1F.∴?B1FD ? 90°.∴B1F⊥FD. ∵AD FD ? D,∴B1F⊥平面 AFD.?????6分 (2)∵B1F⊥平面 AFD,
1 1 5 2a 3 1 ∴ VB1 ? ADF ? ? S△ ADF ? B1 F = ? ? AD ? DF ? B1 F ? . 3 2 3 3

C A1
1

1

1

B1 F

1

E M C A

D

B

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(3)连 EF,EC,设 EC

AF ? M ,连 DM ,

AE ? CF ? 2a ,∴四边形 AEFC 为矩形,? M 为 EC 中点. D 为 BC 中点,? MD / / BE .

. BE ? 平面 ADF ,? BE / / 平面 ADF ?????12分 MD ? 平面 ADF ,

c 1 ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 , a 2 x2 y 2 所以椭圆 E 的方程为 + ? 1 .?????????4分 16 12 ⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) .
16.解:⑴由已知, 设圆的方程为 x 2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

?d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 4 + 2 d + f ? 0, 解得 ?e ? ?t ? , ??????????6分 ? t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, ? ? f ? ?8, 72 所以圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? (t + ) y ? 8 ? 0 , t 1 72 1 72 即 ( x + 1) 2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + ) 2 , 2 t 4 t 72 2 72 ? ?12 2 时,圆的半径最小, 因为 (t + ) ≥ (2 72) 2 ,当且仅当 t + t t 故所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????8分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .
? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24k ? 由 ? x2 y 2 得M( , ) ,???????????9 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12 ?24 ?24k 32k 2 ?24k , ) 所以 MA ? ( , MB ? ( , ), 2 2 2 3 + 4k 3 + 4k 3 + 4k 3 + 4k 2
所以 cos ?AMB ?

MA MB MA MB

?

?8 ? 24k 24 1 + k ? (32k ) + 24
2 2 2

??

65 , 65

化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????10分

1 9 1 3 ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????12 分 2
解得 k 2 ?



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