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决战2011:高考数学专题精练(十三)数列的概念与表示


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数列的概念与表示
注意事项:1.考察内容:数列的概念与表示 2.题目难度:中等难度题型 3.题型方面:10 道选择,4 道填空,4 道解答。 4.参考答案:有详细答案 5.资源类型:试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.数列 1,0,1,0,1, L 的一个通项公式是


n +1



A. a n =
2.已知 a n +1

1 ? (? 1) 2

n +1

B. a n =

1 + (? 1) 2

C. a n = )

(? 1)n ? 1
2

D. a n =

? 1 ? (? 1) 2

n

? a n ? 3 = 0 ,则数列 {a n } 是 (
B. 递减数列 C. 常数列

A. 递增数列

D. 摆动数列 )

3.数列 {a n } 的通项公式为 a n

= 3n 2 ? 28n ,则数列 {a n } 各项中最小项是 (
C. 第 6 项 D. 第 7 项 ( )

A. 第 4 项

B. 第 5 项

4.已知数列的通项公式为 a n

= n 2 ? 8n + 15 ,则 3

A. 不是数列 {a n } 中的项 C. 只是数列 {a n } 中的第 6 项

B. 只是数列 {a n } 中的第 2 项 D. 是数列 {a n } 中的第 2 项或第 6 项 )
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5.数列 1,3,6,10, x,21,28, L 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是(

A. 12 B. 15 6.下列说法正确的是 A. B.

C. (

17 )

D. 18

数列 1,3,5,7 可表示为 { ,3,5,7} 1 数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列

C.

数列 ?

1 ? n + 1? ? 的第 k 项是 1 + k ? n ?
*

D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集 N 的函数
7.设数列 {an } , a n

=

na ,其中 a、b、c 均为正数,则此数列 nb + c
B 递减 C 先增后减 D 先减后增

A 递增

8.在数列 {an } 中, an +1 = an + 2 + an , a1 = 2, a2 = 5 ,则 a6 的值是

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A. ?3

B. ?11
2

C. ?5

D. 19
2

9.设函数 f ( x ) = ( x – 1 ) + n (x∈[ – 1, ], 3 n∈N) 的最小值为 a n, 最大值为 b n, C n = b n – 记

2 a n,则数列{ C n }(



(A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为 1 的等比数列 (C)是常数数列
10.在数列

(D)不是等差数列也不是等比数列 对任意正整数 m 均成立,那么就称 的周 期。已 知数列 当数列 满足

中,如果存在非零常数 T,使得

为 周期数 列,其中 T 叫做数 列 ,且 则该数列的前 2009 项的和为( ) A . 1340 B . 1342 C . 1336

周期为 3 时,

D . 1338

二、填空题
11.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第 n 个图中有___________个点.



。。。

。 。 。 。 。 。 。
(3)

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
(4) (5) 。

(1)

(2)

12.数列 {an } 满足 a1 + a2 + L + an = 2n 2 ? 3n + 1 ,则 a4 + a5 + L + a10 = 13.数列 {an } 的前 n 项和 Sn = 2n 2 ? 3n ,则 an 14.数列 , ,

=




3 1 5 3 7 , , ,L 的一个通项公式是 5 2 11 7 17

三、解答题
15.已知 {an } 满足 a1

= 3 , an +1 = 2an + 1 ,试写出该数列的前 5 项,并用观察法写出这个数列

的一个通项公式.

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16.已知数列 {an } 中, a1

= 3 , a10 = 21 ,通项 an 是项数 n 的一次函数,

①求 {an } 的通项公式,并求 a2005 ; ②若 {bn } 是由 a2 , a4 , a6 , a8 ,L , 组成,试归纳 {bn } 的一个通项公式.

17.对于每项均是正整数的数列

,定义变换 .



将数列

变换成数列

对于每项均是非负整数的数列 小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列

, 定义变换 ;又定义 .

, 将数列

各项从大到



是每项均为正整数的有穷数列,令 为 5,3,2,写出数列 ,证明 ; ; ,存在正整数



(Ⅰ)如果数列

(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列

(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 .

,当

时,

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18.已知数列 {a n } 中, a1 =
bn =
1 (n ∈ N + ) ; an ? 1

3 1 , an = 2 ? (n ≥ 2, n ∈ N + ) ,数列 {bn } 满足 5 a n ?1

(1) (2)

求证:数列 {bn } 是等差数列; 求数列 {a n } 中的最大值和最小值,并说明理由

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答案
一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.A 9.D 10.D 二、填空题 11.8 n
2

? n +1

12.161 13. an 14. an

= 4n ? 5
= n+2 3n + 2 = 3 , an +1 = 2an + 1 ,∴ a2 = 7 , a3 = 15 , a4 = 31 , a5 = 63 ,∴猜得 an = 2 n +1 ? 1

三、解答题 15.解析 解析:∵ a1 16.解析: an 解析: 设

?k + b = 3 ?k = 2 ? = kn + b ,则 ? ,解得 ? ,∴ an = 2n + 1( n ∈ N ) ,∴ a2005 = 4011 , ?10k + b = 21 ?b = 1

又∵ a2 , a4 , a6 , a8 , L 即为 5,9,13,17,…,∴ bn = 4n + 1 .

17.解析 (Ⅰ) 解析:

, , ; , .

(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列 则 为 , , , ,

为 ,
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从而 . 又 所以 ,

, 故 (Ⅲ)证明:设 当存在 . 是每项均为非负整数的数列 ,使得 时,交换数列 . 的第 项与第 项得到数列 . 当存在 则 所以 ,使得 . . ,由 . 又由(Ⅱ)可知 即对于 因为 ,要么有 ,所以 ,要么有 . . . 可知 时,若记数列 为 , ,则

从而对于任意给定的数列

是大于 2 的整数,所以经过有限步后,必有 ,当 时, 。

即存在正整数
18.解析 解析:(1) bn =

1 1 an ?1 1 ,而 bn ?1 = ,[来源:Z|xx|k.Com] = = an ?1 ? 1 an ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 an ?1 ? 1 an ?1
1 5 5 = ? ;故数列 {bn } 是首项为 ? ,公差为 1 的等差数列; a1 ? 1 2 2

∴ bn ? bn ?1 = 1(n ≥ 2, n ∈ N + ) , b1 =

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(2)由(1)得 bn = n ? 函数 f ( x) = 1 +

7 1 2 2 ,则 an = 1 + = 1 + ;设函数 f ( x) = 1 + , 2 bn 2n ? 7 2x ? 7

2 7 7 在 (?∞, ) 和 ( ,+∞) 上均为减函数, x ≤ 3 时,f ( x) ≥ f (3) = ?1 ; x ≥ 4 当 当 2x ? 7 2 2
3 5

时, f ( x) ≤ f (4) = 3 ;且 f (1) = ,当 n 趋向于 +∞ 时, f ( x) 接近 1, ∴ (an ) min = a3 = ?1 , (an ) max = a4 = 3 .

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