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2015年高三数学理二轮考点巩固训练30 数列的综合应用

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考点巩固训练 30 数列的综合应用

一、选择题

1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的 是( ).

A.a2>b2

B.a3<b3

C.a5>b5

D.a6>b6

2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中,b5=a5, b7=a7,则 b6 的值为( ).

A.±4 2

B.-4 2

C.4 2

D.无法确定

3.在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,黑、白两只蚂蚁均从点 A 出发,沿棱向前爬行,每

爬完一条棱称为“爬完一段”,白蚂蚁的爬行路线是 AA1→A1D1→D1C1→…,黑蚂蚁的爬行路

线是 AB→BB1→B1C1→…,它们都遵循以下的爬行规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的 直线必为异面直线(其中 i 为正整数),设黑、白蚂蚁都爬完 2 012 段后各自停止在正方体的某

个顶点处,则此时两者的距离为( ).

A.1

B. 2

C. 3

D.0

4.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则

b10 等于( ).

A.24

B.32

C.48

D.64

5.已知数列{an}的通项为 an=n2+n 58,则数列{an}的最大项为(

).

A.第 7 项

B.第 8 项

C.第 7 项或第 8 项

D.不存在

6.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使

用,第 n 天的维修保养费为n+1049(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使

用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( ).

A.600 天

B.800 天

C.1 000 天

D.1 200 天

7.(2012 湖北高考)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比

数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(-∞,0)∪(0, +∞)上的如下函数:

①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x| ;④f(x)=ln|x|.

则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ).

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④

二、填空题

8.定义运算:???ac db???=ad-bc,若数列{an}满足????a21 121????=1 且???3an an3+1???=12(n∈N*),
则 a3=__________,数列{an}的通项公式为 an=__________. 9.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2m=0,S2m-1=38,则 m=__________. 10.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6
+15=0,则 d 的取值范围是__________.
三、解答题

11.某人有人民币 1 万元,若存入银行,年利率为 6%;若购买某种股票,年分红 24%, 每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行.

(1)问买股票多少年后,所得红利才能和原来的投资款相等? (2)经过多少年,买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等?(精确到整年) (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.06≈0.025 3)

12.(2013 届湖南长沙一中月考)已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,且不等式 ax2-3x

+2>0 的解集为(-∞,1)∪(b,+∞),数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且 a1=b1,a3 +b3=9.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)令 Cn=abnn,求数列{Cn}的前 n 项和 Sn.

参考答案

一、选择题

1.A 解析:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,

3

由题可得

d=-1,q=

22,于是

3
a2=3>b2=2

2.故选

A.

2.A 解析:依题意得,S9=9a5=-36 ?b5=a5=-4,S13=13a7=-104 ?b7=a7=-

8,所以 b6=±4 2.

3.B 解析:白蚂蚁的爬行路线为 AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1,…,黑蚂蚁

的爬行路线为 AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA→AB,…,可见两只蚂蚁爬行路线都是循环

的,周期为 6,故爬完 2 012 段后,白蚂蚁在 D1 处,黑蚂蚁在 B1 处,故 D1B1= 2.

4.D 解析:依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n+1.
两式相除得ana+n 2=2, 所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列. 而 a1=1,a2=2, 所以 a10=2·24=32,a11=1·25=32. 又因为 an+an+1=bn, 所以 b10=a10+a11=64. 5.B 解析:由于 an=n2+n 58=n+15n8,而函数 f(x)=x+5x8在(0, 58)上递减,在( 58, +∞)上递增,且 f(7)=7+578,f(8)=8+588,f(8)<f(7),故 a8>a7,从而数列{an}的最大项为 第 8 项.
n+49 6.B 解析:由第 n 天的维修保养费为 10 (n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用, 由平均费用最少而求得最小值成立时的相应 n 的值.
设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为3.2×104+???n5+n2+1049???n=3.2×n 104+2n0+2909,
当且仅当3.2×n 104=2n0时取得最小值,此时 n=800,故选 B. 7.C 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则对于 f(x)=x2,f(an)=a2n,由等比数列定义得,
aa2n-2n 1=???aan-n 1???2=q2,符合题意;而对于 f(x)=2x,f(an)=2an,由等比数列定义得,22aan-n 1=2an

-an-1,不为定值,故不符合题意;对于 f(x)= |x| ,f(an)= |an| ,则 |an| = |an-1|

? an ? ??an-1??

= |q| 为定值,符合题意;对于 f(x)=ln|x|,f(an)=ln|an|,由等比数列定义得,lnln|a|an-n|1|并不为

定值,故不符合题意;故①③正确. 二、填空题

8.10 4n-2 解析:由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12,即 a1=2,an+1-an=4.

∴{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列.

∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.

9.10 解析:由等差数列的性质可知 2am=am+1+am-1,

又∵am-1+am+1-a2m=0,

∴a2m=2am.

∴am=2(am=0 不合题意,舍去).

2m-1

2m-1

又 S2m-1= 2 (a1+a2m-1)= 2 ×2am=(2m-1)·am=38,

∴2m-1=19.

∴m=10.

10.d≤-2 2或 d≥2 2
解析:由 S5S6+15=0,得??5a1+5×2 4d??·??6a1+6×2 5d??+15=0.
整理可得 2a12+9a1d+10d2+1=0.
∵a1,d 为实数, ∴Δ=(9d)2-4×2×(10d2+1)≥0,解得 d≤-2 2或 d≥2 2. 三、解答题

11.解:设该人将 1 万元购买股票,x 年后所得的总红利为 y 万元,

则 y=24%+24%(1+6%)+24%(1+6%)2+…+24%(1+6%)x-1

=24%(1+1.06+1.062+…+1. 06x-1)=4(1.06x-1).

(1)由题意,得 4(1.06x-1)=1, ∴1.06x=54.

两边取常用对数,得 xlg 1.06=lg54=1-3lg 2.
1-3lg 2 1-3×0.301 0 ∴x= lg 1.06 ≈ 0.025 3 ≈4. (2)由题意,得 4(1.06x-1)=(1+6%)x,∴1.06x=43.解得 x≈5.

答:(1)买股票 4 年后所得的红利才能和原来的投资款相等;(2)经过大约 5 年,买股票所

得的红利与储蓄所拥有的人民币相等.

12.解:(1)依题意知,x1=1,x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两根,
∴1+b=--a3,b=2a ?a=1,b=2,

∴an=2n-1. 又 b1=a1=1,b3=9-a3=4, ∴b3=b1·q2=4, ∴q=±2(舍负), ∴bn=2n-1.
(2)Cn=abnn=(2n-1)·??12??n-1, ∴Sn=1×??12??0+3×??12??1+5×??12??2+…+(2n-1)??12??n-1, 12Sn=1×??12??1+3×??12??2+5×??12??3+…+(2n-3)??12??n-1+(2n-1)·??12??n,
两式相减得
12Sn=1×??12??0+2????21??1+??12??2+…+??12??n-1??-(2n-1)·??12??n =3-2×??12??n-1-(2n-1)??12??n =3-2n2+3·??12??n-1, ∴Sn=6-(2n+3)·??12??n-1.
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