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数学同步优化指导(湘教版选修1-2)课件:5.1.1 合情推理(一)——归纳_图文

第5章 推理与证明 5.1 合情推理与演绎推理 5.1.1 合情推理(一)——归纳 1.了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理. 2.了解归纳在数学发现中的作用. 一、阅读教材开始~例1,完成下列问题 1.归纳的定义 由一系列有限的__________ 特殊 事例得出__________ 一般 结论的推 理方法叫作归纳. 2.归纳推理的一般步骤 共性 一般规律 ; 首先,通过观察特例发现某些__________ 或__________ 一般性命题(猜想) 然后,把这种共性推广为____________________ ;最后,对所 检验 得出的一般性命题进行__________. “ 金导电、银导电、铜导电、铁导电,所以一切金属都导 电”.这种推理方法是________推理. 提示:归纳 二、阅读教材例2~例3的有关内容,完成下列问题 3.归纳推理的用途 一般规律 , 用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现 _________ 不一定 但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论________ 可靠 _______. 如何说明归纳猜想所得结论不一定正确? 提示:可通过举反例的方法说明归纳猜想所得结论不一定 正确. 代数中的归纳推理 an 已知数列{an}的第 1 项 a1=1, 且 an+1= (n=1, 1+2an 2,3,?),试归纳出这个数列的通项公式. 解 由题意知 a1=1; a1 1 1 当 n=1 时,a2= = = ; 1+2a1 1+2×1 3 a2 当 n=2 时,a3= = 1+2a2 1 1=5; 1+2×3 1 3 a3 当 n=3 时,a4= = 1+2a3 1 1=7. 1+2×5 1 5 通过观察,发现数列{an}的前 4 项都等于相应序号的 2 倍 减去 1 的差的倒数. 1 由此猜想,这个数列的通项公式为 an= . 2n-1 [互动探究] 本例猜想的结论是否正确?若正确,请给出证 明;若不正确,请说明理由. 解 猜想的结论正确. 证明如下: an ∵an+1= ,a1=1, 1+2an 1 1 1 ∴ =2+a ,即 -a =2. an+1 an+1 n n 1 ?1? 数列?a ?是首项为 ? n? 1,公差为 2 的等差数列. 1 故有a =1+(n-1)×2=2n-1. n 1 ∴an= . 2n-1 故本例猜想所得的结论是正确的. 【点评】 由数列的递推公式猜想通项公式时,应先由已 知的递推公式求出数列的前 n 项,再观察数列的项与项数的关 系,进而归纳出通项公式. 1.(1)观察数组:(1,1,1),(3,2,6),(5,4,20),(7,8,56),(a,b, c),?,则 a+b+c=________. 1 1 1 (2)函数 y=x 的图象的对称中心为(0,0); 函数 y=x + 的 x-1 ?1 ? 图象的对称中心为?2,0?; 函数 ? ? 1 1 1 y= x + + 的图象的对称 x-1 x-2 1 1 1 1 中心为(1,0); ?; 由此推测函数 y=x + + +?+ 的 x-1 x-2 x-n 图象的对称中心为________. 1 3 1 1 5 1 1 1 (3)观察下列式子:1+22<2,1+22+32<3,1+22+32+42 7 1 1 1 <4, ?, 可归纳出 1+22+32+?+ <________________. ?n+1?2 解析 (1)易知数组的第1个数依次成等差数列,第2个数依 次成等比数列,且这两个数列的通项公式分别为an=2n-1,bn =2n-1;第3个数为该数组前2个数的积. ∴a=a5=9,b=b5=16. ∴c=ab=144. ∴a+b+c=169. 1 (2)题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为 0,2, 1 2 1,?,即 0,2,2,?, 1 1 1 1 由此推测,函数 y=x + + +?+ 的图象的对 x- 1 x-2 x -n ?n ? 称中心为?2,0?. ? ? (3)根据题意,每个不等式的右边的分母是 n+1, 不等号右边的分子是 2n+1, 2n+1 1 1 1 ∴1+22+32+?+ < (n≥1). ?n+1?2 n+1 答案:(1)169 ?n ? (2)?2,0? ? ? 2n+1 (3) (n≥1) n+1 几何中的归纳推理 数一数图中的凸 多面体的面数 F 、顶点数 V 和 棱数E,然后用归纳推理得出 它们之间的关系. 解 正方体:F=6,V=8,E=12; 三棱柱:F=5,V=6,E=9; 五棱柱:F=7,V=10,E=15; 四棱锥:F=5,V=5,E=8; …… 两个同底面的四棱锥组成的组合体: F=8,V=6,E=12; …… 通过以上观察,发现F,V,E满足以下关系: F+V-E=2. 所以归纳出F,V,E的一般性结论:在凸多面体中,面数 F、顶点数V和棱数E满足以下关系: F+V-E=2. 【点评】 解决此类问题可以从两个方面入手 ①从图形的数量规律入手,找到数值变化与序号的关系. ②从图形的结构变化规律入手,发现图形的结构每发生一 次变化,与上一次比较,数值发生了怎样的变化. 2.(1)如图所示①②③④为四个平面图形,数一数,每个 平面图形各有多少个顶点,多少条边?它们分别围成了多少个 区域?请将结果填入下表. 图形 ① ② 顶点数V 4 边数E 6 区域数F 3 ③ ④ (2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数 之间的关系. (3) 现已知某个平面图形有 999 个顶点,且围成了 999 个区 域,试根据以上关系确定这个平面图形的边数. 解 (1)②8 12 5 ③6 9 4 ④10 15 6 (2)观察:8+5-12=1,6+4-9=1,10+6-15=1. 通过观察发现,它们


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