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柱、锥、台体、圆的面积与体积公式


柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
(一)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 将侧面沿母线展开在平面上,则其侧面展开图的面积即为侧面面积。 1、圆柱的侧面展开图——矩形

圆柱的侧面积

S圆柱侧 ? cl ? 2? rl , 其中r为底面半径, l为母线长, c为底面周长
2、圆锥的侧面展开图——扇形

圆锥的侧面积

1 S圆锥侧 ? cl ? ? rl , 其中r为底面半径, l为母线长, c为底面周长 2
3、圆台的侧面展开图——扇环

圆台的侧面积

(二)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上,则侧面展开图的面积就是侧面的面积。 1、柱的侧面展开图——矩形

直棱柱的侧面积

2、锥的侧面展开图——多个共点三角形

侧面展开

c
h'
正棱锥的侧面积

h'

3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形

侧面展开

c,
h'

h'
正棱台的侧面积

c

说明:这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式; ②c'=c 时即柱体的侧面积公式; (三)棱柱和圆柱的体积

V柱体 ? Sh, 其中S为柱体的底面积,h为柱体的高
斜棱柱的体积=直截面的面积×侧棱长 (四)棱锥和圆锥的体积 1 V锥体 ? Sh, 其中S为锥体的底面积,h为锥体的高 3 (五)棱台和圆台的体积

说明:这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式: ① S上 ? 0 时即为锥体的体积公式; ②S 上=S 下时即为柱体的体积公式。 (六)球的表面积和体积公式

(一)简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用 割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体; 补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体, 如 正四面体可以补成一个正方体,如图:

四、考点与典型例题 考点一 几何体的侧面展开图 例 1. 有一根长为 5cm,底面半径为 1cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈, 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 A、D,则铁丝的最短长度为多少厘米?

D

C

A
解:展开后使其成一线段 AC=

B

AB 2 ? BC 2 ? 4? 2 ? 25 cm

考点二 求几何体的面积 例 2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶,高是 0.85m,底面的边长是 1.5m,制造这种塔顶 需要多少平方米铁板?(保留两位有效数字)

S

O
解:

E

?S? 4?
答:略。

1 ? 1.5 ? 1.13 ? 3.40(m 2 ) 2

考点三 求几何体的体积 例 3. 求棱长为 2 的正四面体的体积。

D1 C1 A1 B1



D A B

C

分析: 将正四面体通过补形使其成为正方体, 然后将正方体的体积减去四个易求体积的 小三棱锥的体积。 解:如图,将正四面体补形成一个正方体,则正方体的棱长为 1,则:V 正四面体=V 正方体 -4V 三棱锥=1- 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 。

3

2

3

考点四 求不规则几何体的体积

1 V aci ?i ? n ? bs s s C n n i 例 4. 证明四面体的体积 ,其中 a,b,c 为自同一顶点 S 出发 6
的三条棱 SA、SB、SC 的长,α,β 为点 S 处的两个面角∠BSC、∠ASC,C 为这两个面所 夹二面角的大小。

证明: 通过补形, 可将此三棱锥补成一个三棱柱, 如图。 则该三棱柱的体积可以利用 “直 A 点的直截面为 AHD,则由题意知:∠ADH=C; 截面面积×侧棱长”来进行求解,若设过 又 AD⊥SC,故 AD=SA×sinβ =a·sinβ ; 若 过 B 作 BE ⊥ SC 于 E , 则 BE = HD = BC × sin α = b · sin α . 所 以 ,

S?ADH ?

1 a b i n s i? s ? n 2

sin C

从而有



考点五 球的表面积和体积 例 5. 在球心的同侧有相距为 9 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π 和 400π ,求球 的表面积和体积。 分析:画出球的轴截面,利用球的截面性质求球的半径 解:设球的半径为 R,O 为球心,O1、O2 分别是截面圆的圆心,如图。

则 O1A=7,O2B=20,OA=OB=R,从而分别解三角形 OO2B 和三角形 OO1A 得到 OO1 和 OO2,由 OO1-OO2=9 解得 R=25,从而 62500? 球的表面积为 2500π ,球的体积为 3 。 考点六 求点到平面的距离——等积法的应用 例 6. 在正方体 ABCD-A’B’C’D’中,已知棱长为 a,求 B 到平面 AB’C 的距离。

解:设 B 到面 AB’C 的距离为 h,因为 AB’=B’C=CA= 2 a,

3
所以 SΔ AB’C= 4 ( 2 a) = 2
2

3
a2,

3 1 1 1 1 2 2 因此 3 · 2 a ·h=VB-AB′C= VB′-ABC = 3 · 2 a ·a= 6 a 3 , 3
故 h= 3 a,即 B 到面 AB′C 的距离为 3

3
a。

附:拟柱体通用体积公式 拟柱体:所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体.它在这两个平面内的面 叫做拟柱体的底面.其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的距离叫做拟柱体的高。

S1 ? 0, S 2 ? 1, S 0 ?

3 2 ,h ? 4 2 1 1 2 2 V ? h (S1 ? 4S0 ? S 2 ) ? ? (3 ? 1) ? 6 6 2 3 ,选 A。

3 EF ? EF//AB, 例 2. 如图所示, 在多面体 ABCDEF 中, 已知 ABCD 是边长为 3 的正方形, 2, EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( ) 9 15 A. 2 B. 5 C. 6 D. 2

S1 ? 0, S 2 ? 9, S0 ?

27 ,h ? 2 8 1 15 V ? h (S1 ? 4S0 ? S 2 ) ? 6 2 ,选 D。

【模拟题】
一、选择题 1. (2008 四川)设 M,N 是球心 O 的半径 OP 上的两点,且 NP=MN=OM,分别过 N, M,O 作垂直于 OP 的平面,截球面得三个圆,则这三个圆的面积之比为: ( ) A. 3:5:6 B. 3:6:8 C. 5:7:9 D. 5:8:9 2. (2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A. 9π C. 11π B. 10π D. 12π

3. (2008 湖北)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 ( ) A.

8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3

4. 2008 湖南) AD= 3 , ( 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上, AB=2, 且 AA1=1,则顶点 A、B 间的球面距离是( A. 2 2? B. 2? C. )

2? 2

D.

2? 4

*5. (2008 重庆)如图,体积为 V 的大球内有 4 个小球,每个小球的球面过大球球心且 4 与大球球面有且只有一个交点, 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点.V1 为小球相交部分(图中阴影部分)的体积,V2 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积, 则下列关系中正确的是( ) A. V1=

V 2

B. V2= D. V1< V2

V 2

C. V1> V2

6. (2008 海南改)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的 9 顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 8 ( ) A.

4 ? 3

B.

2 ? 3

C.

1 ? 3

D.

5 ? 3


7. (2008 天津改)若一个球的体积为 4 3? ,则它的表面积为( A. 4 3? B. 8 3? C. 12 ? D. 24 ? 二、填空题:

8. (2008 四川) 已知正四棱柱的对角线的长为 6 , 且对角线与底面所成角的余弦值为 3 , 3 则该正四棱柱的体积等于________________。 9. (2008 浙江)如图,已知球 O 的面上四点 A、B、C、D,DA ? 平面 ABC,AB ? BC, DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于___________。

三、解答题 *10.(2008 广东卷) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ?ABD ? 60? , ?BDC ? 45? , PD 垂直底面 ABCD , PD ? 2 2 R , E,F 分别是 PB,CD 上的点,且

PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积。 (3)当 EB 2

11.(2008 辽宁卷) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中,AP=BQ=b(0<b<1) ,截面 PQEF ∥ A?D ,截面 PQGH∥ AD? 。 (Ⅰ)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (Ⅱ)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 的面积之和是定值,并求出这个值; (Ⅲ)若 D?E 与平面 PQEF 所成的角为 45? ,求 D?E 与平面 PQGH 所成角的正弦值。
D?

C?

H
A?

G
B?

P A

D F

Q E B

C

**12. 在六条棱分别为 2,3,3,4,5,5 的所有四面体中,最大的体积是多少?并证明 你的结论。 13. 设一直角四面体 P-ABC(即∠APB=∠BPC=∠CPA=90? )的三条棱 PA、PB、PC 的长之和为 L,试求(并证明)其最大体积。

【试题答案】
一、选择题 二、填空题 8、2; 9、 DDBCD AB

9π 2

三、解答题 10、 【解】 (1)在 Rt ?BAD 中,? ?ABD ? 60? ,? AB ? R, AD ? 3R 而 PD 垂直于底面 ABCD, PA ?

PD 2 ? AD 2 ? (2 2 R ) 2 ? ( 3R) 2 ? 11R

PB ? PD 2 ? BD 2 ? (2 2 R ) 2 ? (2 R ) 2 ? 2 3R ,
在 ?PAB 中, PA2 ? AB2 ? PB2 ,即 ?PAB 为以 ?PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 VP ? ABD ? VD ? PAB 有 PA ? AB? H ? AB? AD ? PD ,即

H?

AD ? PD 3R ? 2 2R 2 66 ? ? R PA 11 11R

sin ? ?
P

H 66 ; ? BD 11

E

G

A F B C

D

PE PG PE DF PG DF ? ? ,? GF // PD, ? ?GF ? BC , EB GC ,而 EB FC ,即 GC DC (2) ?GF ? EG ,??EFG 是直角三角形; EG // BC,?

PE 1 EG PE 1 GF CF 2 ? ? ? ? ? (3) EB 2 时 BC PB 3 , PD CD 3 , 1 1 2 2 2 4 2 即 EG ? BC ? ? 2 R ? cos 45? ? R, GF ? PD ? ? 2 2 R ? R, 3 3 3 3 3 3

??EFG 的面积
11、解:

S ?EFG ?

1 2

EG ? GF ?

1 2

?

2 3

R?

4 2 3

R ?

4 9

R2

(Ⅰ)证明:在正方体中, AD? ? A?D , AD? ? AB ,又由已知可得 PF ∥ A?D , PH ∥ AD? , PQ ∥ AB ,所以 PH ? PF , PH ? PQ ,所以 PH ? 平面 PQEF 。 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直。 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 PF ? 2 AP,PH ? 2PA? ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面 PQEF 和截面 PQGHR 的 面积之和是

( 2 AP ? 2 PA?) ? PQ ? 2 ,是定值。
(III)解:连结 BC′交 EQ 于点 M。

D?

C?
B?

H
A?

G

P

Q N F B D

M C E

A

因为 PH ∥ AD? , PQ ∥ AB , 所以平面 ABC?D? 和平面 PQGH 互相平行, 因此 D?E 与平面 PQGH 所成角与 D?E 与平 面 ABC?D? 所成角相等. 与(Ⅰ)同理可证 EQ⊥平面 PQGH,可知 EM⊥平面 ABC ?D? ,因此 EM 与 D?E 的比 值就是所求的正弦值. 设 AD’交 PF 于点 N,连结 EN,由 FD ? 1 ? b 知

2 2 ? (1 ? b) . 2 2 因为 AD’⊥平面 PQEF,又已知 D?E 与平面 PQEF 成 45? 角, ? 2 ? 2 2? ? (1 ? b) ? ? (1 ? b) 2 ? 2 , 所以 D?E ? 2 ND? ,即 2 ? 2 ? 1 解得 b ? ,可知 E 为 BC 中点. 2 3 2 2 所以 EM= ,又 D?E ? (1 ? b) ? 2 ? , 2 4 D?E ? (1 ? b)2 ? 2,ND? ?
故 D’E 与平面 PQGH 所成角的正弦值为

EM 2 . ? D?E 6

12、 【解】三角形两边之和大于第三边,按题设的数据,一边为 2 的三角形,其余两边只 可能是:①3,3;②5,5;③4,5;④3,4。 从而,四面体中以 2 为公共边的有两个面,其余两边只可能有下列三种情形:1.①与 ②;2.①与③;3.②与④. 下面就这三种情形分别讨论.

1. 如图 a,由勾股定理,CD⊥AC,CD⊥BC,所以,四面体的体积

1 1 1 V1 ? CD ? S ?ABC ? ? 4 ? 2 ? ? 3 2 ? 1 ? 8 2 / 3 3 3 2 2. 如图 b、c,这样的四面体有两个,它们的体积为

1 V2 ? ? 4 ? S ?A B C ? V1 3

3. 如图 d、图 e,这样的四面体也有两个,体积为

1 1 5 5 V3 ? ? 2 ? ? 5 ? 3 2 ? ( ) 2 ? 11 ? V1 3 2 2 6

13、设一直角棱长为 x,一直角棱长为 y,则第三条直角棱长为 L-x-y,则体积

1 1 1 x?y?L?x?y 3 V ? ? xy (L ? x ? y) ? ? ( ) ,等号当且仅当 x=y=L-x-y 时成立,从 3 2 6 3


Vmax ?

L3 162 。


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