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2016-2017学年山东寿光现代中学高二10月月考数学试卷


2016-2017 学年山东寿光现代中学高二 10 月月考数学试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

1.数列 1 , 3 , 5 , 7 ,?, 2n ?1 ,则 3 5 是它的第( A.22 C.24 2.在△ ABC 中,已知 a ? A. 30 ? C. 30 ? 或 150? B.23 D.28

)项

2 , b ? 2 , B ? 45? ,则角 A ? (



B. 60 ? D. 60 ? 或 120? )

3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 等于( A.18 C.54 B.36 D.72 )

4.设 a , b , c ? R ,且 a ? b , c ? d ,则下列结论中正确的是( A. a ? c ? b ? d B. a ? c ? b ? d C. ac ? bd D.

a b ? d c 5.两座灯塔 A , B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里、 2 a 海里,灯塔 A 在观察站 的北偏东 35 ? ,灯塔 B 在观察站的南偏东 25 ? ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
A. 3a 海里 C. 5a 海里 6.在△ ABC 中, A.直角三角形 C.等腰三角形 B. 7a 海里 D. 3a 海里

a b c ? ? ,则△ ABC 一定是( cos A cos B cos C
B.钝角三角形 D.等边三角形



7.等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? A.50 C.48

1 , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,则 n 为( 3
B.49 D.47 )



8.数列 ?an ? , an ? 0 ,若 a1 ? 3 , 2an?1 ? an ? 0 ,则 a5 ? (

3 32 48 C.
A.

B.

3 16

D.94 9.如果一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390, 则这个数列有( ) A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 10.下列函数中,最小值为 4 的是( )
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A. y ? x ?

4 x 4 (0 ? x ?? ) sin x

B. y ? sin x ?

C. y ? ex ? 4e? x D. y ? log3 x ? 4log x 3 11.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和我 Sn , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论中错误的是( A. d ? 0 C. S9 ? S8 B. a7 ? 0 D. S6 和 S7 均为 Sn 的最大值 )

12.设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? d ? 1 ,则 为( A.10 C. ) B.

Sn ? 8 的最小值 an

7 2

9 2 1 D. ? 2 2 2

C 的对边分别为 a , b ? 2, b ,c , cos C ? 13. 设△ ABC 的内角 A ,B , 且 a ? 1,

1 , 4

则 sin B ? . 14.在项数为奇数的等差数列中,所有奇数项的和为 175,所有偶数项的和为 150,则 这个数列共有 项. 15.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,公比 q ?
4

1 , a8 ? 1 ,则 S8 ? 2



16.已知 > 2,则 + ?2的最小值是___________.

17.在△ ABC 中, B ? 45? , AC ? 10 , cos C ?

2 5 ,求边 BC 长. 5

18.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S5 ? 35 , a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn ; (2)令 bn ?

1 ( n? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

19 . 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 . (1)求角 A 的大小;

a , b , c ,且满足

试卷第 2 页,总 3 页

(2)若 a ? 2 ,△ ABC 的面积为 3 ,求边 b 和 c . 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 30n . (1)这个数列是等差数列吗?求出它的通项公式; (2)求使得 Sn 最小的序号 n 的值. 21.某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m ,如果池底每 池壁每 1m 2 的造价为 120 元, 问怎样设计水池才能使总造价最低? 1m 2 的造价为 150 元, 最低总造价是多少元? 22.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 且 an?1 ? 2an ? 3 . (1)求证:数列 ?an ? 3? 是等比数列,求出它的通项公式; (2)求数列 ?n(an ? 3)? 的前 n 项和 Tn .

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根号下是奇数, 3 5 ? 45, 2n ?1 ? 45, n ? 23 . 考点:归纳猜想. 2.A 【解析】 试题分析:

a b 1 ? ? sin A ? ,由于 a ? b ,所以 A 为锐角,故 A ? 30? . sin A sin B 2

考点:解三角形. 【易错点晴】熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余 弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.在用正弦定理解题时,容易忽 视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根.已知两角一边可求第三角,解这样的三角 形只需直接用正弦定理代入求解即可.已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求 另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意. 3.D 【解析】 试题分析: S8 ?

a1 ? a8 a ?a ? 8 ? 4 5 ? 8 ? 72 . 2 2

考点:等差数列的基本性质. 4.A 【解析】 试题分析:根据不等式的性质,同向不等式相加,不等号的方向不变,故选 A. 考点:不等式的性质. 5.B 【解析】 试题分析:由余弦定理得 AB ? 考点:解三角形. 6.D 【解析】 试题分析:由正弦定理得 为等边三角形. 考点:解三角形. 7.A 【解析】 试

a 2 ? 4a 2 ? 2 ? a ? 2a ? cos120? ? 7a .

sin A sin B sin C ? ? ,即 tan A ? tan B ? tan C ,所以三角形 cos A cos B cos C

1 a1 ? , a1 ? d ? a1 ? 4d ? 4 3 1 2 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? ? ? n ? 1? ? ? 33 ,解得 n ? 50 . 3 3
题 分 析 :







d?

2 3



考点:等差数列的基本性质. 8.B
答案第 1 页,总 7 页

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【解析】 试题分析: an ?1 ?

1 1 3 ?1? an ,所以 an 为等比数列,公比为 ,所以 a5 ? 3 ? ? ? ? . 2 2 ? 2 ? 16

4

考点:递推数列求通项. 9.A 【解析】 试 题 分 析 : 依 题 意 有

3? a1 ? an ? ? 34 ?146 ? 180, a1 ? an ? 60



Sn ?

a1 ? an ? n ? 30n ? 390, n ? 13 . 2

考点:等差数列的基本性质. 10.C 【解析】 试题分析: ex ? 4e? x ? 2 ex ? 4e? x ? 4 ,当且仅当 e x ? 4e? x , x ? ln 2 时等号成立,故选 C. 考点:基本不等式. 11.C 【解析】 试 题 分 析 : S6 ? S7 ? S7 ? S6 ? a7 ?0 , S8 ? S7 ? S8 ? S7 ? a8 ? 0 , 故 d ? 0 , 所以

S9 ? S8 ,选 C.
考点:等差数列的基本性质. 【思路点晴】等差数列的单调性: d ? 0 为递增数列, d ? 0 为常数列, d ? 0 为递减数列. 已知 Sn 求 an 是一种非常常见的题型,这些题都是由 an 与前 n 项和 Sn 的关系来求数列 ?an ? 的通项公式, 可由数列 ?an ? 的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an ? ?

(n ? 1) ?S1 , 注意: S ? S ( n ? 2) n ?1 ? n

当 n ? 1 时, a1 若适合 Sn ? Sn?1 ,则 n ? 1 的情况可并入 n ? 2 时的通项 an ;当 n ? 1 时, a1 若不适合 Sn ? Sn?1 ,则用分段函数的形式表示. 12.B 【解析】

Sn ? 8 n2 ? n ? 16 n 8 1 1 9 试题分析: ? ? ? ? ? 4? ? . an 2n 2 n 2 2 2
考点:等差数列的基本性质. 【思路点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程 ( 组 ) 获 得 解 . 即 等 差 数 列 的 通 项 公 式 an ? a1 ? ? n ?1? d 及 前 n 项 和 公 式

答案第 2 页,总 7 页

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Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d ,共涉及五个量 a1 , d , n, an , Sn ,知其中三个就能求另外 2 2

两个,即知三求二, 多利用方程组的思想, 体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的 值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1 、 d ,掌握好 设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算. 13.

15 4

【解析】 试题分析: 由余弦定理得 c ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 , cos B ? 考点:解三角形. 14. 13 【解析】 试 题 分 析 : 设 一 共 有 n 项 , 则 中 间 项 为 a n ?1 , 依 题 意 有 an?1 ? S奇 ? S偶 ? 25 . 故
2 2

1? 4 ? 4 1 1 15 . ? ,sin B ? 1 ? ? 4 4 16 4

Sn ? n ? an?1 ? 325, n ? 13 .
2

考点:等差数列的基本性质. 【思路点晴】本题主要考查等差数列的性质.等差数列有很多性质,如:等差数列被均匀分 段求和后,得到的数列仍是等差数列,即 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n 成等差数列.两个等差数列 若数列 {an } 是等差数列,则 {kan } 仍为等 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. 差数列.设数列 {an } 是等差数列,且公差为 d , (Ⅰ)若项数为偶数,设共有 2 n 项,则①

S奇 -S偶 ? nd ; ②

S奇 a ? n ; (Ⅱ)若项数为奇数,设共有 2n ? 1 项,则① S偶 ? S奇 S偶 an ?1 S奇 n ? . S偶 n ? 1

? an ? a中 (中间项);②
15. 255 【解析】 试题分析: a1 ?

a8 a ?a q ? 27 , S8 ? 1 8 ? 255 . 7 q 1? q

考点:等比数列的基本性质. 16.6 【解析】试题分析: + ?2 = ? 2 + ?2 + 2 ≥ 4 + 2 = 6,当且仅当 ? 2 = ?2 , = 4时等
4 4 4

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号成立. 考点:基本不等式. 【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等,也就是说,利用 基本不等式必须确保每个数都是正数,必须确保右边是定值,必须确保等号能够成立 .为了 确保每个数是正数,根据题意 > 2,先减2再加上2,也就配成立基本不等式的形式,利用 基本不等式求出最小值后,要验证等号是否成立. 17. 3 2 . 【解析】 试题分析:先根据同角三角函数关系求出 sin C ?

5 ,利用三角形内角和定理和两角差的 5

正弦公式求出 sin A ? 试题解析: 由 cos C ?

3 10 ,最后由正弦定理求出 BC 的长. 10

5 2 5 2 ,得 sin C ? 1 ? cos C ? , 5 5 3 10 2 . (cos C ? sin C ) ? 10 2
10 ? 3 10 10 ? 3 2 . 2 2

sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ?

AC sin A ? 由正弦定理,得 BC ? sin B
考点:解三角形.

18. (1) an ? 2n ?1, Sn ? n2 ? 2n ; (2) 【解析】

n . 4(n ? 1)

试题分析: (1)用基本元的思想将已知条件转化为 a1 , d ,解方程组求解出 a1 , d ,进而求出

1 1 1 ) ,利用裂项求和法求得 Tn . (2)化简 bn ? ( ? an , Sn 的表达式; 4 n n ?1
试题解析: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,因为 S5 ? 5a3 ? 35 , a5 ? a7 ? 26 , ∴?

?a1 ? 2d ? 7, 解得 a1 ? 3 , d ? 2 . ?2a1 ? 10d ? 26.
n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n . 2

∴ an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 , S n ? 3n ?

答案第 4 页,总 7 页

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(2)由(1)知 an ? 2n ? 1,所以 bn ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? an ? 1 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
2

∴ Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n . )? (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) ? ? (1 ? ? n ? 1 4(n ? 1) 4? 2 2 3 n n ?1 ? 4

考点:等差数列的基本性质,数列求和. 19. (1) A ? 【解析】 试题分析: ( 1 )用正弦定理和三角形内角和定理化简 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 得到

?
3

; (2) b ? c ? 2 .

1 ? 1 ,A ? ; (2)用三角形面积公式 S ? bc sin A ? 3 求得 bc ? 4 ,利用余弦定 2 3 2 2 2 2 理列方程 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 联立这两个方程解得 b ? c ? 2 . cos A ?
试题解析: (1) 由 (2 b ?c )c o s A? a c o s C 0? 及正弦定理得 (2sin B ? sin C) cos A ? sin A cos C ? 0 , 所以 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0 , 因为 sin B ? sin( A ? C ) ? 0 , 所以 sin B(2cos A ? 1) ? 0 , cos A ? 因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ? (2)△ ABC 的面积 S ?

?
3

1 , 2



1 bc sin A ? 3 ,故 bc ? 4 , 2 而 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 4 , 故 b 2 ? c 2 ? 8 ,所以 b ? c ? 2 .
考点:解三角形,正弦定理,余弦定理. 20. (1)是, an ? 4n ? 32 ; (2) n ? 7,8 . 【解析】 试题分析: (1)令 n ? 1 求出 a1 ? ?28 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 4 n ? 32 . n ? 1 时也 满足,所以 an ? 4n ? 32 ; (2)由于 a1 ? ?28 ? 0, d ? 4 ? 0 ,所以前 n 项和有最小值,令

an ? 4n ? 32 ? 0, n ? 8 ,所以当 n ? 7, 或8 时,取得最小值.
试题解析: (1) n ? 2 , Sn?1 ? 2(n ?1) ? 30(n ?1) , an ? Sn ? Sn?1 ? 4n ? 32 ,
2

n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?28 ,也适合上式,这个数列的通项公式为 an ? 4n ? 32 .
又因为 n ? 2 , an ? an?1 ? (4n ? 32) ? ?4(n ?1) ? 32? ? 4 ,

答案第 5 页,总 7 页

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∴ ?an ? 是等差数列. (2) S n ? 2n 2 ? 30n ? 2(n ?

15 2 225 , ) ? 2 2

又因为 n 是正整数,所以 n ? 7 或 8 时, Sn 最小,最小值是 ? 112 . 考点:已知 Sn 求 an . 21.一边长 50 ,另一边长 32 时造价最低为 297600 . 【解析】 试题分析:设水池底面一边的长度为 x 为

m ,则另一边的长度为

4800 m ,又设水池总造价 3x

y

元 , 总 造 价 等 于 每 单 位 造 价 乘 以 面 积 , 所 以

y ? 150 ?

4800 4800 ? 120 ? (2 ? 3 x ? 2 ? 3 ? ), 利用基本不等式求得最小值为 297600 , 此 3 3

时 x ? 40 . 试题解析: 设水池底面一边的长度为 x 根据题意,得

m ,则另一边的长度为

4800 m ,又设水池总造价为 y 元, 3x

y ? 150 ?

4800 4800 ? 120 ? (2 ? 3 x ? 2 ? 3 ? ) 3 3

? 240000 ? 720 ? ( x ?
当且仅当 x ?

1600 1600 ) ? 240000 ? 720 ? 2 x ? , ? 297600 (元) x x

1600 ,即 x ? 40 时, y 取得最小值 297600. x

答:水池底面为正方形且边长为 40 m 时总造价最低,最低总造价为 297600 元. 考点:应用问题,基本不等式. 【方法点晴】在运用

a?b ? ab 时,注意条件 a 、 b 均为正数,结合不等式的性质,进行 2

变形. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时, 三个式子才能相乘, 最后答案才能取得 等号. 在利用基本不等式证明的过程中, 常常要把数、 式合理的拆成两项或多项或恒等地变 形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.实际应用问题先根据题意将函数解析式求 出来,再用基本不等式求解. 22. (1)证明见解析, an ? 2n?1 ? 3 ; (2) Tn ? 2 【解析】 试题分析: (1)利用配凑法将 an?1 ? 2an ? 3 配成 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) 数列 ?an ? 3? 是等比数 列,且首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 .所以 an ? 3 ? 4 ? 2
n?1 n? 2

(n ?1) ? 4 .

(2)化简 ? 2n?1 , an ? 2n?1 ? 3 ;

n(an ? 3) 得 n ? 2n?1 ,这是一个等差数列乘以一个等比数列,因此用错位相减法求其前 n 项

答案第 6 页,总 7 页

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和 Tn ? 2n?2 (n ?1) ? 4 . 试题解析: (1) an?1 ? 3 ? 2an ? 3 ? 3 ,即 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , ∴

an +1 +3 ? 2 ,又 a1 ? 3 ? 4 ? 0 , an ? 3

∴数列 {an ? 3} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列,

an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , an ? 2n?1 ? 3 .
(2)由(1)得 an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , ∴ n(an ? 3) ? n ? 2n?1 ,

Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? …? n ? 2n?1 , 2Tn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? …? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n?2 ,
8(1 ? 2n ?1 ) ? n ? 2n? 2 ? ?4 ? (1 ? n) ? 2n?2 , 1? 2

相减得 ?Tn ? 4 ? 23 ? 24 ? … ? 2n?1 ? n ? 2n? 2 ? 4 ? ∴ Tn ? 2n?2 (n ?1) ? 4 .

考点:递推数列求通项,错位相减法. 【方法点晴】 错位相减法: 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项 之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用 此 法 推 导 的 . 若 an ? bn ? cn , 其 中 ?bn ? 是 等 差 数 列 , ?cn ? 是 公 比 为 q 等 比 数 列 , 令

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn ?1cn ?1 ? bn cn ,则 qS n ? b1c2 ? b2 c3 ? ? ? bn ?1cn ? bn cn ?1 两式错位相
减并整理即得.

答案第 7 页,总 7 页



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