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高三单元试题20套

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

高三单元试题之一:集合和简易逻辑
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是

?

?

( D.5 ( ( (



A.8

B.7

C.6

2.若命题 P:x∈A∪B,则 ? P 是 A.x ? A 且 x ? B B.x ? A 或 x? B C.x ? A∩B D.x∈A∩B 3.定义 A-B={x|x∈A 且 x ? B},若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则 N-M= A.M B.N C.{1,4,5} D.{6} 4. “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题是 A.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不是锐角 B.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角 C.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 都不一定是锐角 D.以上都不对

) ) )

5.设集合 A={x|x<-1 或 x>1},B={x|log2x>0},则 A∩B= ( ) A.{x| x>1} B.{x|x>0} C.{x|x<-1} D.{x|x<-1 或 x>1} 6. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数”和这个命题真值相同的命题为 ( ) A.若一个数是负数,则它的平方是正数 B.若一个数的平方不是正数,则它不是负数 C.若一个数的平方是正数,则它是负数 D.若一个数不是负数,则它的平方是非负数 7.若非空集合 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,则必有 6-a∈S,则所有满足上述条件的集合 S 共有 ( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 8.命题“若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形, 9.设有三个命题 甲:相交两直线 m,n 都在平面??内,并且都不在平面??内; 乙: m,n 之中至少有一条与??相交; 丙:???与??相交; 如果甲是真命题,那么 ( ) A.乙是丙的充分必要条件 B.乙是丙的必要不充分条件 C.乙是丙的充分不必要条件 D.乙是丙的既不充分又不必要条件 10.有下列四个命题 ①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题;

②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。 其中真命题为 A.①② B.②③ C.①③
2

( D.③④



11.a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x +b1x+c1<0 和 a2x2+b2x+c2<0 的解 集分别为集合 M 和 N,那么“ A.充分非必要条件 C.充要条件

a1 b c ? 1 ? 1 ”是“M=N” a2 b2 c2

(

)

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

12.已知 0 ? a ? 1 ? b ,不等式 lg(a x ? b x ) ? 1的解集是 {x | ?1 ? x ? 0},则 a , b 满足的关系 是( A. )

1 1 ? ? 10 a b

B.

1 1 ? ? 10 a b

C.

1 1 ? ? 10 a b

D.a、b 的关系不能确定

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.小宁中午放学回家自己煮面条吃。有下面几道工序:①洗锅盛水 2 分钟;②洗菜 6 分钟; ③准备面条及佐料 2 分钟;④用锅把水烧开 10 分钟;⑤煮面条和菜共 3 分钟。以上各道工序, 除④之外,一次只能进行一道工序。小宁要将面条煮好,最少要用________分钟。 14.已知集合 M={x|1≤x≤10,x∈N},对它的非空子集 A,将 A 中每个元素 k,都乘以(- 1)k 再求和(如 A={1,3,6},可求得和为(-1)· 1+(-1)3· 3+(-1)6· 6=2,则对 M 的所有非 空子集,这些和的总和是 . 15. 设集合 A={x||x|<4}, B={x|x<1 或 x>3}, 则集合{x|x∈A 且 x ? A∩B}=_______________。 2 16. 设集合 A={x|x +x-6=0}, B={x|mx+1=0}, 则 B A 的一个充分不必要条件是_______。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x2+4(m -2)x+1=0 无实根。若 p 或 q 为真,p 且 q 为假。求实数 m 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)已知 p :|1 ?

x ?1 |? 2,q : x 2 ? 2x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) ;? p 是? q 的必 3

要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3>0 对任何实数 x 都 成立,求实数 k 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 在一次数学竞赛中,共出甲、乙、丙三题,在所有 25 个参赛的学生 中,每个学生至少解出一题;在所有没有解出甲题的学生中,解出乙题的人数是解出丙题 的人数的两倍;只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多 1;只解一题 的学生中,有一半没有解出甲题。问共有多少学生只解出乙题?

21. (本小题满分 12 分)设 a、b∈Z,E={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y},点(2,1)∈E,但(1,0) ? E, (3,2) ? E。求 a、b 的值。

22. (本小题满分 14 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对 任意 x∈R,有 f(x+T)=T f(x)成立. ⑴函数 f(x)= x 是否属于集合 M?说明理由; x x ⑵设函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明:f(x)=a ∈M; ⑶若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k 的取值范围。

高三单元试题之二:函数
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知函数 y=f(x)(a≤x≤b),则集合{(x,y)| y=f(x),a≤x≤b}∩{(x,y)|x=0}中含有元素的个数 为( ) A.0 B.1 或 0 C.1 D.1 或 2 2. 设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)满足 f(9)=2,则 f 1(loga2)等于( )


A.2 3. 函数 y=ln(1+

B. 2

C.

2 2

D.log2 2

2 ),x∈(1,+∞)的反函数为( ) x ?1
B.y=

A.y=

ex ? 1 ,x∈(0,+∞) ex ?1

ex ?1 ,x∈(0,+∞) ex ? 1

ex ?1 C.y= x ,x∈(-∞,0) e ?1

ex ? 1 D.y= x ,x∈(-∞,0) e ?1
1 的反函数的图象关于( ) x

4. 设 a>0,a≠1,函数 y= log a x的反函数和 y ? log a

A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.y=x 对称 D.原点对称 x 5. 函数 f(x)=|2 -1|,若 a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列四个式子是成立的是( ) -a c c a A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2 <2 D.2 +2 <2 6. 当 x∈(-2,-1)时,不等式(x+1)2<loga|x|恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(1,2] C.(1,2) D.(0,1) 7. 函数 f(x)=x2+ax-3a-9 对任意 x∈R 恒有 f(x)≥0,则 f(1)=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 8. 关于 x 的方程 a =-x2+2x+a(a>0,且 a≠1)的解的个数是( ) A.1 B.2 C.0 D.视 a 的值而定 9. f(x)是定义域为 R 的增函数,且值域为 R+,则下列函数中为减函数的是( ) A.f(x)+ f(-x) B.f(x)-f(-x) C.f(x)?f(-x) D.
x

f (? x) f ( x)

10.f( x )是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g(x)=af(x)+b,则下列关于函 数 g(x)的叙述正确的是( ) A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g(x)=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g(x)=0 有两个实根. D.若 a≥1,b<2,则方程 g(x)=0 有三个实根.

11.设 lg2x-lgx2-2=0 的两根是?、?,则 log??+log??的值是( ) A.-4 B.-2 C.1 D.3 12.如图所示, f i ( x)(i ? 1,2,3,4) 是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质: “对 [0,1] 中任意的 x1 和 x2,任意 ? ? [0,1], f [?x1 ? (1 ? ? ) x2 ] ? ?f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) 恒成立”的只有

A. f1 ( x), f 3 ( x)

B. f 2 ( x)

C. f 2 ( x), f 3 ( x)

D. f 4 ( x)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.已知函数 f ( x) ?

1 的反函数 f x?a

?1

,则 a= ( x) 的图象的对称中心是(0,2)



? x ? 2, x ? ?1 ? | x |? 1 ,h(x)=tan2x 中, 14.函数 f(x)=lg(1+x ),g(x)= ?0, ? ? x ? 2, x ? 1 ?
2

是偶函数。

15.已知 f ( x) ?

1 2 1000 4x )? f( ) ??? f ( )= ,则和 f ( x 1001 1001 1001 4 ?2



? 2? x ? 1, x ? 0 ? 16.设函数 f(x)= ? 1 ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 2 ? x , x ? 0 ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知 a>0,b>0,x∈R 且 M= a 由。
sin 2 x

?b

cos2 x

,N=a+b,试比较 M 与 N 的大小,并说明理

18.已知 f(x)=x2-x+k,若 log2f(a)=2 且 f(log2a)=k(a>0 且 a≠1)。 ⑴确定 k 的值;

[ f ( x)]2 ? 9 ⑵求 的最小值及对应的 x 值。 f ( x)

19.已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 1( a 为正常数) ,且函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图 象在 y 轴上的截距相等。 ⑴求 a 的值; ⑵求函数 f ? x ? ? g ? x ? 的单调递增区间。

20. 设函数 f(x)的定义域是 R, 对于任意实数 m,n, 恒有 f(m+n)=f(m)f(n), 且当 x>0 时, 0<f(x)<1。 ⑴求证:f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; ⑵判断 f(x)在 R 上的单调性; ⑶设集合 A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值范围。

21.如图,函数 y=

3 |x|在 x∈[-1,1]的图象上有两点 A,B,AB∥Ox 轴,点 M(1,m)(m 是已 2
y C

3 知实数,且 m> )是△ABC 的边 BC 的中点。 2
⑴写出用 B 的横坐标 t 表示△ABC 面积 S 的函数解析式 S=f(t); ⑵求函数 S=f(t)的最大值,并求出相应的 C 点坐标。 A -1 -t

3 2
B O t

M(1,m)

y?
1

3 x 2
x

22.设 y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件: (i)f(-1)=f(1)=0; (ii)对任意的 u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|。 ⑴证明:对任意的 x∈[-1,1],都有 x-1≤f(x)≤1-x; ⑵证明:对任意的 u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1; ⑶在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数 y=f(x),且使得

1 ? | f (u ) ? f (v) |?| u ? v | .当u, v ? [0, ]. ? ? 2 ? ?| f (u ) ? f (v) |?| u ? v |, 当u , v ? [ 1 ,1]. ? 2 ?
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.

高三单元试题之三:数列
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 若 a、b、c 成等差数列,则函数 f(x)=ax +bx+c 的图象与 x 轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 2. 在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为( ) A.S17 B.S18 C.S19 D.S20 3. 某厂 2004 年 12 份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍,则该厂 2004 年度产值的月平均增 长率为( ) A.
2

n 11

B. 11 n -1

C. 12 n -1

D. 11 n

4. 等差数列{an}中,已知 a1=

1 ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( ) 3

A.50 B.49 C.48 D.47 5. 已知数列{an}的首项 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则下列结论正确的是( ) A.数列 a2,a3,?,an,?是等比数列 B.数列{an}是等比数列 C.数列 a2,a3,?,an,?是等差数列 D.数列{an}是等差数列 * 6. 数列{an}的前 n 项和 Sn=5n-3n2(n∈N ),则有( ) A.Sn>na1>nan B.Sn<nan<na1 C.nan>Sn>na1 D.nan<Sn<na1 7. 等差数列{an}中,a1+a2+?+a50=200,a51+a52+?+a100=2700,则 a1 等于( ) A.-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 8. 已知关于 x 的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 -n|=( ) A.

1 的等差数列, 则|m 4

1 2

B.

3 8

C.

3 4

D.1

9.等比数列{an}中,a1=512,公比为-

1 ,用∏n 表示它的前 n 项之积,即∏n= a1· a2??an, 2

则∏n 中最大的是( ) A.∏11 B.∏10 C.∏9 D.∏8 10.已知数列{an}满足 a0=1,an=a0+a1+?+an-1(n≥1),则当 n≥1 时,an= A.2n B.2n-1 C.

(

)

1 n(n+1) 2

D.2n

-1

11.设数列{an}是公比为 a(a≠1),首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N , 点(Sn,Sn+1)在直线( ) A.y=ax-b 上 B.y=ax+b 上 C.y=bx+a 上 D.y=bx-a 上 12.某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权,他们的 编号分别为 1,2,?,k,规定:同意按“1” ,不同意(含弃权)按“0” ,令



j号同学当选 . ?1, 第i号同学同意第 aij ? ? j号同学当选 . ?0, 第i号同学不同意第
其中 i=1,2,?,k,且 j=1,2,?,k,则同时同意第 1,2 号同学当选的人数为( A. a11 ? a12 ? ? ? a1k ? a21 ? a22 ? ? ? a2k B. a11 ? a21 ? ? ? a1k ? a12 ? a22 ? ? ? ak 2 C. a11a12 ? a21a22 ? ? ? ak1ak 2 D. a11a21 ? a12 a22 ? ? ? a1k a2k 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.在数{an}中,其前 n 项和 Sn=4n2-n-8,则 a4= 。 14.已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为 1,且公差 d ? 1,公比 q>0 且 q ? 1,则集合 {n| an= bn}的元素最多有 个。 15.已知 a n ? )

n ? 79 n ? 80

(n∈N+),则在数列{an}的前 50 项中最大项的项数是



16.在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列。然而在等比数列{an}中,对 某些正整数 r、s (r≠s),当 ar=as 时,非常数数列 { a n } 的一个例子是____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.数列{an}是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。 ⑴求数列的公差; ⑵求前 n 项和 Sn 的最大值; ⑶当 Sn>0 时,求 n 的最大值。

18.{an}是等差数列,设 fn(x)=a1x+a2x2+?+anxn,n 是正偶数,且已知 fn(1)=n2,fn(-1)=n。 ⑴求数列{an}的通项公式; ⑵证明

5 1 ? f n ( ) ? 3(n ? 3). 4 2

19. 某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车。 有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车, 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%,试问: ⑴该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车? ⑵到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

1 ? 3

20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈N*,都有 Sn=2an-3n . ⑴求数列{an}的首项 a1 与递推关系式:an+1=f(an); ⑵先阅读下面定理: “若数列{an}有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数,且 A≠1,B ≠0,则数列 {a n ?

B } 是以 A 为公比的等比数列。 ”请你在⑴的基础上应用本定理,求数 1? A

列{an}的通项公式; ⑶求数列{an}的前 n 项和 Sn .

21.某地区位于沙漠边缘地带,到 2004 年底该地区的绿化率只有 30%,计划从 2005 年开始 加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的 16% ,将被植树改造为绿洲,但同时原有 绿洲面积的 4%还会被沙漠化。 ⑴设该地区的面积为 1,2002 年绿洲面积为 a1 ? 年绿洲面积为 an?1 , 求证: a n ?1 ?

3 ,经过一年绿洲面积为 a2 ??经过 n 10

4 4 an ? ; 5 25

⑵求证: {a n ?1 ? } 是等比数列; ⑶问至少需要经过多少年努力,才能使该地区的绿洲面积超过 60%?(取 lg 2 ? 0.3)

4 5

22.已知点 Pn(an,bn)都在直线 L:y=2x+2 上,P1 为直线 L 与 x 轴的交点,数列{an}成等差数 * 列,公差为 1(n∈N )。 ⑴求数列{an},{bn}的通项公式; ⑵若 f(n)= ?

?a n (n为奇数) ?bn (n为偶数)

,问是否存在 k∈N ,使得 f(k+5)=2f(k)-2 成立?若存在,求



出 k 的值,若不存在,说明理由; ⑶求证:

1 1 1 2 * N )。 ? ??? ? (n≥2,n∈ 2 2 2 5 | P1 P2 | | P1 P3 | | P1 Pn |

高三单元试题之四:三角函数
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,周期为 1 的奇函数是 ( ) A. y ? 1 ? 2 sin 2 ?x B. y ? sin (2?x ? 2.ω 是正实数,函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 [ ? A. 0 ? ? ?

?
3

) C. y ? tan

?
2

x

D. y ? sin ?x cos ?x ( )

? ?

3 2

B. 0 ? ? ? 2

, ] 上是增函数,那么 3 4 24 C. 0 ? ? ? D. ? ? 2 7

3.对于函数 f ( x) ? ?

?sin x, sin x ? cos x , 则下列正确的是 ?cos x, sin x ? cos x





A.该函数的值域是[-1,1] B.当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取得最大值 1 3? (k ? Z )时f ( x) ? 0 2
( B.第三象限角 D.第二或第三象限角 ( D. (0,1] ( ) ) )

C.当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 4.若 sin 2? ? 且 cos ? ? 0 ,则α 是 A.第二象限角 C.第一或第三象限角 5.函数 f ( x) ?

D.该函数是以π 为最小正周期的周期函数

1 1 ? cos 2 x ? 3? ? ( ?x? ) 的值域是 2 2 2 2 1 ? tan x
B. (0,2) C. (0,2]

A.[-2,2] 6.函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ?

?
4

5? ) 的图象的一条对称轴方程是 2
B. x ? ?

?

2

C. x ?

?
8

D. x ?

7.函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos x ? 3(?? ? x ? ? A.最大值 3,最小值 2 C.最大值 5,最小值 2 8.若 A ? B ?

?
2

5? 4
( )

)有 15 8

B.最大值 5,最小值 3 D.最大值 3,最小值

2? , 则 cos 2 A ? cos 2 B 的值的范围是 3





A. [ 0 , ] 9.要使函数 y ? 5 cos(

1 2

B. [ , ]

2k ? 1 ? 5 ?x ? )( k ? N )的值 在区间[ a, a ? 3 ] (a ? R) 上出现的次数 3 6 4
( D.2 或 3 ( ) )

1 3 2 2

C. [ ,1]

1 2

D.[0,1]

不少于 4 次,不多于 8 次,则 k 的值是 A.2 B.3 C.4 或 5 10.

? ? a ?1 是第四象限角, cos ? 则 sin ? 的值是 2 2 a
2 a ?1 a
B. ?

A.

2 a ?1 a

C.

2 ? a ?1 a

D. ?

2 ? a ?1 a

11.函数 f(x)=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|是 A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为π 的奇函数 12.将函数 y=sin(2x+

( ) B.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为π 的偶函数

? ? )(x∈R)的图象上所有点向右平移 个单位(纵坐标不变),则所得到 3 6
( B.y=cos2x C.y=sin(2x+ )

的图象的解析式是 A.y=-cos2x

5? ? ) D.y=sin(2x- ) 6 6


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.函数 y ? sin x cos( x ? 14.若 x ?

?
4

) ? cos x sin( x ?

?
4

) 的最小正周期 T=

是方程 2 cos( x ? ? ) ? 1的解, 其中 ? ? (0,2? ), 则? ? . 3 15.计算 csc 10? ? csc 130 ? ? csc 250 ? ,所得数值等于 _。 2 1 2 16.函数 y=sin x+2cosx 在区间 [? ? , ? ] 上的最小值为 ? ,则 ? 的取值范围是 3 4
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 tan(

?



?

? ) ? 2,? 为锐角,求 cos( ? ? ) 的值。 4 2 3

?

?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f 1 ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 如图所示: ⑴求此函数的解析式 f 1 ( x ) ;

?
2

) 的部分图象

⑵与 f 1 ( x ) 的图象关于 x=8 对称的函数解析式 f 2 ( x);求F ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 单增区间. y

2
x

? 2

19. (本小题满分 12 分)设 f ( x) ?

1 a ? cos 2 x ? a sin x ? (0 ? x ? ) 2 4 2

⑴用 a 表示 f ( x) 的最大值 M (a) ; ⑵当 M (a) ? 2 时,求 a 的值。

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ? 3 , 且f (0) ? 3 , f (? ) ? 1 . 2 2 4 2 ⑴求 f(x)的最小正周期; ⑵求 f(x)的单调递减区间; ⑶函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数?

21. (本小题满分 12 分)已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若

cos 2 (

?
2

? A) ? cos A ?

5 , b ? c ? 3a, 求 A、B、C 的大小。 4

22. (本小题满分 14 分) 设 a,b 为常数, M ? { f ( x) | f ( x) ? a cos x ? b sin x}; F :把平面上任意一点(a,b)映射为 函数 a cos x ? b sin x. (1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数; (2)证明:当 f 0 ( x) ? M时, f1 ( x) ? f 0 ( x ? t ) ? M ,这里 t 为常数; (3)对于属于 M 的一个固定值 f 0 ( x) ,得 M 1 ? { f 0 ( x ? t ), t ? R} ,在映射 F 的作用下, M1 作为象,求其原象,并说明它是什么图象.

高三单元试题之五:平面向量
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的关系为是 A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 ( ) B. P 在△ABC 外部 D. P 在△ABC 的 AC 边的一个三等分点上

2.已知向量 OP ? (1,1),OP 1 ? (4,?4) ,且 P2 点分有向线段 PP 2 的 1 所成的比为-2,则 OP 坐标是 A.( ? ( )

5 3 5 3 , ) B.( ,? ) C. (7,-9) D. (9,-7) 2 2 2 2 ? ? ? ? 3 . 设 i , j 分 别 是 x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , OP ? 3 cos?i ? 3sin ?j , ? ? ? ? (0, ), OQ ? ?i 。若用?来表示 OP 与 OQ 的夹角,则?等于 2 ?? D. ? ? ? 2 2 4.若向量 a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),则 a 与 b 一定满足 A.a 与 b 的夹角等于?-? B.(a+b)⊥(a-b) C.a∥b D.a⊥b
A. ? B. C. ( )

?

??

?





5.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0, 则△ ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 ( C.等腰直角三角形 D.等边三角形 ) )

6.设非零向量 a 与 b 的方向相反,那么下面给出的命题中,正确的个数是 ( (1)a+b=0 (2)a-b 的方向与 a 的方向一致 (3)a+b 的方向与 a 的方向一致 (4)若 a+b 的方向与 b 一致,则|a|<|b| A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为 45° ,则以 a=5p+2q,b=p-3q 为邻边的平行四边 形过 a、b 起点的对角线长为 A.14 8.下列命题中: ① a ∥ b ? 存在唯一的实数 ? ? R ,使得 b ? ? a ; ② e 为单位向量,且 a ∥ e ,则 a =±| a |? e ;③ | a ? a ? a |?| a |3 ; B. 15 C.15 D.16 ( )

④ a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;⑤若 a ? b ? b ? c且b ? 0, 则a ? c 其中正确命题的序号是 A.①⑤ B.②③④ ( C.②③ D.①④⑤ ( ) )

9.在△ABC 中,已知 | AB |? 4, | AC |? 1, S ?ABC ? A.-2 B.2

3, 则AB ? AC 的值为
D.±2

C.±4

10.已知,A(2,3) ,B(-4,5) ,则与 AB 共线的单位向量是 A. e ? ( ?





3 10 10 , ) 10 10

B. e ? ( ?

3 10 10 3 10 10 , )或( ,? ) 10 10 10 10

C. e ? (?6,2) 11.设点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为 A. ?

D. e ? (?6,2)或(6,2)

3 7

B. ?

7 4

3 ,则点 P1 分 P2 P 所成的比为 4 7 4 C. ? D. ? 3 7





12.已知 a ? (1,2),b ? (?3,2), k a ? b与a ? 3b 垂直时 k 值为





A.17 B.18 C.19 D.20 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. ) 13.已知向量 a, b 的夹角为

? , | a |? 2, | b |? 1, 则 | a ? b | ? | a ? b |? 3
?
?
6



14.把一个函数图像按向量 a ? ( ,?2) 平移后,得到的图象的表达式为 y ? sin( x ?

3

)?2,

则原函数的解析式为 15.在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,则 tan



A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 2 2 2 2
2



16.已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y =-4x 运动,则使 AP ? BP 取得最小值的 点 P 的坐标是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应有证明过程或演算步骤) 17. (本题 12 分)已知△ABC 中,∠C=120° ,c=7,a+b=8,求 cos(A ? B) 的值。

18. (本题 12 分)设向量 OA ? (3,1),OB ? (?1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行 于 OA ,试求 OD ? OA ? OC 时, OD 的坐标.

19. (本题 12 分) 已知 M=(1+cos2x, 1), N=(1, 3 sin2x+a)(x, a∈R, a 是常数), 且 y= OM · ON (O 是坐标原点)⑴求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); ⑵若 x∈[0,

? ? ],f(x)的最大值为 4,求 a 的值,并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ )的图 2 6

象经过怎样的变换而得到.

20. (本题 12 分) 已知 A (-1, 0) , B (1, 0) 两点, C 点在直线 2 x ? 3 ? 0 上, 且 AC ? AB, CA ? CB ,

BA ? BC 成等差数列,记θ 为 CA与CB 的夹角,求 tanθ .

21. (本题 12 分)已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ . 2

22. (本题 14 分)已知向量 a ? (cos ⑴ a ? b及 | a ? b | ;

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ], 求 2 2 2 2 2

⑵(理科做)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? (文科做)求函数 f ( x) ? a ? b? | a ? b | 的最小值。

3 , 求?的值; 2

高三单元试题之六:不等式
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.关于 x 的不等式|x-1|>m 的解集为 R 的充要条件是 A.m<0 B.m≤-1 C.m≤0 2.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是 A.ab<b <1
2

( D.m≤1 (
2 2

) )

B.a <ab<1

2

C.2 <2 <2

b

a

D. log 1 b ? log 1 a ? 0

2 ? ?x ?1 ? 0 3.不等式组 ? 2 的解集是 ? ? x ? 3x ? 0

( C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<3}



A.{x|-1<x<1}

B.{x|0<x<3}

4.设 α,β,γ 均为锐角,且 sin ? ? A.α<γ<β
2

1 , 3

tan ? ? 2 ,
C.β<α<γ

cos ? ?

B.α<β<γ

3 ,则 4 D.γ<α<β





5.已知函数 f(x)= ? A.(-2,2) C.(-1,1) 6. “a>1”是“

? ?? x ? x( x ? 0) ,则不等式 f(x)+2>0 的解区间是 2 ? ?? x ? x( x ? 0)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)





1 ? 1 ”的 a
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (





A.充分不必要条件 C.充要条件 A.|a+b|≥1 B.b<-1
2

7.若 a,b∈R,则使|a|+|b|>1 成立的充分不必要条件是 C.|a|≥1



1 1 D. | a |? 且 | b |? 2 2

8. 已知 a, b ? R ? , m, n ? R, 的大小关系是 A.M>N 9. 若 p?a?

m 2 n ? a 2 m 2 ? b 2 n 2 ,设 M= m 2 ? n 2 , N ? a ? b, 则 M 与 N
( ) C.M=N D.不能确定 ( )

B.M<N

1 则下列不等式恒成立的是 ? 2 ( a ? 0 ) ,q ? arccos t ( ? 1 ? t ? 1 ) , a A. p ? q ? 0 B. p ? ? ? q C. 4 ? p ? q D. p ? q ? 0

10.某纯净水制造厂在净化水过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质 20%,要使水中杂质 减少到原来的 5%以下, 则至少需过滤的次数为 (参考数据 lg2=0.3010,lg3=0.4771) ( ) A. 5 B. 10 C. 14 D. 15 11.2 x 2—5 x —3<0 成立的一个必要不充分条件是 ( )

1 1 1 ? x?3 B.— ? x ? 0 C.— 3 ? x ? D.— 1 ? x ? 6 2 2 2 1 1 12. 若 a>b, 在① ? ; ②a3>b3; ③l g ( a 2 ? 1) ? l g ( b 2 ? 1) ;④ 2 a ? 2 b 中,正确的有( a b
A.—

)

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.已知点 A(5,0) 、B(5,4) 、C(0,4) ,P 是线段 BC 上的点,Q 是线段 AB 上的点, 且∠POQ=45°,O 为原点,则点 P 横坐标活动的范围是______。 1 3 1 1 5 1 1 1 7 14.观察下列式子: 1 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? ,则可以猜想的 2 3 4 2 2 3 2 3 4 结论为:_______ . 15.不等式 x ? 1 ?

x ? 3 的解集是_______.

16.已知 a,b 均为实数,给出下列四个论断: ①|a+b|=|a|+|b|;②|a-b|≤|a+b|;③ | a |? 2 2 , | b |? 2 2 ;④|a+b|>5。 以其中两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出一个正确的命题 。 (用 序号填写即可) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)若函数 f(x)=logax(其中 a>0 且 a≠1)在 x∈[2,+∞)上总有|f(x)|>1 成 立,求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分)已知实数 p 满足不等式 有无实根,并给出证明.

2x ? 1 ? 0 ,试判断方程 z 2 ? 2 z ? 5 ? p 2 ? 0 x?2

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ( 1 ) 已 知 a , b 是 正 常 数 , a ? b , x, y ? (0, ??) , 求 证 :

a 2 b2 (a ? b)2 ,指出等号成立的条件; ? ? x y x? y
(2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ? 时 x 的值.

2 9 1 ? ( x ? (0, ) )的最小值,指出取最小值 x 1? 2x 2

20. (本小题满分 12 分)已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0 解集,且 M 中的一个元素是 0,求实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集.

21. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为正且 f(2-x)=f(2+x). (理科)求不等式 f(2-2ax2)<f(-ax2+2ax-a+2)的解集(a≠0). (文科)求不等式 f (2 ?

1 2 x ) ? f (? x 2 ? 6 x ? 7) 的解集. 2

22. (本小题满分 14 分)已知条件 p:|5x-1|>a 和条件 q :

1 ? 0 ,请选取适当的 2 x ? 3x ? 1
2

实数 a 的值,分别利用所给的两个条件作为 A、B 构造命题: “若 A 则 B” ,并使得构造的原 命题为真命题,而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命 题是符合要求的命题.

高三单元试题之七:直线和圆的方程
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 10. 设集合 M={直线}, P={圆}, 则集合 M∩P 中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.0 或 1 或 2 11. 直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. [0, ? )

12. 的方程是( )

? ? ? 3 ] ? ( , ? ) C. [0, ] D. [0, ] ? [ ? , ? ) 4 2 4 4 4 过点 M(2,1)的直线与 x 轴交于 P 点,与 y 轴交于 Q 点,且|MP|=|MQ|,则此直线
B. [0, B.2x-y-3=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0

?

A.x-2y+3=0 13.

已知点 A (6, -4) , B (1, 2) 、 C (x,y) ,O 为坐标原点。 若 OC ? OA ? OB

(? ?R),

则点 C 的轨迹方程是( ) A.2x-y+16=0 B.2x-y-16=0 C.x-y+10=0 D.x-y-10=0 14. 设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点,以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰 Rt△OPQ,则动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线 15. 已知实数 x、y 满足 x2+y2=4,则

2 xy 的最小值为( ) x? y?2
C. 2 ? 2 2 D. ? 2 ? 2 2

A. 2 ? 2 2

B. 2 2 ? 2

16. 若点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为( ) A.5 B.-5 C.4 D.-4 8.不等式组 ? A.矩形

?( x ? y ? 5)(x ? y) ? 0 表示的平面区域是 ?0 ? x ? 3
B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形





9.4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于 22 元 ,而 6 个茶杯与 3 包茶叶的价格之和大于 24 元,则 2 个茶杯与 3 包茶叶的价格比较 A. 2 个茶杯贵 B.3 包茶叶贵 C.二者相同 10.直线 l 的倾斜角是α ,则 sin( A. [?1, ( D.无法确定 ) )

?
4

? ? ) 的取值范围是(
C. ( ?1,

2 ] 2

B. ( ?

2 2 , ] 2 2

2 ) 2

D. [

2 ,1] 2

11.直线 ax+by+b-a=0 与圆 x2+y2-x-2=0 的位置关系是 A.相离 B.相交 C.相切

( D.与 a,b 的取值有关



12.在圆 x2+y2=5x 内,过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项 a1, ( )

5 3 2 2 1 1 最大弦长为 an,若公差 d ? [ , ] ,那么 n 的取值集合为 6 3

A.{4,5,6,7} B.{4,5,6} C.{3,4,5,6} D. {3,4,5} 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.圆心在直线 2x+y=0 上,且与直线 x+y-1=0 切于点(2,-1)的圆的方程是 14. 将直线 y=- 3 x+2 3 绕点 (2, 0) 按顺时针方向旋转 30°所得直线方程是 15.在坐标平面内,由不等式组 ? 。 。

? y ? ? | x | ?1 所确定的平面区域的面积为 ? y ? ?2 | x | ?3



16.已知定点 P(2,1) ,分别在 y=x 及 x 轴上各取一点 B 与 C,使 ? BPC 的周长最小,最小 值为__________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.某工厂的一个车间生产某种产品,其成本为每公斤 27 元,售价为每公斤 50 元。在生产产 品的同时,每公斤产品产生出 0.3 立方米的污水,污水有两种排放方式:其一是输送到污水处理 厂,经处理(假设污水处理率为 85%)后排入河流;其二是直接排入河流.若污水处理厂每小时最大 处理能力是 0.9 立方米污水,处理成本是每立方米污水 5 元;环保部门对排入河流的污水收费标 准是每立方米污水 17.6 元,根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是 0.225 立 方米.试问:该车间应选择怎样的生产与排污方案,才能使其净收益最大.

18.圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,过坐标原点作长为 8 的弦,求弦所在的直线方程。

19.已知定点 A(0,1),B(0,-1),C(1,0)。动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 。 ⑴求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; ⑵当 k ? 2时, 求 | 2 AP ? BP | 的最大值和最小值。

20.已知圆 M:2x2+2y2-8x-8y-1=0 和直线 l:x+y-9=0 过直线 上一点 A 作△ABC,使 ∠BAC=45°,AB 过圆心 M,且 B,C 在圆 M 上。 ⑴当 A 的横坐标为 4 时,求直线 AC 的方程; ⑵求点 A 的横坐标的取值范围。

21.如图,已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, ⑴如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3
A

y
M P B

⑵求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

O

Q

x

22.某建筑物内一个水平直角型过道如图所示,两过道的宽度均为 3 米,有一个水平截面为矩 形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为 1 米,长为 7 米. 问:该设 备能否水平移进拐角过道?

3 D A O M C B 3

高三单元试题之八:圆锥曲线方程
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A.2 B.

1 2

C.

3 2

D.

5 2

2.⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则动圆圆心 轨迹是( ) A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支 3.双曲线 tx2-y2-1=0 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则双曲线的离心率为( A. 5 B. )

5 2

C.

3 2

D. 3

4.P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M, 则点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 5.若抛物线 y2=2px(p>0)与抛物线 y2=2q(x-h)(q>0)有公共焦点,则( ) A.2h=p-q B.2h=p+q C.2h=-p-q D.2h=q-p 6. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a,b>0)两焦点为 F1、 、F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点, a2 b2
( )

过焦点 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则 P 点轨迹是 A.椭圆的一部分; B.双曲线的一部分; C.抛物线的一部分; D.圆的一部分

x2 y2 ? ? 1所表示的曲线为( ) 7.方程 2 sin ? ? 3 sin ? ? 2
A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 8.我国发射的“神舟四号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭圆,近地 点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面为 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行轨道的 短轴长为( ) A. 2 (m ? R)(n ? R)千米 C.mn 千米 B. (m ? R)(n ? R)千米 D.2mn 千米

x2 y2 1? 5 9.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的离心率 e ? ,点 A 与 F 分别是双曲线的左顶 a b 2
点和右焦点,B(0,b) ,则∠ABF 等于( )

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

10.设 F1,F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,当△F1PF2 的面积为 1 时, 4
)

PF1 PF2 的值为(
A.2

1 D.0 2 11.设 a,b∈R,ab≠0,则直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的大致图形是 ( y y y y x x x x
B.1 C. O A 12.下列命题正确的是( )

)

x

O B

x

O C

x

O D

x

①动点 M 至两定点 A、B 的距离之比为常数 ? (? ? 0且? ? 1) .则动点 M 的轨迹是圆。
2 2 ②椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? 2 , 则b ? c(c 为半焦距) 。 2 2 2 a b

③双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离为 b。 a2 b2

④已知抛物线 y2=2px 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)且 OA⊥OB(O 为原点),则 y1y2=-p2。 A.②③④ B.①④ C.①②③ D.①③ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13. 已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px (p>0) 的准线相切, 则抛物线的焦点坐标是 。 14.已知椭圆 3x2+4y2=12 上一点 P 与左焦点的距离为

5 ,则点 P 到右准线的距离为 2



15.以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是 16 9



16.若平移椭圆 4(x+3)2+9y2=36,使平移后的椭圆中心在第一象限,且它与 x 轴、y 轴分别只 有一个交点,则平移后的椭圆方程是 ______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.在△ABC 中,顶点 A、B、C 所对三边分别为 a、b、c,B(-1,0) ,C(1,0)且 b、a、 c 成等差数列,求顶点 A 的轨迹方程。

18.如图,椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的左右顶点分别为 A、B,P 为双曲线 C 2 : ? ? 1 右支 4 3 4 3

上( x 轴上方)一点,连 AP 交 C1 于 C,连 PB 并延长交 C1 于 D,且△ACD 与△PCD 的 面积相等,求直线 PD 的斜率及直线 CD 的倾斜角.

19. 已知椭圆 C 的方程为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 的两条渐近线为 l1. ( a > b > 0 ) , 双曲线 l2, a2 b2 a2 b2

过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l,使 l⊥l1,又 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两交点从左 到右依次为 B、A(如图 2-3) ,求

| PB | 的最大值及取得最大值时椭圆 C 的离心率 e 的值。 | PA | P y l1
A N F

o l2
B

x
M

图 2-3

20.(本小题满分 12 分)已知 AB 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一条弦,M(2,1)是 AB a2 b2

的中点,以 M 为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线 AB 交于 N(4,-1) ⑴设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1和e2 , 当e1 ? e2 ? 1时,求椭圆的方程. ⑵求椭圆长轴长的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)如图,定直线 l 是半径为 3 的定圆 F 的切线,P 为平面上一动点,作 l PQ⊥l 于 Q,若|PQ|=2|PF|. ⑴点 P 在怎样的曲线上?并求出该曲线 E 的标准方程; Q P ⑵过圆心 F 作直线交曲线 E 于 A、B 两点,若曲线 E 的 中心为 O,且 AO ? 3OF ? 2OB , 求点 A、B 的坐标. F

22.如图,已知线段|AB|=4,动圆 O′与线段 AB 切于点 C,且|AC|-|BC|=2 2 ,过点 A, B 分别作⊙O′的切线,两切线相交于 P,且 P、O′均在 AB 的同侧. ⑴建立适当坐标系,当 O′位置变化时,求动点 P 的轨迹 E 的方程; ⑵过点 B 作直线 l 交曲线 E 于点 M、N,求△AMN 的面积的最小值. O′ C B P

A

高三单元试题之九:直线平面简单几何体
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 m、l 是直线,α、β 是平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内的所有直线 B.若 m ? α,l ? β,且 m∥l,则 α∥β C.若 m ? α,l ? β,且 m⊥l,则 α⊥β D.若 m ? β,m⊥α,则 α⊥β 2.正三棱锥 P—ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,PA=PB=PC=a,AB 的中点 M,一小 虫沿锥体侧面由 M 爬到 C 点,最短路段是 ( ) A.

10 a 2

B.

3 a 2

C.

1 (2 ? 2a) 2

D.

1 (1 ? 5 )a 2

P 3.下列命题中正确的是 ( ) N A.过平面外一点作此平面的垂面是唯一的 M B.过直线外一点作此直线的垂线是唯一的 A C C.过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的 D.过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的 B 4.如图,在正三棱锥 P—ABC 中,M、N 分别是侧棱 PB、PC 的中点,若截面 AMN⊥侧面 PBC,则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 ( ) A.

3 2

B.

5 2

C. 2 N

D.

6 3
M

5.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中 D ⑴BM 与 ED 平行 ⑵CN 与 BE 是异面直线 ⑶CN 与 BM 成 60? ⑷DN 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A E A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷ 6. 如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1B 与平面 BB1D1D 所成的角的大小是 ( ) A.90° B.30° C.45° D.60°

C

B D1 F A1 D B1 C C1

A B 7.三棱锥 A—BCD 的高 AH = 3 3a ,H 是底面△BCD 的重心。若 AB=AC,二面角 A—BC —D 为 60°,G 是△ABC 的重心,则 HG 的长为 A. 5a B. 6a C. 7 a D. 10a ( )

8.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=12,BC=6,AA1=5,分别过 BC 和 A1D1 的两个平行 平面把长方体分成体积相等的三部分,则平行平面与底面 ABCD 所成角的大小为( )

A. arctan

8 5

B. arctan

5 8

C. arctan

6 5

D. arctan

4 5

9.棱长为 a 的正四面体中,高为 H,斜高为 h,相对棱间的距离为 d,则 a、H、h、d 的大 小关系正确的是 ( ) A.a>H>h>d B.a>d>h>H C.a>h>d>H D.a>h>H>d 10.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 A.75° B.60° C.45° D.30° 11. 球面上三点中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 则球的体积为 A. 3? B. 8 3? C. 4 3? D. ( )

1 , 若经过这三点的小圆面积为 2 ? 4
( )

3 ? 2

12.已知?-l-?是大小确定的一个二面角,若 a,b 是空间两条直线,则能使 a,b 所成的角为 定值的一个条件是 ( ) A.a⊥?且 b⊥? B.a∥ ?且 b⊥? C.a⊥?且 b∥? D.a∥?且 b∥? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面相内切,第二球与正方体各条棱相切, 第三个球过正方体各顶点,则这三个球的面积之比为________。 14.将正方形 ABCD 沿着对角线 BD 折成一个四面体 ABCD,在下列给出的四个角度中, ①30° ②60° ③90° ④120°,不可能是 AC 与平面 BCD 所成的角是 . (把 你认为正确的序号都填上) A 15.将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成 120°的二面角,已知直角边 B . AB ? 4 3, AC ? 4 6 ,那么二面角 A—BC—D 的正切值为 C 16.右图为一正方体,A、B、C 分别为所在边的中点,过 A、B、C 三点 的平面与此正方体表面相截,则其截痕的形状是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)如图,将一副三角板拼接,使它们有公共边 BC,且使两个三角形所 在的平面互相垂直,若∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6。 A ⑴求证:平面 ABD ? 平面 ACD; ⑵求二面角 A ? CD ? B 的平面角的正切值; ⑶设过直线 AD 且与 BC 平行的平面为 ? ,求点 B 到平面 ? 的距离。 C D B

18. (本小题满分 12 分)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长和底面边长都等于 2,D 是 BC 上 一点,且 AD⊥BC. C1 A1 ⑴求证:A1B∥平面 ADC1; B1 ⑵求截面 ADC1 与侧面 ACC1A1 所成的二面角 D—AC1—C 的大小.

A D B

C

19. (本小题满分 12 分)如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面 ? 内作菱形 ABCD,其边长为 1,∠BAD=60°,再在平面 ? 的上侧,分别以△ABD 与△CBD 为底面安装上相同的正三棱锥 P-ABD 与 Q-CBD,∠APB=90° 。 P Q ⑴求证:PQ⊥BD; D ⑵求二面角 P-BD-Q 的大小; ⑶求点 P 到平面 QBD 的距离。 C

A B

20. (本小题满分 12 分)梯形 BCDQ 中,BC∥QD,BC=1,QD=4,过 B 点的高 AB=1,且 A 点平分 QD,将△QBA 沿 AB 折起,记折起后点 Q 的位置为 P,且使平面 PAB⊥平面 ABCD ⑴求证:平面 PCD⊥平面 PAC; ⑵求直线 AD 与平面 PCD 所成角的正弦值; ⑶求二面角 A—PD—C 的正弦值. B C B C

Q

A (a)

D P(Q)

A (b)

D

21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 已 知 三 棱 锥 S — ABC 的 三 条 侧 棱 长 均 为 10 , 若

?B S C? ? , ?CS A? ? , ?A S B? ? 且 sin 2
⑴求证:平面 SAB⊥平面 ABC; ⑵求:三棱锥 S—ABC 的体积.

?
2

? sin 2

?
2

? sin 2
S

?
2

.

C A

B

22. (本小题满分 14 分) 如图,异面直线 AC 与 BD 的公垂线段 AB=4,又 AC=2,BD=3,CD=4 2 . ⑴求二面角 C—AB—D 的大小; ⑵求点 C 到平面 ABD 的距离; ⑶求异面直线 AB 与 CD 间的距离。 B D

A C

高三单元试题之十:空间向量
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 ? a, A1 D1 ? b ,

A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是
1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. ?


D A D1 A1 B1 M B C1 C



1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B.

2.化简(-3,4,1)· [2(5,-2,3)+3(-3,1,0)]· (2,-1,4)的结果是 ( A.(-4,2,8) B.(2,-1,4) C.(-2,1,-4) D.(4,-2,8) 3.设 OA =a, OB =b, OC =c,则使 A、B、C 三点共线的条件是 A.c=a+b, B.c= (





1 1 a+ b C.c=3a-4b D.c=4a-3b 2 3 2 4.若点 A(x +4,4-y,1+2z)关于 y 轴的对称点是 B(-4x,9,7-z),则 x,y,z 的值
依次为 A.1,-4,9 B.2,-5,-8 C.2,5,8 ( D.-2,-5,8 )

5.若 OA 、 OB 、 OC 三个单位向量两两之间夹角为 60°,则| OA + OB + OC |= ( A.6 B. 6 C .3 D. 3



6.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点,则直线 ED 与 D1F 所成角 的大小是 ( )

? ? D. 3 6 7.设 a、b 是平面?内的两个非零向量,则 n· a=0,n· b=0 是 n 为平面?的法向量的(
A. arccos

1 5

B. arccos

1 3

C.

) )

A.充分条件

B.充要条件

C.必要条件

D.既非充分又非必要条件 (

8.已知 a=(2,2,1),b=(4,5,3),而 n· a=n· b=0,且|n|=1,则 n= A.(

1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 , ,- ) B.( ,- , ) C.(- , ,- )D.±( ,- , ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

9.设 A、B、C、D 是空间任意四个点,令 u= AD ? BC ,v= AB ? CD ,w= AC ? BD , 则 u、v、w 三个向量 ( ) A.互不相等 B.至多有两个相等 C.至少有两个相等 D.有且只有两个相等 10.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折成互相垂直 的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

① BD ? AC ? 0 ;

A

A

②∠BAC=60°; ③三棱锥 D—ABC 是正三棱锥; B C D ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是 A.①② B.②③ C.③④

D B C ( D.①④ )

11.若 a、b、c 是空间的一个基底,下列各组 ①la、mb、nc(lmn≠0); ②a+2b、2b+3c、3a-9c; ③a+2b、b+2c、c+2a; ④a+3b、3b+2c、-2a+4c 中,仍能构成空间基底的是 A.①② B.②③ C.①③ D.②④





12.在空间直角坐标系 O—xyz 中,有一个平面多边形,它在 xOy 平面的正射影的面积为 8, 在 yOz 平面和 zOx 平面的正射影的面积都为 6,则这个多边形的面积为 ( ) A. 46 B.2 46 C. 34 D.2 34

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. ) 13. 若 A(-1, 2, 3)、 B(2, -4, 1)、 C(x, -1, -3)是直角三角形的三个顶点, 则 x= . 14.若 a=(3x,-5,4)与 b=(x,2x,-2)之间夹角为钝角,则 x 的取值范围为 . 15.设向量 a=(1,-2,2),b=(-3,x,4),已知 a 在 b 上的射影是 1,则 x= . 16.设 A(1,2,-1),B(0,3,1),C(-2,1,2)是平行四边形的三个顶点,则此平行四边形 的面积为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应有证明过程或演算步骤) 17. (本题 12 分)在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,BC=CD,∠BCD=90° ,∠ADB=30° , E,F 分别是 AC,AD 的中点。 ⑴求证:平面 BEF⊥平面 ABC; ⑵求平面 BEF 和平面 BCD 所成的角.

18. (本题 12 分)已知正三棱柱 ABC—A1B1C1,底面边长 AB=2,AB1⊥BC1,点 O、O1 分别 是边 AC,A1C1 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. z A1 O1 C1 ⑴求正三棱柱的侧棱长. ⑵若 M 为 BC1 的中点,试用基向量 AA 1 、 AB 、 AC 表示向量 AM ; ⑶求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值.. A B1 O

C y

x

B

19. (本题 12 分)如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长 AB=2,侧棱 BB1 的 D1 长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于点 F. C1 ⑴求证:A1C⊥平面 BED; ⑵求 A1B 与平面 BDE 所成的角的正弦值. A1 B1

E F D A B C

20. (本题 12 分) .在 60°的二面角的棱上,有 A、B 两点,线段 AC、BD 分别在二面角的两 个面内,且都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8. ⑴求 CD 的长度; ⑵求 CD 与平面 ? 所成的角

21. (本题 12 分)棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中,E、F 分别为棱 AB、BC 上的动 点,且 AE=BF=x(0≤x≤a).以 O 为原点,直线 OA、OC、OO1 分别为 x、y、z 轴建立空间 直角坐标系,如图. z C1 O1 ⑴求证:A1F⊥C1E; B1 A1 ⑵当△BEF 的面积取得最大值时,求二面角 B —EF—B 的大小.
1

O A

C E B F

y

x

? ,OC=2,OA=AB=1,SO 2 ⊥平面 OABC,SO=1,以 OC、OA、OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系 O-xyz.
22. (本题 14 分)如图直角梯形 OABC 中,∠COA=∠OAB= ⑴求 SC与OB的夹角? 的大小(用反三角函数表示) ; ⑵设 n ? (1, p, q),满足n ? 平面SBC, 求 : ① n 的坐标; ②OA 与平面 SBC 的夹角 ? (用反三角函数表示) ; B ③O 到平面 SBC 的距离. ⑶设 k ? (1, r, s)满足k ? SC 且k ? OB.填写: ① k的坐标为 . .(注:⑶只要求写出答案) C

z
S

O

A

y

x

②异面直线 SC、OB 的距离为

高三单元试题之十一:排列、组合和二项式定理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 (2x ? 3) 4 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 , 则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为( A.1 B.-1 C.0 D.2 )

2.从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲、乙 两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有 A.96 种 B.180 种 C.240 种 D.280 种 ( )

3.五种不同的商品在货架上排成一排,其中 a 、b 两种必须排在一起,而 c、d 两种不能排 在一起,则不同的排法共有 ( ) A.12 种 B.20 种 C.24 种 D.48 种 4.某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织 委员。规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职方案有 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 5.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,7 这六个数字中每次取两个不同的数作为系数 A、B 的值,则方程表示不同直线的条数是 ( ) A.2 B.12 C.22 D.25 6.六个人排成一排,甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有 ( ) A.480 B.720 C.240 D.360 7.a∈{1,2,3},b∈{3,4,5,6,7,8},r∈{1,2,3},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2 所表 示的圆共有 ( ) A.12 个 B.18 个 C.36 个 D. 54 个 8.若(1-2x)5 的展开式中第二项小于第一项,且不小于第三项,则 x 的取值范围是( A.x>- )

1 10

B.x≥-

1 4

C.-

1 ≤x≤0 4

D.-

1 ≤x≤0 10

9.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 ( ) A.34 种 B.35 种 C.120 种 D.140 种 10.将 4 名教师分配到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名,则不同的分配方案共有( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 11. 设 (33 x ?

1 x

) n 的展开式中的各项系数之和为 P, 而它的二项式系数之和为 S。 若 P+S=272,
?2

那么展开式中 x 项的系数是 A.81 B.54 C.—12 D.1





12.从长度分别为 1,2,3,4,5 的五条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种。在这些取 法中,以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m,则 A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

m 等于 n 2 D. 5





二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.多项式(1-2x)6(1+x)4 展开式中,x 最高次项为
2 3 14. C1 2C10 +4C10 + +29C10 10+ 10 的值为_______

,x3 系数为____。 .

15.七个人排成两排,前排 3 个,后排 4 个,若甲必须在前排,乙必须在后排,有____种不同 排法. 16.关于二项式(x-1)2005 有下列命题: ①该二项展开式中非常数项的系数和是 1; ②该二项展开式中第六项为 C6 2005 x
1999



③该二项展开式中系数最大的项是第 1002 项; ④当 x=2006 时,(x-1)2005 除以 2006 的余数是 2005。 其中正确命题的序号是 。 (注:把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)某学习小组有 8 个同学,从男生中选 2 人,女生中选 1 人参加数学、 物理、 化学三种竞赛, 要求每科均有 1 人参加, 共有 180 种不同的选法, 那么该小组中男、 女同学各有多少人?

18. (本小题满分 12 分)某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色 的 A,他有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌,但张数不限,此人有多少种不同的 出牌方法?

19. (本小题满分 12 分)二项式 ( 3 x ? ⑴求常数项; ⑵有几个有理项; ⑶有几个整式项。

2 15 ) 的展开式中: x

m 20. (本小题满分 12 分)规定 Ax ? x( x ?1)

0 = ( x ? m ? 1) ,其中 x∈R,m 为正整数,且 Ax

m 1,这是排列数 An (n,m 是正整数,且 m≤n)的一种推广. 3 ⑴求 A? 15 的值; m m?1 ⑵排列数的两个性质:① An =n An ?1 , m m?1 m ② An +m An = An ?1 .(其中 m,n 是正整数)是否

m 都能推广到 Ax (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不

能,则说明理由;
3 ⑶确定函数 Ax 的单调区间.

21.(本小题满分 12 分)当 n∈N 且 n>1 时,求证 2<(1+

1 n ) <3。 n

22. (本小题满分 14 分) 一个同心圆形花坛, 分为两部分, 中间小圆部分种植草坪和绿色灌木, 周围的圆环分为 n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不 同颜色的花. ⑴如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?如图 2,圆环分成的 4 等份为 a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法? ⑵如图 3,圆环分成的 n 等份为 a1,a2,a3,??,an,有多少不同的种植方法?

高三单元试题之十二:概率和统计
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.从 1.2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各数字之和等 于 9 的概率为 ( ) A.

13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

2.某身射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9。他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相 互之间没有影响。有下列结论:①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93?0.1;③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14。 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 ) 3.如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率直方图, 由图可看出概率最大时数据所在范围是( A. (8.1,8.3) B. (8.2,8.4) C. (8.4,8.5) D. (8.5,8.7) 4.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这中型号的自动 机床各自独立工作,则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概率是 ( ) A.0.1536 B.0.1808 C.0.5632 D.0.9728 5.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点。公司为了 调查产品销售的情况, 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本, 记这项调查为 ①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况, 记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 ( ) ( D.3 )

C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 人数(人) 50 名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时 20 间的数据,结果用右侧的条形图表示 . 根据条形图 15 可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间 10 为 ( ) 5 A.0.6 小时 B.0.9 小时 C.1.0 小时 D.1.5 小时 0 0.5 1.0 1.5 2.0

时间(小时)

7.在线性回归中,点 ( x, y ) 是散点图中 n 个点的





A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 8.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中的一组。已知该组的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则|a-b|等于 ( ) A.mh B.

h m

C.

m h

D.m+h

9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具) 先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( ) 5 A. 216 25 B. 216 31 C. 216 91 D. 216

10.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯炮,这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第 3 次才取得 卡口灯炮的概率为 ( )

3 7 D. 10 120 11.设随机变量?服从正态分布 N(0,1),记?(x)=P(?<x),则下列结论不正确的是
A. B. C.

21 40

7 40

( ) A.?(0)=0.5 B.?(x)=1-?(-x) C.P(|?|<a)=2??(a)-1D.P(|?|>a)=1-??(a) 10 12.若在二项式(x+1) 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 ( ) A.

4 10

B.

4 11

C.

5 11

D.

6 11

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.一个田径队,有男运动员 56 人,女运动员 42 人,比赛后,立即用分层抽样的方法,从全体队员 中抽出一个容量为 28 的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽_____________人. 14.同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ =1 表示结果中有正面向上,ξ =0 表示结果中 没有正面向上,则 Eξ = . 15.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品。产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 。现用分层抽样 方法抽出一个容量为 n 的样本, 样本中 A 种型号产品有 16 件。 那么此样本的容量 n= . 16. (理)从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有ξ 个红球,则随机变 量ξ 的概率分布为 0 1 2 ξ P (文)某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选 出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表示) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)设飞机 A 有两个发动机,飞机 B 有四个发动机,如有半数或半数以 上的发动机没有故障,就能够安全飞行,现设各个发动机发生故障的概率 p 是 t 的函数 p - =1-e λt, 其中 t 为发动机启动后所经历的时间,λ 为正的常数,试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全?(这里不考虑其它故障).

18. (本小题满分 12 分)已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两 组,每组 4 支。求: ⑴A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; ⑵A 组中至少有两支弱队的概率.

19. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机 4 1 2 床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9
零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ⑴分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率; ⑵从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.

20. (本小题满分 12 分)某地区有 5 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择 某一天停电(选哪一天是等可能的)。假定工厂之间的选择互不影响。 ⑴求 5 个工厂均选择星期日停电的概率; ⑵求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。 .

21.(本小题满分 12 分) (理)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ?表示所选 3 人中女生的人数。 ⑴求?的分布列; ⑵求?的数学期望; ⑶求“所选 3 人中女生人数?≤1”的概率。 (文)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛。 ⑴求所选 3 人都是男生的概率; ⑵求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; ⑶求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率。

22. (本小题满分 14 分) (理)一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话.已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5 ,电话 C、D 占线的概率均为 0 .4 ,各部电话是否占线相互之间没 有影响.假设有?部电话占线,试求随机变量?的概率分布和它的期望. (文)6 女,4 男中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率为 0.8,每位男同学能 通过测验的概率为 0.6.试求: ⑴选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; ⑵10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被先选中且通过测验的概率.

高三单元试题之十三:极限
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (理)用数学归纳法证明命题时,此命题左式为 时相比,左边应添加 A.

1 1 1 ? ? ? 2 3 4

?

1 ,则 n=k+1 与 n=k 2 ?1
n





1
k ?1

2 ?1 1 1 1 ? k ? C. k ? k 2 2 ?1 2 ? 2
(文) lim
n ??

?

1 2
k ?1

?1

1 1 1 ? k ? k ?1 k 2 2 ? 1 2 ?1 1 1 D. k ? k ?1 2 2 ?1
B. ( )

(n ? 1)(n ? 2) ? (2n ? 1)(2n ? 1)
B.

A.1

1 2

C.

1 4

D.4

x2 ? x ? 2 ? 2. lim 2 x ?1 x ? 4 x ? 5
A.





1 2

B.1

C.

2 5

D.

1 4
( )

3. lim

x ???

1 ? x ?1 ? x
1 2
2 2

A.

B.1

C.2

D.0 ( )

4. lim ( x ? 1 ? x ? 4 x ) =
x ???

A.2

B.-2

C.1

D.-1

5.已知等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项的和为 Sn,若集合 M={S|S= lim 则 M 等于 A.{0} 6. lim(
x ?1

Sn ,q≠-1}, x ?? S 2n
( )

B.{0,

1 ,1} 2

C.{1,

1 } 2

D.{0,

1 } 2
( )

1 1 ? )? 1 ? x 1 ? x3
B.1 C.0 D.不存在

A.-1

r n ) ] ? 1 ,则 r 的取值范围是 7.若 lim[1 ? ( n ?? 1? r





A.-

1 1 < r< 2 2

B.r>-

8.在等差数列{an}中,a1=

a ?S 1 ,第 10 项开始比 1 大,记 t= lim n 2 n ,则 t 的取值范围是 n ?? n 25
( )

1 2

C.r>

1 2

D.r<-1

4 3 4 3 ?t ? ?t ? D. 75 50 75 50 1 9.已知{an}是无穷等比数列,且 lim( a1 ? a2 ? ? an ) ? ,则首项 a1 的取值范围是( ) n ?? 3 1 1 2 1 1 2 A.(0,1) B.( ,1) C. ( , ) D.(0, )∪( , ) 3 3 3 3 3 3 2 2x ?1 ? ax ? b) ? 2 ,则 b 的值为 10.已知 lim( ( ) x ?? x ?1 A.0 B.4 C.-4 D.不能确定 1 1 1 1 )] ? 11. lim[n(1 ? )(1 ? )(1 ? ) (1 ? ( ) n ?? 3 4 5 n?2 2 A.0 B. C.1 D.2 3 c x?a? x ? b 存在,则常数 c 是 12.若能通过适当选择常数 a、b,使 lim ( ) 2 x ?0 x A.正数 B.零 C.负数 D.不能判断 c 的符号
A.t> B. C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. lim

4 75

8 3 ?t ? 75 25

( x ? 1)97 (2 x ? 1)3 ? ____________. x ?? ( x 2 ? 2)50 n3 ? ____. n?? S (n)

14.在杨辉三角中,斜线 AB 上方一斜行的前 n 个数字和 S(n)=1+3+6+?,则 lim

A 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ?? B ?? 1 .

1

1

a n ? bn ? ?b ,则正常数 a,b 的大小关系是 15.若 lim n ?1 n ?? a ? b n ?1

x?2 ? a, ? 2 16. (理)设 f ( x) ? ? x ? 4 在 R 内每一点处都连续,那么 a= ,x ? 2 ? ? x?2
(文) lim

x ?a 3

a?x ? a?3 x



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) lim

a n ? pb n ? c ? ?5 (1<a<b,c 及 p 为常数),求 p 的值。 n ??? a n ?1 ? 3b n ? c 2

2n 2 px ? q ? pn) ? q ,且 f ( x) ? 2 18. (本小题满分 12 分) lim ( ,求出实数 p,q 的值,并 n ??? n ? 2 x ?q
求 lim f ( x ) 。
x?2

? a sin x ? b, x ? 0 ? x ? 0 ,当 a,b 取值何值时, lim f ( x ) 19. (本小题满分 12 分)(理)已知 f ( x ) ? ?0, x?0 ?cos x, x ? 0 ?
存在,其值为多少。 (文)计算: lim

1 ? an (a≠-1)。 n ??? 1 ? a n

20. (本小题满分 12 分)已知递增等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28 且 a3+2 是 a2 和 a4 的等差 中项, ⑴求数列{an}的通项公式; ⑵若 bn ?

1 ,Sn=b1+b2+?+bn,求 lim S n . n ??? log 2 an log 2 (4an )

21.(本小题满分 12 分) 已知 lim
x ?0

1 ? x ? (1 ? ax ? bx 2 ) ? c ,求 a,b,c 的值。 x3

1 ? f1 ( x), x ? [0, ) ? 1 2 ? 2 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= ? , 其中 f1(x)=-2(x- ) +1, f2(x) 2 ? f ( x), x ? [ 1 ,1) 2 ? ? 2
1 =-2x+2,设 y=f2(x),x∈[ ,1)的反函数为 y=g(x),a1=1,a2=g(a1),?,an=g(an-1), 2
求数列{an}的通项公式及 lim an 。
n ???

高三单元试题之十四:导数及其应用
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 y 一项是符合题目要求的. P 1.(理)质点 P 在半径为 r 的圆周上逆时针作匀角速运动,角速度为 1rad/s. 设 A 为起点, 那么在 t 时刻, 点 P 在 x 轴上射影点 M 的速度为 ( ) O M A x A.rsint B.-rsint C.rcost D.-rcost (文)满足 f(x)=f ′(x)的函数是 A.f(x)=1-x B.f(x)=x C.f(x)=0 D.f(x)=1 ( )

2.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 y=f ?(x)可能为( ) y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A
3

B B.y=-3x+2 B.小于 0

C C.y=-4x+3 C.等于 0

D ( D.y=4x-5 ( D.不等于 0 (

图1 ) ) )

3.曲线 y=x -3x+1 在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 A.大于 0 4.在导数定义中,自变量 x 的增量△x 5.设函数 f(x)在(-∞,+∞)内可导,且恒有 f ′(x)>0,则下列结论正确的是 A.f(x)在 R 上单调递减 C.f(x)在 R 上不单调 6.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 C.函数的最值一定是极值 7.下列命题正确的是 A.极大值比极小值大 C.极大值比极小值小 B.f(x)在 R 上是常数 D.f(x)在 R 上单调递增

( B.函数的极小值就是函数的最小值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 ( B.极小值不一定比极大值小 D.极小值不大于极大值 (

)



8.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f ′(x)=g′(x),则 A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数函数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数 9.抛物线 y= x2 上点 M( A.30°
3

)

1 1 , )的切线倾斜角是 2 4
B.45° C.60° D.90°

(

)

10.函数 f(x)=x -3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是





A.1,-1

B.3,-17

C.1,-17
h ?0

D.9,-19

11. 已知函数 y= f(x)在区间(a, b)内可导, 且 x0∈(a, b), 则 lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) =( h

)

A.f ′(x0) B.2f ′(x0) C.-2f ′(x0) D.0 12.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) ( )

C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. 过点 P (-1, 2) 且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M (1, 1) 处的切线平行的直线方程是__________. 14.若曲线上每一点处的切线都平行于 x 轴,则此曲线的函数必是 . 3 2 15.在曲线 y=x +3x +6x-10 的切线斜率中斜率最小的切线方程是 . 16. (理)某物体做直线运动,其运动规律是 s=t + 4 秒末的瞬时速度为
2 2 2

3 ( t 的单位是秒,s 的单位是米),则它在 t

.

(文)两曲线 y=x +1 与 y=3-x 在交点处的两切线的夹角为 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在 该点处的切线与直线 2x+y=0 平行. ⑴求 f(x)的解析式; ⑵求函数 g(x)=f(x2)的单调递增区间。

18. (本小题满分 12 分)(理)已知函数 f(x)=ln(x+1)-x. ⑴求函数 f(x)的单调递减区间;

1 ? ln( x ? 1) ? x . x ?1 3 2 (文) 已知 f(x)=ax +3x -x+1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围.
⑵若 x ? ?1 ,证明: 1 ?

19. (本小题满分 12 分)已知 f(x)=x +ax +bx+c,在 x=1 与 x=-2 时,都取得极值。 ⑴求 a,b 的值; ⑵若 x ? [-3,2]都有 f(x)>

3

2

1 1 ? 恒成立,求 c 的取值范围。 c 2

20. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? ⑴求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3

⑵若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围..

21.(本小题满分 12 分) 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) 。 ⑴求导数 f ?( x) ; ⑵若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; ⑶若 f ( x) 在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围。

3 2 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。

⑴讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; ⑵过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程。

高三单元试题之十五:复数(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.(1-i) · i = A.2-2i 2.设复数 ? ? ? A. ? ? 3.复数 (1 ? ) 的值是
4

2

( B.2+2i C. 2 D.-2 ( C. ?



1 3 ? i, 则1 ? ? = 2 2
B. ?
2



1

?

D.

1 ?2
( )

1 i

A.4i

B.-4i
2

C.4

D.-4

4.设复数 z=1+ 2 i,则 z -2z=





A.-3
5.复数 (

B.3

C.-3i

D.3i
( )

1 ? i 10 ) 的值是 1? i
B.1 C.32 D.-32

A.-1

(?1 ? 3i) 5 6.复数 的值是 1 ? 3i
A.-16 B.16 C.-

(

)

1 4

D.

1 3 ? i 4 4
( )

7.设复数 z 的辐角的主值为 A. ? 2 ? 2 3i

2? 2 ,虚部为 3 ,则 z = 3
C. 2 ? 3i D. 2 3 ? 2i

B. ? 2 3 ? 2i

8. 已知复数 z1=3+4i, z2=t+i, 且 z1 z2 是实数, 则实数 t= A.

( D.?



3 4

B.

4 3

C.?

4 3

3 4
( )

9.

1 ? 3i ( 3 ? i) 2

?

A.

1 3 ? i 4 4

B. ?

1 3 ? i 4 4

C.

1 3 ? i 2 2

D. ?

1 3 ? i 2 2
( )

10.若 z ? C 且 | z ? 2 ? 2i |? 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 A.2 11.复数 B.3 C.4 D.5

5 的共轭复数是 3 ? 4i 3 4 A. 3 ? 4i B. ? i 5 5

( C. 3 ? 4i D.



3 4 ? i 5 5
( )

12.若复数 ( 3 ? i ) n 是一个纯虚数,则自然数 n 的值可以是 A.6 B.7 C.8 D.9 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13.已知复数 z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = ____________. 14.若复数 z 满足 z(1+i)=2,则 z 的实部是__________.

15.在复平面内, O 是原点, OA , OC , AB 表示的复数分别为 ?2 ? i,3 ? 2i,1 ? 5i ,那 么 BC 表示的复数为____________.
2 2 16. z1 ,z2 ?C,z1 ? 2z1z2 ? 4z2 ? 0,| z2 | ? 2 ,那么以|z1|为直径的圆的面积为_______。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知复数 z1 满足(1+i)z1=-1+5i, z2=a-2-i, 其中 i 为虚数单位,

a∈ R, 若 z1 ? z 2 <|z1|,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)已知复数 z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,求| z1· z2|的最大值和最小值.

19. (本小题满分 12 分)已知复数 z 的辐角为 60° ,且| z-1|是| z|和| z-2|的等比中项. 求| z|。

20. (本小题满分 12 分)已知 z、?为复数, (1+3i)z 为实数,?=

z , 且 | ? |? 5 2, 求? . 2?i

21. (本小题满分 12 分) 在复平面上, 正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 对应的复数分别为 1+2i, 3-5i。求另外两个顶点 C,D 对应的复数。

22.(本小题满分 14 分) 已知:复数 z1=m+ni,z2=2-2i 和 z=x+yi,若 z= z1 i-z2 ⑴若复数 z1 所对应点 M(m,n)在曲线 y= 迹方程; ⑵将⑴中 P 的轨迹上每一点沿着向量 a ={ 的方程; ⑶过轨迹 C 上任意一点 A(异于顶点)作其切线 l,l 交 y 轴于点 B,问:以 AB 为直径的圆 是否恒过 x 轴上一定点?若存在,求出此定点坐标;若不存在,则说明理由;

1 (x+3)2+1 上运动,求复数 z 所对应点 P(x,y)的轨 2
3 13 ,1}方向平移 个单位,得新的轨迹 C,求 C 2 2

综合试题(1)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列不等式的在区间(0, A.sinx>cosx A. 4 3?

? )内恒成立的是 6
C.cosx> C. 16 3?





B.tanx>cotx B. 8 3?

3 2

D.sinx> D. 32 3?

3 2
( ( ) )

2.圆锥的侧面展开图是一个半径为 12 的半圆,则这个圆锥的内切球的体积是 3.已知 z∈C,满足不等式 z z ? iz ? i z ? 0 的点 Z 的集合用阴影表示为

y

y

y

y
-1

A. B. C. D. 4.一个单细胞以一分为二的方式,每 3 分钟分裂一次,恰一个小时充满某容器. 若开始时就 放入两个单细胞,则充满容器的时间是 ( ) A. 正好半小时 B. 大于 45 分钟,小于 50 分钟 C. 大于 50 分钟,小于 55 分钟 D. 大于 55 分钟, 小于 60 分钟 2 5. 下列函数关系中,可以看作二次函数 y=ax +bx+c 模型的是 ( ) A.汽车的行驶公里数与耗油量的关系 B.我国人口年自然增长率为 1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) D.核电站中,作为核燃料的某放射元素裂变后所剩的原子数随使用时间的变化关系 6. 如图, 抛物线形拱桥的顶点距水面 2 米时, 测得拱桥内水面宽为 12 米, 当水面升高 1 米后, 拱桥内水面宽度是 ( ) A.6 2 米 C.3 2 米 B.6 6 米 D.3 6 米
2

O

x

O

1

x

1 O x

O x

12

7.设 a<c<b,如果把函数 y=f(x)的图象被两条平行的直线 x=a,x=b 所截的一段近似地 看作一条线段,则下列关系式中,f(c)的最佳近似表示式是 ( )

1 [ f (a ) ? f (b)] B. f (c) ? f (a) f (b) 2 c?a c?a [ f (b) ? f (a )] D. f (c) ? f (a ) ? [ f (b) ? f (a)] C. f ( c ) ? f ( a ) ? b?a b?a
A. f ( c ) ? 8.过球面上三点 A、B、C 的截面和球心的距离是球半径的一半,且 AB=6,BC=8,AC=10, 则球的表面积是 ( ) A.100 ? B.300 ? C.

100 ? 3

D.

400 ? 3

9.已知点 P 在定圆 O 的圆内或圆周上,圆 C 经过点 P 且与定圆 O 相切,则动圆 C 的圆心轨

迹是 ( ) A.圆或椭圆或双曲线 B.两条射线或圆或抛物线 C.两条射线或圆或椭圆 D.椭圆或双曲线和抛物线 10. 甲、 乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止, 每次投篮甲投中的概率为 0.4, 乙投中的概率为 0.6, 且不受其它投篮结果的影响.设甲投篮的次数为?,若甲先投,则 P(?=k)= ( ) - - - - A.0.6k 1?0.4 B.0.6k 1?0.76 C.0.4k 1?0.6 D.0.76k 1?0.24 11.二次曲线

x2 y2 ? ? 1 ,当 m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率 e 的取值范围是( 4 m 2 3 3 5 5 6 3 6 A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 2 2 2 2 2 2 2 2



12.磁悬浮列车是一种高科技含量的新型交通工具,它具有速度快,爬坡能力强,能耗低等优 点, 其每个座位的平均能耗仅是飞机每个座位平均能耗的三分之一, 是汽车每个座位平均能耗 的 70%,那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的 ( ) A. 3
7

B. 7

3

C. 10

21

D. 21
10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在题中横线上. 13. 一个班级的考试成绩如图所示, 求其平均 成绩(取靠近平均成绩的整数)________. 14.某医药研究所研制了 5 种消炎药 X1、X2、 X3、X4、X5 和 4 种退烧药 T1、T2、T3、T4, 现从中取出两种消炎药和一种退烧药同 时使用进行疗效试验,但又知 X1、X2 两 种消炎药必须同时搭配使用,但 X3 和 T4 两种药不能同时使用, 则不同的试验方案 有 种(用数字作答).
0 1 2 2 n n 15.在二项式定理 Cn ? Cn x ? Cn x ??? ?Cn x ? ?1 ? x ? n

? n ? N ? 的两边求导后,再取 x=1,
*

得恒等式_______________________________________. 16.5 名同学参加演讲比赛,决出了第一到第五的名次。评委告诉甲、乙两名同学: “你们都 没有拿到冠军,但乙不是最差的” 。由此分析这 5 名同学的排名顺序共有 种不同的情况。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 a=(cosα ,sinα ), b=(cosβ ,sinβ ),其中 0<α <β <π . ⑴求证:a+b 与 a-b 互相垂直; ⑵若 ka+b 与 a-kb 的长度相等,求β -α 的值(k 为非零的常数)

18. (本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ ABC 为直角的等腰三 角形,AC=2a(a>0),BB1=3a,D 为 A1C1 的中点,E 为 B1C 的中点. ⑴求直线 BE 与 A1C 所成的角 θ; B1 C1 ⑵在线段 AA1 上取一点 F,问 AF 为何值时,CF⊥ 平面 B1DF? D A1 E F B A C

19. (本小题满分 12 分) 某银行准备新设一种定期存款业务,经预测存款量与利率的平方成 正比,比例系数为 k(k>0) ,贷款的利率为 4.8%。又银行吸收的存款能全部放贷出去。 ⑴若存款的利率为 x,x∈ (0,0.048) ,试写出存款量 g(x)及银行支付给储户的利息 h(x); ⑵存款利率定为多少时,银行可获得最大利益?

20. (本小题满分 12 分) 在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳 突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人, 从同一地点开始追赶小船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h., 问此人能否追上小船.若小船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少?

21. (本小题满分 12 分)已知 i,j 分别是 x 轴,y 轴方向上的单位向量,OA 1 =j,OA 2 =10j, 且 An?1 An =3 An An?1 (n=2,3,4?),在射线 y=x(x≥0)上从下到上依次有点 Bi(i=1,2,3,?),

OB1 =3i+3j 且 | Bn?1Bn |? 2 2 (n=2,3,4?).
⑴求 A4 A5 ; ⑵求 OAn , OBn ; ⑶求四边形 An An?1 Bn?1 Bn 面积的最大值.

22. (本小题满分 14 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈ R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的 不动点。如果函数 f ( x) ? ⑴求函数 f(x)的解析式; ⑵已知各项不为零的数列 {a n }满足4S n ? f (

1 x2 ? a (b, c ? N ) 有且只有两个不动点 0,2,且 f (?2) ? . 2 bx ? c

1 ) ? 1 ,求数列通项 an ; an

⑶如果数列 {an } 满足 a1 ? 4, an?1 ? f (an ) ,求证:当 n ? 2 时,恒有 an ? 3 成立.

综合试题(2)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. “0<x<5”是“不等式|x-2|<3”成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 2.准线方程为 x=3 的抛物线的标准方程为 2 2 2 A.y =-6x B.y =-12x C.y =6x 3.已知 a>b>0,全集 I=R,M={x|b<x< ( D.y =12x )
2



a?b },N={x| ab ≤x≤a},则 N∩( ? RM)为( 2 a?b a?b } A. { x | b ? x ? } B. {x | ab ? x ? 2 2 a?b a?b 或x ? a} ? x ? a} C. { x | x ? D. { x | 2 2 1 ? 1 4.若 y ? sin( ? x ? ) 的图象按向量 a 平移得到 y ? sin( ? x ) 的图象,则向量 a =( 2 6 2
A. (-



? ,0) 3

B. (

? ,0) 3

C. (-

? ,0) 6

D. (

? ,0) 6

5.(2x-1) 的展开式倒数第 4 项的系数是 A.-20 B.-180 C.-960 6.已知 lim A.4

10

( D.180 (



ax2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b 的值为 x ?1 x ?1
B.-5 C.-4 D.5



7.若数列 {a n }满足a n ?1

1 ? 2 a n (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? , 若a1 ? , 则a 20 的值为 7 ?2a ? 1( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?
B.





A.

6 7

5 7

C.

3 7

D.

1 7

8. 设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V, P 为其侧棱 BB1 上的任意一点, 则四棱锥 P—ACC1A1 的体积等于 ( ) A. V

2 3

B. V

1 3

C. V

3 4

D. V

1 2

9.某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点 A(-2, 2 3 ) ,B ( ,? 5 )则 A.曲线 C 可为椭圆也可为双曲线 B.曲线 C 一定是双曲线

3 2





C.曲线 C 一定是椭圆

D.这样的圆锥曲线 C 不存在

10.设二面角?―a―?的大小是 60°,P 是二面角内的一点,P 点到?,?的距离分别为 1cm、 2cm,那么点 P 到棱 a 的距离是 ( ) A.

2 21 cm 3

B.

21 cm 3

C.

2 cm 3

D.

4 21 cm 3
2 4 3 5 y

11.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB(含边界) ,若 ( , ) 是该目标函数

z=ax-y 的最优解,则 a 的取值范围是( ) 2 4 10 5 12 3 1B C( ,) A. ( ? , ? ) B. ( ? , ? ) 3 5 3 12 5 10 12 3 3 12 A C. ( , ) D. ( ? , ) O 1 x 5 10 10 5 2 12.记函数 f(x)=3+x sinx 在区间[-2,2]上的最大值为 M,最小值为 m,那么 M+m 的值为
( ) A.0 B.3 C.6 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.(理)设 z 满足 z+ | z | =2+i,那么 z 等于 (文)不等式 x+x3≥0 的解集是 。 . D.8

14.已知数列{an},{bn}都是等差数列,a1=-2003,b1=2004,Sn、Tn 分别表示{an}, {bn}的前 n 项的和(n∈N*)。 若 Sn+Tn=0, 则 an+bn= 。 1 15.五人排成一排,甲只能排在第一或第二两个位置,乙只能排 2 2 在第二或第三两个位置,则不同的排法共有 种。 3 4 3 16.如右图,它满足: 4 7 7 4 ⑴第 n 行首尾两数均为 n ; 5 11 14 11 5 ⑵表中的递推关系类似杨辉三角, 6 16 25 25 16 6 则第 n 行( n ? 2 )第 2 个数是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 A、B 是△ABC 的两个内角, a ? 垂直的单位向量,若 | a |?

2 cos

A? B A? B i ? sin j ,其中 i 、 j 为互相 2 2

6 . 求 tan A ? tan B 的值. 2

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角 为 45° ,底面 ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90° ,PA=BC= ⑴求证:平面 PAC⊥平面 PCD; ⑵在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE//平面 PAB? 若存在,请确定 E 点位置;若不存在,请说明理由. P

1 AD. 2
E A D

B

C

19. (本小题满分 12 分)我校承办省第 19 届青少年科技创新大赛.布置参赛作品展时,甲展厅 内有 2 个科技小制作系列和 2 个科技小论文系列, 乙展厅内有 2 个科技小制作系列和 3 个科技 小论文系列.现甲乙两展厅须互换一个系列. ⑴求甲展厅内恰有 2 个小制作系列的概率; ⑵求甲展厅内小制作系列数的期望.

x2 y2 20. (本小题满分 12 分)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,B 是右顶点,F 是右焦 a b
点, 点 A 在 x 轴的正半轴上, 且满足 | OA |, | OB |, | OF | 成等比数列, 过 F 作双曲线 C 在第一、

y

三象限的渐近线的垂线 l ,垂足为 P. ⑴求证: PA? OP ? PA? FP ; ⑵若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于点 D、E, 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围. D P O E

C

A B

F

x

21. (本小题满分 12 分)某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划 建成一个矩形的高科技工业园区.已知 AB⊥BC,OA//BC,且 AB=BC=2 AO=4km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB,BC 上, 且一个顶点落在曲线段 OC 上, 问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最 2 大的用地面积(精确到 0.1km ) 。 B C

A

O

22. (本小题满分 14 分)已知奇函数 f(x),偶函数 g(x)满足 f(x)+ g(x)=a (a>0 且 a≠1)。 ⑴求证:f(2x)=2f(x)g(x); ⑵设 f(x) 的反函数 f 的结论; ⑶若 a ? 1, n ? N *,且n ? 2 ,比较 f(n)与 nf(1)的大小,并证明你的结论.
?1

x

( x),当a ? 2 ? 1 时,试比较 f ?1[ g ( x)] 与- 1 的大小,并证明你

综合试题(3)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的。 1.集合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,映射 f:A→B 使得 B 中有且只有一个元素 在 A 中的原象为 2 个,这样的映射 f 的个数为 ( ) A.3 B.5 C.6 D.8 2.已知 cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? A.

1 2

B.

1 3

1 , 则 cos ? cos ? 的值为 3 1 C. 4

( D.



1 6
( )

3.下列判断错误的是 A.命题“若 q 则 p”与命题“若?p 则?q”互为逆否命题 B. “am2<bm2”是“a<b”的充要条件 C. “矩形的两条对角线相等”的否命题为假 D.命题“ ? ? {1, 2}或4 ?{1, 2} ”为真(其中 ? 为空集) 4.若实数 a、b 满足 ab<0,则有 A.|a-b|<|a|-|b| B.|a-b|<|a|+|b|

( C.|a+b|>|a-b| D.|a+b|<|a-b| (



5.若 ( x ? 2) 5 的展开式第二项的值大于 1000,则实数 x 的取值范围为
4



A.x<-10 或 x>10 B. x ? 5 3

C. x ?

625 4

D.x>10 ( )

6.图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 A. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0

B. ?

? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0
-1

y
2 O -1

?x ? 0 ? C. ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

?x ? 0 ? D . ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

x

7.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约 10%的能量能够流到下一 个营养级.在 H1→H2→H3 这个生物链中,若能使 H3 获得 10kj 的能量,则需 H1 提供的能 量为 ( ) 5 4 3 2 A.10 kj B.10 kj C.10 kj D.10 kj 8.函数 y=x3-3x 在[-1,2]上的最小值为 ( ) A.2 B.-2 C.0 D.-4 9.给定两个向量 a ? (3,4),b ? (2,1),若(a ? xb) ? (a ? b) ,则 x 的等于 ( )

A.-3

B.

3 2

C.3

D.-

3 2

10.若某等差数列{an}中,a2+a6+a16 为一个确定的常数,则其前 n 项和 Sn 中也为确定的常数 的是 ( ) A.S17 B.S15 C.S8 D.S7 11.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2, 4)重合,若点(7,3)与点(m ,n)重合,则 m+n 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.10 D.-10 12.方程 x ? 1 lg( x 2 ? y 2 ? 1) ? 0 所表示的曲线图形是 ( )

y

y

y

y

O

1 x

O

1

2

x

O

1

2

x

O

1

2

x

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为 1500 人、1200 和 1000 人,现采用按年 级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了 75 人,则这次调查三个年级 共抽查了 人. 14.已知 f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? 1),则f ?1 (1) ?

.

15.在一个水平放置的底面半径为 3 的圆柱形量杯中装有适量的水, 现放入下个半径为 R 的 实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 R,则 R= .

x?0 ?1, ? x ? 0 ,则方程 x ? 1 ? (2x ? 1) f ( x) 的解为 16.设函数 f ( x ) ? ?0, ?? 1, x?0 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. ⑴摸出 2 个或 3 个白球 ⑵至少摸出一个黑球.

18. (本小题满分 12 分)如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB,点 E、M 分 2

别为 A1B、C1C 的中点,过点 A1,B,M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. ⑴求证:EM∥平面 A1B1C1D1; ⑵求二面角 B—A1N—B1 的正切值.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

⑴将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; ⑵如果△ABC 的三边 a、 b、c 满足 b2=ac, 且边 b 所对的角为 x, 试求 x 的范围及此时函数 f(x) 的值域.

20. (本小题满分 12 分)设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1-an } (n∈N*)是等差数理,数列{bn-2}(n∈N*)是等比数列. ⑴求数列{an}和{bn}的通项公式; ⑵是否存在 k∈N*,使 ak-bk∈(0,

1 )?若存在,求出 k;若不存在,说明理由. 2

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C1 :

25 x2 y2 ,其 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一条准线方程是 x ? 2 4 a b

左、右顶点分别是 A、B;双曲线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 3x-5y=0. a2 b2

⑴求椭圆 C1 的方程及双曲线 C2 的离心率; ⑵在第一象限内取双曲线 C2 上一点 P,连结 AP 交椭圆 C1 于点 M,连结 PB 并延长交椭圆 C1 于点 N,若 AM ? MP 。求证: MN ? AB ? 0.

y M A
O

P

B N

x

22. (本小题满分 14 分)已知函数: f ( x) ?

x ?1? a (a ? R且x ? a) a?x

⑴证明:f(x)+2+f(2a-x)=0 对定义域内的所有 x 都成立. ⑵当 f(x)的定义域为[a+

1 ,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2]; 2

⑶设函数 g(x)=x2+|(x-a)f(x)| ,求 g(x) 的最小值 .

开放与探索水平测试
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

2 x ? ? ) 的图象过点 ( 1.已知函数 y ? tan(
A. ?

?
12

,0) ,则 ? 可以是
C. ?

( D.



?
6

B.

? 6

? 12

? 12
( ) ( )

2. (理)满足条件|z-i|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 2 2 (文)已知直线 x=k(k>0)和圆(x-1) +y =4 相切,那么 k 的值是 A.5 B.4 C.3 D.2

3.设 m、n 是两条不同的直线,?,?,?是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥?,n∥ ?,则 m⊥n ②若?∥ ?,?∥?,m⊥?,则 m⊥? ③若 m∥ ?,n∥?,则 m∥n ④若?⊥?,?⊥?,则?∥ ? 其中正确命题的序号是( ) D1 C1 A.①和② B.②和③ C. ③和④ D.①和④ A1 B1 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内 P 一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的 轨迹所在的曲线是( ) D C A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 A B 2 5.函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 ( ) A. a ? ( ??,1] B. a ?[2,??) C. a ?[1,2] D. a ? ( ??,1] ? [2,??) 6.已知 a、b、c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中一定成立的是 ( ) A.ab>ac B.c(b-a)<0 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0 7. 从长度分别为 1, 2, 3, 4, 5 的五条线段中, 任取三条线段为边可组成钝角△的概率为 ( A.



1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5

8 . 函 数 f ( x) ? ?

? x, x ? P ,其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 ?? x, x ? M

f ( P) ? {y| y ? f ( x), x ? P} , f ( M ) ? {y| y ? f ( x), x ? M} ,给出下列四个判断:
①若 P ? M ? ? ,则 f ( P) ? f ( M ) ? ? ②若 P ? M ? ? ,则 f ( P) ? f ( M ) ? ? ③若 P ? M ? R ,则 f ( P) ? f ( M ) ? R ④若 P ? M ? R ,则 f ( P) ? f ( M ) ? R 其中正确判断有 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.若函数 y=f(x)的图象可由函数 y=lg(x+1)的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 90° 得到,则 f(x)=( -x x -x x A.10 -1 B.10 -1 C.1-10 D.1-10 10.已知数列 {an } 的通项公式 a n ? log 2 成立的自然数 n A.有最小值 63
2

)

n ?1 (n ? N *) ,设其前 n 项和 Sn,则使 Sn<-5 n?2
( ) C.有最小值 31 D.有最大值 31 ( )

B.有最大值 63

11.若不等式 x ? log a x ? 0在x ? (0, ] 内恒成立,则 a 的取值范围是 A.

1 2

1 ≤a<1 16

B.

1 <a<1 16

C.0<a≤

1 16

D.0<a<

1 16
( )

12.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 .

A.234 B.346 C.350 D.363 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填在题中横线上。 13.下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 其中,真命题的编号是 (写出所有正确结论的编号) 14.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷等比数 列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组. (写出所有符合要求的组号) ① S1 与 S2;② a2 与 S3;③ a1 与 an;④ q 与 an。其中 n 为正整数, Sn 为{an}的前 n 项和. 15 . 教 材 中 “ 直 线 与 圆 的 方 程 ” 与 “ 圆 锥 曲 线 方 程 ” 两 章 内 容 体 现 出 解 析 几 何 的 本 质 是 . 16.定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{an}是等和数列,且 a1=2,公和为 5,那么 a18 的值为______________,这个 数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为________________ 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)设 P(x,y)、Q(x′,y′),且将关系式 ?
' ? ?x ? x ? 3 y 看作坐标平面内的 ' ? y ? 3 x ? y ?

一个变换, 它将平面内的点P变换到这一平面上的Q点。 是否存在这样的直线它上面的任何一 点经过上述变换后得到的点仍旧在该直线上。若存在,求出所有这样的直线;若不存在,说明 理由。

18. (本小题满分 12 分)已知 f(x)= ⑴求实数 a 的值组成的集合 A; ⑵设关于 x 的方程 f(x)=

2x ? a (x∈R)在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2

1 的两个非零实根为 x1、 x2. 试问: 是否存在实数 m, 使得不等式 m2+tm+1 x

≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明 理由.

19. (本小题满分 12 分)已知常数 a>0,向量 c=(0,a),i=(1,0),经过原点 O 以 c+λ i 为方 向向量的直线与经过定点 A(0, a)以 i-2λ c 为方向向量的直线相交于点 P, 其中λ ∈R. 试 问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存 在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分)给定有限个正数满足条件 T:每个数都不大于 50 且总和 L=1275。 现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于 150 且分组的步骤是: 首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得 150 与这组数之和的差 r1 与所有可 能的其他选择相比是最小的,r1 称为第一组余差; 然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的 余差为 r2;如此继续构成第三组(余差为 r3) 、第四组(余差为 r4) 、?,直至第 N 组(余差为 rN)把这些数全部分完为止。 ⑴判断 r1 , r2 ,?, rN 的大小关系,并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数 ⑵当构成第 n(n<N)组后,指出余下的每个数与 rn 的大小关系,并证明 rn ?1 ? ⑶对任何满足条件 T 的有限个正数,证明: N ? 11

150n ? L n ?1

21. (本小题满分 13 分)设 P1(x1,y1), P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈ N) 是二次曲线 C 上的点, 且 2 2 2 a1=|OP1| , a2=|OP2| , ?, an=|OPn| 构成了一个公差为 d(d≠0) 的等差数列, 其中 O 是坐标原 点. 记 Sn=a1+a2+?+an. ⑴若 C 的方程为

x2 y2 ? =1,n=3. 点 P1(3,0) 及 S3=255, 求点 P3 的坐标;(只需写出一个) 100 25

x2 y2 ⑵若 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0). 点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化时, 求 a b
Sn 的最小值; ⑶请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件,并说明理由.

22. (本小题满分 13 分)⑴给出两块相同的正三角形纸片(如图 1,图 2),要求用其中一块剪 拼成一个正三棱锥模型, 另一块剪拼成一个正三棱柱模型, 使它们的全面积都与原三角形的面 积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图 1、图 2 中,并作简要说明; ⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小; ⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图 3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的 全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图 3 中,并作简要说 明.

图1

图2

图3

应用水平测试
一、选择题(5 分?12=60 分) 1.某村对 200 户家庭的生活水平进行调查,其中一项的统计结果是:有彩电的 180 户,有电 冰箱的 186 户,两样都有的 168 户,则彩电和电冰箱至少有一样的户数是 ( ) A.197 B.198 C.199 D.200 2.某物体一天中的温度 T(单位:摄氏度)是时间 t(单位:小时)的函数 T(t)=t3-3t+60,t=0 表 示中午 12:00,则下午 3 时的温度为 ( ) A.8℃ B.18℃ C.78℃ D.112℃ 3.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 ( ) A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种 4. 某企业生产一种电子产品, 2003 年的产量在 2002 年的基础上增长率为 a, 2004 年又在 2003 年的基础上增长率为 b(a,b>0)。若这两年的平均增长率为 q,则 ( ) A.q=

a?b 2

B.q≥

a?b 2

C.q≤

a?b 2

D.大小关系不定

5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈ N)。若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 6. 甲、 乙两人独立地解同一问题, 甲解决这个问题的概率是 p1, 乙解决这个问题的概率是 p2, 那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是 ( ) A.p1p2 B.1-p1p2 C.1-(1-p1)(1-p2)D.p1(1-p2)+p2(1-p1) 7.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班 安排 2 名,则不同的安排方案种数为 ( )
2 2 A. A6 C4

B.

1 2 2 A6 C 4 2

2 2 C. A6 A4

2 D. 2 A6

8.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座 位不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 ( ) . A.234 B.346 C.350 D.363 9.从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师,派到 3 个班担任班主任(每班 1 位班主任) , 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 10.如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的 距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一 座码头,向 B、C 两地转运货物.经测算,从 M 到 B、 M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/km、 2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最 低是( )

A.(2 7 -2)a 万元 B.5a 万元

C.(2 7 +1) a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

11.设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港 口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(??t+?)的图象.下面的函数 中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( ) A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin

?

?

6

t , t ? [0,24 ] t , t ? [0,24]

B. y ? 12 ? 3 sin( D. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ? ? ), t ? [0,24] t?

?

?
2

12

12

), t[0,24]

12.某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下 行业名称 应聘人数 行业名称 招聘人数 计算机 215830 计算机 124620 机械 200250 营销 102935 营销 154676 机械 89115 物流 74570 建筑 76516 贸易 65280 化工 70436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数 据,就业形势一定是( ) A.计算机行业好于化工行业. B.建筑行业好于物流行业. C.机械行业最紧张. D.营销行业比贸易行业紧张. 二、填空题(4 分?4=16 分) 13. 某地球仪上北纬 30°纬线的长度为 12?cm, 该地球仪的半径是____cm, 表面积是____cm2。 14.一个总体中有 100 个个体,随机编号 0,1,2,?,99,依编号顺序平均分成 10 个小组, 组号依次为 1,2,3,?,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在 第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相 同,若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 . 15.口袋内装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个 球标有数字 1,若从袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数 字之和小于 2 或大于 3 的概率是 .(以数值作答) 16. 如图 1, 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全 等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容 器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大. 三、解答题(12 分?5+14 分=74 分) 17.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对 其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. ⑴(理)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望;(文)分别求甲、乙两人考试合格的概率; ⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

18.某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 x、y(单位:m)的矩形.上部 是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、 y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料 最省?

y

x 19.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100 ﹪和 50﹪, 可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求 确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可 能的盈利最大?

20.某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=15km,BC=3km,在列车运行时刻表上,规 定列车 8 时整从 A 站发车,8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟,8 时 12 分到达 C 站,在实际 运行中,假设列车从 A 站正点发车,在 B 站停留 1 分钟,并在行驶时以同一速度 vkm / h 匀速 行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行 误差。 ⑴分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 ⑵若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围

21.某企业 2003 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性 投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第一 年)的利润为 500(1+

1 )万元(n 为正整数). 2n

⑴设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造后 的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An、Bn 的表达式; ⑵依上述预测, 从今年起该企业至少经过多少年, 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技 术改造的累计纯利润?

22.一列火车自 A 城驶往 B 城,沿途有 n 个车站(包括起点站 A 和终点站 B) ,车上有一节 邮政车厢, 每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个, 同时又要装上该站发往后面 各站的邮袋各一个,试求: ⑴列车从第 k 站出发时,邮政车厢内共有邮袋数是多少个? ⑵第几站的邮袋数最多?最多是多少?



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