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“锐角三角函数”中考试题分类汇编(含答案)


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23、锐角三角函数
要点一:锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.(2009· 漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则 tan ? 的值是( )

4 3 C. 3 4 ?角的对边 3 ? . 【解析】选 C. tan ? ? ?角的邻边 4
A. B. 2.(2008· 威海中考)在△ABC 中,∠C=90° ,tanA=

3 5

D.

4 5

1 ,则 sinB=( ) 3
D.

A.

10 10

B.

2 3

C.

3 4

3 10 10

【解析】选 D. tan A ?

BC 1 ? ,设 BC=k,则 AC=3k,由勾股定理得 AB 3

AB ?

AC 2 ? BC 2 ? (3k ) 2 ? k 2 ? 10 k , sin B ?

AC 3 10 ? AB 10

3.(2009· 齐齐哈尔中考)如图,⊙O 是 △ ABC 的外接圆, AD 是 ⊙O 的直径,若 ⊙O 的半 径为

3 , AC ? 2 ,则 sin B 的值是( 2



A.

2 3

B.

3 2

C.

3 4

D.

4 3

【解析】选 A.连接 CD,由 ⊙O 的半径为

3 AC 2 得 AD=3. sin B = sin D ? ? . 2. AD 3

- 1 -

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4.(2009· 湖州中考)如图,在 Rt△ ABC 中, ?ACB ? Rt? , BC ? 1 , AB ? 2 ,则下列 结论正确的是( A. sin A ? ) B. tan A ?

3 2

1 2

C. cos B ?

3 2

D. tan B ? 3

BC ? 1 ,AB ? 2 , 【解析】 D 在直角三角形 ABC 中, 选 所以 AC= 3 ; 所以 sin A= ,

1 2

cos A=

1 3 3 3 , tan A ? ; sin B= , cos B= , tan B ? 3 ; 2 2 2 3

CD AC ? 3 , 5. (2008· 温州中考) 如图, Rt△ ABC 中, 是斜边 AB 上的中线, 在 已知 CD ? 2 ,
则 sin B 的值是( A. ) B.

2 3

3 2

C.

3 4

D.

4 3

【解析】 C.由 CD 是 Rt△ ABC 斜边 AB 上的中线, AB=2CD=4.∴ sin B ? 选 得

AC 3 ? AB 4

? 6.(2007· 泰安中考)如图,在 △ ABC 中, ?ACB ? 90 ,CD ? AB 于 D ,若 AC ? 2 3 ,

AB ? 3 2 ,则 tan ?BCD 的值为(

) A

D B (A) 2 答案:B
- 2 -

C (C)

(B)

2 2

6 3

(D)

3 3

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二、填空题

sin 7. (2009· 梧州中考) 在△ABC 中, ∠C=90° BC=6 cm, A ? ,
【解析】 sin A ? 答案:10

3 , AB 的长是 则 5

cm.

BC 6 3 ? ? , 解得 AB=10cm AB AB 5

8.(2009· 孝感中考)如图,角 ? 的顶点为 O,它的一边在 x 轴的正半轴上,另一边 OA 上有 一点 P(3,4) ,则 sin ? ? .

【解析】因为 P(3,4) ,所以 OP=5,所以 sin ? ? 答案:

4 ; 5

4 ; 5 3 ,则这个菱形 5

9.(2009· 庆阳中考)如图,菱形 ABCD 的边长为 10cm,DE⊥AB, sin A ? 的面积= cm2.

【解析】 sin A ? 答案:60 三、解答题

DE DE 3 2 ? ? . 解得 DE=6cm.∴ SLING ? AB ? DE ? 10 ? 6 ? 60 cm . AD 10 5

10.(2009· 河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为 O,直径 AB 是河底线, 弦 CD 是水位线,CD∥AB,且 CD = 24 m,OE⊥CD 于点 E.已测得 sin∠DOE =
12 . 13

C A

E

D B

O

(1)求半径 OD;

- 3 -

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(2)根据需要,水面要以每小时 0.5 m 的速度下降, 则经过多长时间才能将水排干? 【解析】 (1)∵OE⊥CD 于点 E,CD=24(m) ,

1 ∴ED = CD =12(m) . 2
在 Rt△DOE 中,∵sin∠DOE = ∴OD =13(m) . (2)OE= OD2 ? ED2 =
132 ? 122 =5 (m)

ED 12 = , OD 13

∴将水排干需:5÷ 0.5=10(小时) . 11. 2009· ( 綦江中考) 如图, 在矩形 ABCD 中,E 是 BC 边上的点,AE ? BC ,DF ? AE , 垂足为 F ,连接 DE . (1)求证: △ ABE ≌△DFA ; (2)如果 AD ? 10,AB=6 ,求 sin ?EDF 的值. A D

B 【解析】 (1)在矩形 ABCD 中,

F E

C

BC ? AD,AD ∥ BC,?B ? 90°
??DAF ? ?AEB

? DF ? AE,AE ? BC ??AFD ? 90° = ?B
AE ? AD

?△ ABE ≌△DFA .
(2)由(1)知 △ ABE ≌△DFA

? AB ? DF ? 6
在直角 △ ADF 中,

AF ? AD2 ? DF 2 ? 102 ? 62 ? 8
? EF ? AE ? AF ? AD ? AF ? 2
- 4 -

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在直角 △DFE 中,

DE ? DF 2 ? EF 2 ? 62 ? 22 ? 2 10
?sin ?EDF ? EF 2 10 . ? ? DE 2 10 10
4 , AB =15,求△ ABC 的 5

12.(2008· 宁夏中考)如图,在△ ABC 中,∠ C =90° ,sin A = 周长和 tan A 的值.

【解析】在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90° AB =15 ,

sin A =

BC 4 = , ∴ BC ? 12 AB 5

AC ? AB2 ? BC2 ? 152 ? 122 ? 9
∴周长为 36, tan A ?

BC 12 4 ? ? . AC 9 3

13.(2008· 肇庆中考)在 Rt△ABC 中,∠C = 90° =3 ,c =5,求 sinA 和 tanA 的值. ,a 【解析】在 Rt △ABC 中,c=5,a=3. ∴ ∴

b ? c 2 ? a 2 ? 52 ? 32 ? 4
s i nA ? a 3 ? c 5 a 3 t a nA ? ? . b 4

14.(2007· 芜湖中考)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 上的高, tan B ? cos ?DAC ,

(1) 求证:AC=BD; (2)若 sin C ?

12 ,BC=12,求 AD 的长. 13
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【解析】(1)∵AD 是 BC 上的高,∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90° ,∠ADC=90° . 在 Rt△ABD 和 Rt△ADC 中, ∵ tan B =

AD AD , cos ?DAC = BD AC

又已知 tan B ? cos ?DAC

AD AD = .∴AC=BD. BD AC 12 (2)在 Rt△ADC 中, sin C ? ,故可设 AD=12k,AC=13k. 13


? DC ? AC2 ? AD 2 ? 5k AD AD ? ? 13k tan B cos ?DAC ? BC ? 13k ? 5k ? 12 BD ? 2 ? k ? , AD ? 8. 3
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题 1.(2009· 钦州中考)sin30° 的值为( A.
3 2

) C.

B.

2 2

1 2

D.

3 3

答案:C 2.(2009· 长春中考) .菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,

?AOC ? 45° OC ? 2 ,则点 B 的坐标为( ,



A. ( 2, 1) 答案:C

B. (1 2) ,

C. ( 2 ? 11) ,

D. (1 2 ?1) ,

3.(2009· 定西中考)某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角) 不能大于 60° ,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )

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A.8 米 答案:C

B. 8 3 米

C.

8 3 米 3

D.

4 3 米 3

4.(2008· 宿迁中考)已知 ? 为锐角,且 sin(? ? 10?) ? A. 50 ? 答案:C B. 60 ? C. 70 ?

3 ,则 ? 等于( 2
D. 80 ?



5.(2008· 毕节中考) A(cos60° ,-tan30° )关于原点对称的点 A1 的坐标是( A. ? ? , 答案:A



? 1 3? ? 2 3 ? ? ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 3? , ? 2 3 ? ?

? C. ? ? ,

? 1 ? 2 ?

3? ? 3 ? ?

D. ? ? ,

? 1 3? ? 2 2 ? ? ? ?

cos30 等于( 6.(2007· 襄樊中考)计算: cos 45 ? tan 60 ?
2 ? ? ?



(A) 1 答案:C 二、填空题

(B) 2

(C) 2

(D) 3

7. (2009· 荆门中考) 4cos30? sin60? ? (?2)?1 ? ( 2009 ? 2008)0 =______. 【解析】 4cos30? sin60? ? (?2)?1 ? ( 2009 ? 2008)0
3 3 1 ? ? (? ) ? 1 2 2 2 1 ? 3 ? (? ) ? 1 2 3 ? 2 ? 4?

答案:

3 2

8.(2009· 百色中考)如图,在一次数学课外活动中,测得电线杆底部 B 与钢缆固定点 C 的 距离为 4 米,钢缆与地面的夹角为 60? ,则这条钢缆在电线杆上的固定点 A 到地面的距 离 AB 是 米. (结果保留根号) .

- 7 -

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答案: 4 3

cos 9.(2008· 江西中考)计算: (1) sin 60 ? 30 ?
? ?

1 ? 2



cos 【解析】 sin 60 ? 30 ?
? ?

1 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1. 2 2 2 2 4 2 4

答案:

1 4

10.(2007· 济宁中考)计算 答案:0 三、解答题

sin 60? ? tan 45? 的值是 cos 30?



11.(2009· 黄石中考)计算:3 1+(2π-1)0- 【解析】3 1+(2π-1)0-
?




3 tan30° -tan45° 3

3 tan30° -tan45° 3

1 1 ?1? ?1 3 3 ? 0

?1? 12.(2009· 崇左中考)计算: 2sin 60° ? 3tan 30° ? ? ? ? (?1)2009 . ? 3?
【解析】原式= 2 ?

0

3 3 ? 3? ? 1 ? 1=0. 2 3

13.(2008· 义乌中考)计算:
?

3sin 60? ? 2 cos45? ? 3 8
?

【解析】 3sin60 ? 2 cos45 ? 3 8 ? 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题

3?

3 2 ? 2? ? 2 =2.5 2 2

1. 2009· ( 白银中考) 某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶, 梯子的倾斜角 (梯子与地面的夹角) 不能大于 60° ,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )

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A.8 米

B. 8 3 米

C.

8 3 米 3

D.

4 3 米 3

【解析】选 C. 梯子的长至少为

4 8 3 (米). ? 0 3 sin 60

2.(2009· 衢州中考)为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位: 米),则该坡道倾斜角 α 的正切值是( )

A.

1 4

B.4

C.

1 17

D.

4 17

答案:A 3.(2009· 益阳中考)如图,先锋村准备在坡角为 ? 的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水 平距离为 5 米,那么这两树在坡面上的距离 AB 为( A. 5 cos ? B. ) D.

5 cos ?

C. 5 sin ?
5米 B A

5 sin ?

α

答案:B 4.(2009· 兰州中考)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为 4m.如果在坡度为 0.75 的山坡上种树,也要求株距为 4m,那么相邻两树间的坡面距离
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为( A.5m

) B.6m C.7m D.8m

【解析】选 A 由坡度为 0.75 知,相邻两树间的水平距离为 4m,相邻两树间的垂直距 离为 h,则

h ? 0.75 ,则 h=3m,所以坡面距离为 5m; 4

5.(2009· 潍坊中考)如图,小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离,在 A 点测得

?BAD ? 30° ,在 C 点测得 ?BCD ? 60° ,又测得 AC ? 50 米,则小岛 B 到公路 l 的
距离为( )米.

A.25

B. 25 3

C.

100 3 3

D. 25 ? 25 3

【解析】选 B 过点 B 作 BE⊥AD 于点 E,在直角三角形 BAE 中, tan 30 ?
0

BE , AE

BE BE BE , 在直角三角形 BCE 中, tan 600 ? , 则 CE ? 。 0 tan 30 CE tan 600 BE BE ? ? 50, 解得 BE= 25 3 ; 所以 AE-CE=AC=50,即 0 tan 30 tan 600
则 AE ? 二、填空题 6.(2009· 沈阳中考)如图,市政府准备修建一座高 AB=6m 的过街天桥,已知天桥的坡面 3 AC 与地面 BC 的夹角∠ACB 的正弦值为 ,则坡面 AC 的长度为 5 m.

【解析】因为 sin∠ACB = 答案:10.

AB 6 3 ? ? ,所以 AC=10 AC AC 5

7.(2009· 衡阳中考)某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米,此时他与水平地面的垂直距
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离为 2 5 米,则这个坡面的坡度为_________. 答案:1:2 8. (2009· 南宁中考)如图,一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向,距离灯塔 40 2 海里的 A 处, 它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30° 方向上的 B 处,则海轮行 驶的路程 AB 为 _____________海里(结果保留根号) .

【解析】∵ AC ? PC ? AP sin 45 ? 40 2 ?
0

2 ? 40 , 2

BC ?

PC 40 ? ? 40 3 0 tan30 3 3

∴ AB ? BC ? AC ? 40 3 ? 40 答案: 40 3 ? 40

?

?
m.

9 (2009· 安徽中考) 长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45° 角,作业时调整为 60° 角(如图所 示) ,则梯子的顶端沿墙面升高了

【解析】当梯子与地面夹角为 45 时,梯子顶端高为 4sin 450 ? 2 2(m) ;
0

当梯子与地面夹角为 60 时,梯子顶端高为 4sin 600 ? 2 3(m) ,
0

所以梯子顶端升高了 2( 3 ? 2)m; 答案: 2( 3 ? 2) ;
- 11 -

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10.(2008· 庆阳中考)如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离 AC =3 米,

cos?BAC ?

3 ,则梯子长 AB = 4

米.

答案:4 11.(2007· 湖州中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以 15° 的倾斜角斜靠在栏杆上,严 重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为 75° ,如果拖 把的总长为 1.80m,则小明拓宽了行路通道_______________m. (结果保留三个有效数 字,参考数据:sin15°≈26,cos15°≈0.97)

答案:1.28 三、解答题 12.(2009· 庆阳中考)如图(1) ,一扇窗户打开后用窗钩 AB 可将其固定.如图(2)是如图 (1)中窗子开到一定位置时的平面图,若∠AOB=45° ∠OAB=30° , ,OA=60cm,求点 B 到 OA 边的距离. 3 ≈1.7 ,结果精确到整数) (

【解析】如图,过点 B 作 BC⊥OA 于点 C

∵ ∠AOB=45° ,∴∠CBO=45° ,BC=OC.

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设 BC=OC=x,∵∠OAB=30° , ∴ AC=BC× tan60° 3 x. = ∵ OC+CA=OA,∴x+ 3 x=60, ∴ x= 60 ≈22(cm) . 1? 3 即点 B 到 OA 边的距离是 22 cm. 13.(2009· 郴州中考)如图,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,测角 仪 AB 的高度为 1.5 米,测得仰角 ? 为 30° ,点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN 为 10 米, 求路灯的高度 MN 是多少米?(取 2 =1.414, 3 =1.732,结果保留两位小数)

【解析】在直角三角形 MPA 中, ?? ? 30° , AP = 10 米 MP=10· tan300 =10× 因为 AB = 1.5 米 所以 MN=1.5+5.77=7.27 米 答:路灯的高度为 7.27 米 14.(2009· 眉山中考)海船以 5 海里/小时的速度向正东方向行驶,在 A 处看见灯塔 B 在海 船的北偏东 60° 方向, 小时后船行驶到 C 处, 2 发现此时灯塔 B 在海船的北偏西 45 方向, 求此时灯塔 B 到 C 处的距离。

3 ≈5.773 米 3

【解析】如图,过 B 点作 BD⊥AC 于 D

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∴∠DAB=90° -60° =30° ,∠DCB=90° -45° =45° 设 BD=x,在 Rt△ABD 中,AD= x ? tan30° = 3x 在 Rt△BDC 中,BD=DC=x 又 AC=5× 2=10 BC= 2x 得 x ? 5( 3 ?1) ,

∴ 3x ? x ? 10 ,

∴ BC ? 2 ? 5( 3 ?1) ? 5( 6 ? 2) (海里) 答:灯塔 B 距 C 处 5( 6 ? 2) 海里 15.(2009· 常德中考)如图,某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30o,向前走 200 米来到山脚 A 处,测得山坡 AC 的坡度为 i=1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度, 3 ≈1.73 , 结果保留整数) .

【解析】设山高 BC = x ,则 AB=

1 x, 2

tan 30? ?

BC x ,得 ? BD 200 ? 1 x 2

(2 3 ?1) x ? 400 ,

解得 x ?

400 400(2 3 ? 1) ? ≈162 米 11 2 3 ?1

16.(2008· 广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由 45? 降为 30? ,已知原滑滑板 AB 的长为 5 米,点 D、B、C 在同一水平地面上. (1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到 0.01) (2)若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有 6 米长的
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空地,像这样改造是否可行?说明理由。 (参考数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732, 6 ? 2.449 )

【解析】 (1)在 Rt△ ABC 中,

5 2(m) 2 5 BC ? AB?cos 45? ? 2(m) 2 AC ? AB ? 45? ? sin
Rt△ ADC 中

AC ? 5 2(m) sin 30? AC 5 CD ? ? 6(m) ? tan 30 2 AD ?

? AD ? AB ≈ 2.07(m)
改善后的滑滑板会加长 2.07m. (2)这样改造能行. 因为 CD ? BC ≈ 2.59(m) ,而 6 ? 3 ? 2.59

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