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复变函数论总结


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复变函数论总结
摘要: 对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结, 对这一章也有了深入的 认识, 通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式, 学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛 朗级数的展开,以及应用留数定理计算实变函数定积分,傅立叶积分与傅立叶变换。 关键词:复数;导数;解析;积分;柯西公式、定理;幂级数展开;留数;傅立叶积分与傅 立叶变换

1 引言 《复变函数论主要内容》 第一章 复变函数 第二章 复变函数的积分 第三章 幂级数展开 第四章 留数定理 第五章 傅立叶变换 complex function complex function integral power series expansion residual theorem Fourier integral transformation

第一章

复变函数

§1.1 复数及复数的运算 §1.2 复变函数 §1.3 导数 §1.4 解析函数

§1.1 复数及复数的运算 1. 复数的概念 的数被称为复数,其中。 ; ;i为虚数单位,其意义为 当且仅当时,二者相等 复数与平面向量一一对应
z平面 虚轴 y . (x,y) r

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x实轴

模 幅角 (k) 注意:复数“零” (即实部和虚部都等与零的复数)的幅角没有明确意义 2. 复数的表示 代数表示 三角表示 指数表示 一个复数z的共轭复数 注意:在三角表示和指数表示下,两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差 3. 无限远点 在复变函数论中,通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应,而 且称这一点为无限远点,我们把无限远点记作,它的模为无限大,幅角则没 有明确意义 4. 复数的运算 复数的加法法则: 复数与的和定义是 两个复数的和依然是复数, 它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来 两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律,且 , 当 同一方向时等号成立。 复数的减法法则: 且有 复数的乘法法则: 乘法的交换律、结合律与分配律都成立 复数的除法法则: 注意:采用三角式或指数式比较方便。

§1.2 复变函数 (一) 复变函数的定义 若在复数平面上存在一个点集E,对于E的每一点,按照一定的规律,有一个 或多个复数值与之相对应,则称的函数—复变函数,z称为的宗量,定义域 为E,记作 ,zE (二) 区域的概念

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领域:以复数z为圆心,以任意小正数为半径作一圆,则圆内所有点的集合 称为z的领域 内点:若z及其领域均属于点集E,则称z为该点集的内点 外点:若z及其领域均不属于点集E,则称z为该点集的外点 境界点:若在z的每个领域内,既有属于E的点,也有不属于E的点,则称 z为该点集的境界点,它既不是E的内点,也不是E的外点,境界点的全体 成为境界线 区域是指满足下列两个条件的点集 1. 全由内点组成 2. 具有连通性,即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来,且折线 上的点全部属于改点集 闭区域:区域及其境界线所组成的点集 (三) 复变函数例 周期为 周期为 周期为 (s为复数) 周期为 注意:复变函数在点连续的定义是: 当z时,

§1.3 导数 (一) 导数的定义 设函数是在区域B上定义的单值函数,即对于B上的每一个z值,有且只有 一个值与之相对应,若在B上的基点z,极限 存在,并且与的方式无关,则称函数点可导,复变函数的导数定义,形式上 跟实变函数的导数定义一样。 现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两 种情形 1. 先看沿平行于实轴方向逼近零,这是而,于是 2. 再看沿平行于虚轴方向逼近零,这是而,于是

则有,即 这两个方程叫做柯西黎曼方程,是复变函数可导的必要条件 (二) 极坐标系中的柯西黎曼方程

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§1.4 解析函数 (一) 解析函数定义 若函数在点及其领域上处处可导,则称在点解析。又若在区域B上每一点都 解析,则称是区域B上的解析函数。函数在一点可导与解析是不等价的,但 函数若在某一区域B上解析,意味着函数在区域B上处处可导,因此函数在 某区域上可导与解析是等价的 (二) 解析函数性质 1. 若函数在区域B上解析,则 u(x,y) ,v(x,y) 是B上的两组正交曲线族 2. 若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即 (三) 求解析函数的方法 1. 曲线积分法 :全微分的积分与路径无关,故可选取特殊积分路径 2. 凑全微分显示法 3. 不定积分法

第二章 复变函数的积分

§2.1 §2.2 §2.3 §2.4

复变函数的积分 柯西定理 不定积分 柯西公式

§2.1 复变函数的积分 (一) 复变函数路积分定义 复变函数路积分可以归结为两个实变函数的线积分,它们分别是路积分的 实部和虚部 u(x,y)dx v(x,y)dxu(x,y)dy (二) 复变函数路积分性质 1. 常数因子可以移到积分号外 2. 函数的和的积分等于各个函数的积分之和 3. 反转积分路径,积分变号 4. 全路径上的积分等于各段上积分之和 5. 积分的模小于等于模的积分 注意:复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点,还与积分路径有关

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§2.2 柯西定理 (一) 单通区域的情形 所谓单通区域是这样的区域,在其中做任何简单的闭合围线,围线内的店 都是属于该区域内的点 单通区域柯西定理:如果函数在闭单通区域上解析,则沿上任意分段光滑 闭合曲线l,有 (二) 复通区域的情形 在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点,这样的 区域便称为复通区域,对于区域的境界线,外境界线是逆时针方向为正, 内境界线是顺时针方向为正 复通区域柯西定理:如果是闭复通区域上的单值解析函数,则 , 式中为区域外境界线,诸为区域内境界线,积分均沿境界线正方向进行 (三) 总结柯西定理 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零 2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零 3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境界 线逆时针方向积分之和

§2.3 不定积分 当积分起点固定时,这个不定积分就定义了一个单值函数,记作

就是说路积分的值等于原函数的改变量 注意:须记住下面重要结果 的结果是

§2.4 柯西公式 (一) 单通区域柯西公式: 设在单通区域 D 内解析,为 D 的内点,则 D 的边界线,又可写为

(二) 复通区域的柯西公式: 设在复通区域 D 内解析,为 D 的内点,则 (积分沿的边界线1的正方向)

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第三章 幂级数展开

§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类

§3.1 复数项级数 (一) 定义: 设有复数项的无穷级数 , 它的每一项都可分为实部和虚部 ,那么, 从而 , 这样复数项无穷级数的收敛性问题就归结为两个实数项级数的收敛问题, 柯西收敛判据成立。 (二) 绝对收敛 如果复数项级数各项的模组成的级数 收敛,就把复数项级数叫做绝对收敛 注意:绝对收敛级数各项先后次序可以改变,两个绝对收敛的复数项级数的乘 积也会收敛于原来函数的乘积 (三) 一致收敛 复变项级数 , 它的各项是z的函数,如果在某个区域上所有的点级数都收敛,就叫作在 此区域上收敛。复变项级数在区域上收敛的充分必要条件是,在区域上各 点z,对于给定任意小正数,必有N存在,使得nN时 ||, 式中p为任意正整数,如果N与z无关,就把复变项级数叫做在此区域上 一致收敛,一致收敛具有连续性、可积性、解析性。

§3.2 幂级数 定义: 叫做为中心的幂级数,为圆心做一个半径为R的圆周,由于幂级数在圆的

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内部绝对收敛,在圆外发散,这个圆因而叫做幂级数的收敛圆,半径则叫 做收敛半径。 | 或 注意:函数在区域内解析的充要条件是,函数在此区域内任意一点的领域 内都可展成幂级数

§3.3 泰勒级数展开 任意阶导数都存在的实变函数可以展为泰勒级数 定理:设在以为圆心的圆内解析,则对圆内任意z点,可展为幂级数 , 其中 具体步骤:先确定展开中心,再确定系数,最后将系数代回,写出泰勒级数 方法:直接发和间接法 注意:若在以点解析,则 1. 在以某一领域内可导 2. 在以某一领域内有连续的偏导数并满足柯西黎曼方程 3. 沿所有内外境界线正方向积分和为零 4. 可化为幂级数泰勒展开

§3.4 解析延拓 简单的说,解析延拓就是解析函数定义域的扩大,而且解析延拓是唯一的。

§3.5 洛朗级数展开 (一) 定理:设在环形区域的内部单值解析,则对环域上任意z点,可展为幂级 数 , 其中, 积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任意闭合曲线 (二) 具体步骤:先求的奇点,然后以为展开中心,奇点为分隔点,找出到无穷 远使解析的环域 (三) 洛朗级数和泰勒级数的区别 1. 从形式上看,洛朗级数有幂次为负数的项,而泰勒级数没有。 2. 但这只是表面现象,这两者本质上的不同在于,洛朗级数是在孤立奇点 的邻域的级数展开,它的定义域是一个环状的区域

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3. 洛朗级数的正则部分(也就是幂次非负的部分)是在|z|<=R 有效的,而 主要部分(也就是幂次为负的部分)是在 r<=|z|处有效的,两者都有定 义的部分就是那个环状区域。 4. 实际上,泰勒级数是更基本的。洛朗级数的正则部分就是这个孤立奇点 附近的关于 z 的泰勒级数,而其主要部分则是无穷远点附近的关于 1/z 的泰勒级数。也就是说洛朗级数是两个泰勒级数的和。

§3.6 孤立奇点的分类 (一) 定义:若在以点不可导,而在的任意小领域内处外处处可导,便称为的孤立 奇点 (二) 孤立奇点的分类 在挖去孤立奇点而形成的环域上的解析函数的洛朗级数或则没有负幂项, 或则只 有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,在这三种情况下,我们分别把的可去奇 点,极点或本性奇点

第四章 留数定理

§4.1 留数定理 §4.2 应用留数定理计算实变函数定积分

§4.1 留数定理 (一) 留数的概念:洛朗级数的项的系数叫做函数在以点的留数通常记作Res, 这样 (二) 留数定理:设函数在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点外解析,在闭区 域B上处外连续,则 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上个奇点的留数之和 (三) 留数的求法: 1. 非零的有限值,即 若可以表示为的特殊形式,其中都在点解析,是的一阶零点, ,从而是 的一阶极点,则 2. 若是的m阶极点,则有 (四) 求回路积分: 1. 确定孤立奇点 2. 看是否在积分范围内

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3. 求留数 4. 代回回路积分

§4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 (一) 方法: 1. 变量代换 2. 解析延拓 (二) 具体类型: 1. 类型 1 : ,被积函数是三角函数的有理式,积分区间,作自然代换z, 则有 , , , 于是原积分化为 I( 2. 类型 2: ,积分区间是;复变函数在实轴上没有奇点,在上半平面除有限 个奇点外是解析的;当z在上半平面和在实轴上时,z一致地。如果是 有理分式,上述条件意味着没有实的零点,的次数至少高于两次,则有 3. 类型 3: , ,积分区间;偶函数在实轴上没有奇点,在上半平面处有限个 奇点外是解析的;当z在上半平面实轴上时,一致地,则有

第五章 傅立叶变换

§5.1 傅立叶级数 §5.2 傅立叶积分与傅立叶变换 §5.3 函数

§5.1 傅立叶级数 (一) 周期函数的傅立叶展开 若函数以 2l为周期,即,则可将展开为级数 其中

(二) 狄里希利定理 若函数满足条件: 1. 处处连续。或在每个周期中只有有限个第一类间断点

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2. 在每个周期中只有有限个极值点 则级数收敛,且 级数和 (三) 奇函数及偶函数的傅立叶展开 奇函数:及诸均为零,

偶函数:所有均为零

(四) 定义在有限区间上的函数的傅立叶展开 可以采取解析沿拓的方法,使其成为某种周期函数 (五) 复数形式的傅立叶级数

§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换 (一) 实数形式的傅立叶积分

注意: 1. 奇函数的傅立叶积分

2. 偶函数的傅立叶积分

(二) 复数形式的傅立叶积分

(三) 傅立叶变换的基本性质 1. 导数定理: 2. 积分定理: 3. 相似性定理: 4. 延迟定理:

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5. 位移定理: 6. 卷积定理: (四) 多重傅立叶积分

, ,则

§5.3 函数 (一) 函数

(二) 函数的一些性质 1. 函数是偶函数,它的导数是奇函数 2. 3. 对于任意一个定义在(上的连续函数, 4. 即使是连续分布的质量、电荷或持续作用的力也可用函数表出 5. 如果的实根(k=1,2,3….)全是单根,则 (三) 函数是一种广义函数 (四) 函数的傅立叶变换

(五) 多维的函数

2. 小结 对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结,对这一章也有 了深入的认识,通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式,学习了圆域内泰 勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开,以及应用留数定理计算实变函数定 积分,傅立叶积分与傅立叶变换

参考文献: [1]梁昆淼,数学物理方法,高等教育出版社

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