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2014-2015高考理科数学《函数的模型及其应用》练习题


2014-2015 高考理科数学《函数的模型及其应用》练习题
[A 组 一、选择题 1.某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常, 但是下午他的体温又开始上升, 直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能反映出小明这一天(0 时~24 时)体温的变化情况的图是( ) 基础演练·能力提升]

解析:由题意,清晨体温在上升,吃药后到 12 点下降至体温基本正常,下午又上升,然后再又 下降,只有 C 选项符合. 答案:C 2.如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象. 若用黑点表示张大 爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

解析:根据图象可得,张大爷先是离家越来越远,后离家距离保持不变,最后慢慢回到家,符合 的只有 D. 答案:D 2.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 )

解析:设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n=a×1.1n,经历

n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a, 故该股民这
支股票略有亏损. 答案:B
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4. 下面的四个容器高度都相同, 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止. 用 下面对应的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正 确的有( )

解析: 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关 系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故对应的图象不正确,②中的变化率 应该是越来越慢的, 图象正确; ③中的变化规律是先慢后快, 图象正确; ④中的变化规律是先快后慢, 图象正确,故只有①是错误的.故选 A. 答案:A 5.某种细菌经 60 分钟培养,可繁殖为原来的 2 倍,且知该细菌的繁殖规律为 y=10ekt,其中 k 为常数,t 表示时间(单位:小时),y 表示细菌个数,10 个细菌经过 7 小时培养,细菌能达到的个数 为( ) A.640 C.2 560 B.1 280 D.5 120

解析 :由题意可得,当 t=0 时,y=10,当 t=1 时,y=10ek=20,可得 ek=2.故 10 个细菌经 过 7 小时培养,能达到的细菌个数为 10e7k=10×(ek)7=1 280. 答案:B 6.2013 届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费为 20 000 元,每天需要房租、水电等费用 100 元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益

?400x-1 x ,0≤x≤400, 2 R 与门面经营天数 x 的关系式是 R=R(x)=? ?80 000,x>400,
2

则总利润最大时,该门面

经营的天数是( A.100

) B.150 C.200 D.300

解析:由题意,知总成本 C=20 000+100x. 所以总利润 P=R-C

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?300x-x -20 000,0≤x≤400, 2 =? ?60 000-100x,x>400,
?300-x,0≤x≤400, 则 P′=? ?-100,x>400. 令 P′=0,得 x=300,易知当 x=300 时,总利润最大. 答案:D

2

二、 填空题 7. A, B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲、 乙两地同时开出. A 从甲地自东向西行驶,

B 从乙地自北向南行驶,A 的速度是 40 km/h,B 的速度是 16 km/h,经过________小时,A,B 间的距
离最短. 解析:设经过 x h,A,B 相距 y km, 则 y2=(145-40x)2+(16x)2 =1 856x2-11 600x+1452, 由二次函数的性质可得, 当 x= 11 600 25 = 时,AB2 取得最小值, 2×1 856 8

25 故当 x= 时,A,B 间的距离最短. 8 答案: 25 8

8.有一批材料可以建成 200 m 长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中 间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为________.(围墙厚 度不计)

解析:设矩 形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x) m,面积 S=x(200-4x)=-4(x- 25)2+2 500.故当 x=25 时,S 取得最大值 2 500,即围成场地的最大面积为 2 500 m2. 答案:2 500 m2
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9.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料 上截取矩形铁片(如 图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为________.

20-x y-8 5 解析:依题意知: = ,即 x= (24-y), x 24-y 4 ∴阴影部分的面积

S=xy= (24-y)y= (-y2+24y)=- (y-12)2+180,
∴当 y=12 时,S 有最大值为 180. 答案:180 三、解答题 10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 210 吨. 5 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨 产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润 是多少? 解析:(1)每吨平均成本为 (万元).

5 4

5 4

5 4

x2

y x

y x 8 000 则 = + -48≥2 x 5 x
当且仅当 = 5

x 8 000 · -48=32, 5 x

x 8 000 ,即 x=200 时取等号. x

∴年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元. (2)设年获得总利润为 R(x)万元, 则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000 5 =- +88x-8 000 5 1 =- (x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5
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x2

x2

∵R(x)在[0,210]上是增函数, ∴x=210 时,R(x)有最大值为

R(210)=- (210-220)2+1 680=1 660(万元).
∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 11.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为 x 元时,销售量可达到 15-0.1x 万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛 书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为 30 元,浮动价格(单位:元)与销售 量(单位:万套)成反比,比例系数为 10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价 格.问: (1)每套丛书售价定为 100 元时,书商能获利的总利润是多少万元? (2)每套从书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大? 解析:(1)每套丛书售价定为 100 元时,销售量为 15-0.1×100=5(万套),此时每套供货价格 为 30+ 10 =32(元),书商所获得的总利润为 5×(100-32)=340(万元). 5

1 5

(2)每套丛书售价定为 x 元时, ?15-0.1x>0, 由? ?x>0, 解得 0<x<150. 依题意,单套丛书利润

P=x-?30+
? ∴P=-? ?

? ?

10 ? 100 ?=x- -30, 15-0.1x? 150-x -x + 100 ? ?+120. 150-x?

∵0<x<150,∴150-x>0, 由(150-x)+ ≥2 100 150-x -x 100 =2×10=20, 150-x 100 ,即 x=140 时等号成立,此时,Pmax=-20+120=100. 150-x

当且仅当 150-x=

∴当每套丛书售价定为 100 元时,书商获得总利润为 340 万元,每套丛书售价定为 140 元时,单
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套丛书的利润最大,最大值为 100 元. 12. (能力提升)在一条直线型的工艺流水线上有 3 个工作台,将工艺流水线用如图所示的数轴表 示,各工作台的坐标分别为 x1,x2,x3,每个工作台上有若干名工人.现要在 x1 与 x3 之间修建一个零 件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短. (1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置; (2)设从左到右工作台上的工人人数依次为 2,1,3,试确定供应站的位置,并求所有工人到供应 站的距离之和的最小值.

解析:设供应站坐标为 x,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 d(x). (1)由题设,知 x1≤x≤x3,所以 d(x)=x-x1+|x-x2|+x3-x=|x-x2|-x1+x3, 故当 x=x2 时,d(x)取最小值,此时供应站的位置为 x=x2. (2) 由 题 设 , 知 x1≤x≤x3 , 所 以 d(x) = 2(x - x1) + |x - x2| + 3(x ?-2x+3x3+x2-2x1,x1≤x<x2, ? ?3x3-x2-2x1,x2≤x≤x3. 因此,函数 d(x)在区间[x1,x2]上是减函数,在区间[x2,x3]上是常数. 故供应站位置位于区间[x2,x3]上任意一点时,均能使函数 d(x)取得最小值,且最小值为 3x3-
3

- x) =

x2-2x1.
[B 组 因材施教·备选练习]

1.(2014 年石家庄模拟)如图,有一块边长为 1(单位:百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一 个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),设∠PAB=θ , tan θ =t.

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为多少? 解析:(1)由 tan θ =

BP =t,得 BP=t(0≤t≤1),可得 CP=1-t. AB

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∵∠DAQ=45°-θ ,∴DQ=tan (45°-θ )= -t
2 2 ? 2t ?2 1+t ?= +? , ?1+t? 1+t

1-t 1-t 2t ,CQ=1- = ,∴PQ= CP2+CQ2= 1+t 1+t 1+t

∴△CPQ 的周长 l=CP+PQ+CQ=1-t+ (2)∵S=S 2 ,即 t= t+1

2t 1+t2 + =2 为定值. 1+t 1+t

正方形 ABCD

t 1 1-t 1 2 -S△ABP-S△ADQ=1- - × =2- (t+1+ )≤2- 2,当且仅当 t+1= 2 2 1+t 2 t+1

2-1 时等号成立.

∴探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大为(2- 2)平方百米. 2.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环保部门的 建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1≤a≤4,且 a∈ R) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y( 克 / 升 ) 随 着时间 x( 天 ) 变化的函数关系式近似为 y = 16 ? ?8-x- f(x)=? 1 5- x ? ? 2

x
,若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每 <x

a·f(x),其中

次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它 才能起到有效治污的作用. (1)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (2) 若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持 续有效治污,试求 a 的最小值.(精确到 0.1,参考数据: 2取 1.4). 解析:(1)因为 a=4,

?864 - 所以 y=? -x ?20-2x

x
<x

.

则当 0≤x≤4 时,由

64 -4≥4,解得 x≥0,所以 此时 0≤x≤4; 8-x

当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 综上,可得 0≤x≤8,即一次投放 4 个单位的药 剂,有效治污时间可达 8 天. (2)当 6≤x≤10 时,
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y=2×?5- x?+a?
=10-x+

? ?

1 ? 2 ?

16 ? ?8- x-

? -1? ?

16a -a 14-x 16a -a-4, 14-x

=(14-x)+

因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 所以 4 a∈[4,8], 故当且仅当 14-x=4 a时,y 有最小值为 8 a-a-4. 令 8 a-a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4, 所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.

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