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菁优网详解2012年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷


2012 年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷

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2012 年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.若不等式组 A. m>3 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是( B. m≥3 C. m≤3 ) ) D. m<3

2.如图,在△ ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=(

A.

B.

C. 0.3

D.

3.如图,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上,下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB,∠OCD 的 平分线交⊙O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( )

A. 到 CD 的距离保持不变 C. 等分

B. 位置不变 D. 随 C 点移动而移动

4.已知 y= A. 2 ﹣1

+

(x,y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为( B. 4﹣2 C. 3﹣2

) D. 2 ﹣2

5. (2010?泸州)已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点 P 在 OM 上.一只蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧面 爬行, 回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示. 若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开, 所得侧面展开图是 ( )

A.

B.

C.

D.

6.已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无 滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

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A. 6 圈
2

B. 6.5 圈

C. 7 圈

D. 8 圈

7.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列 5 个结论: ①abc<0 ②b<a+c ③4a+2b+c>0 ④2c<3b ⑤a+b>m(am+b)(m≠1 的实数) , 其中正确的结论的有( )

A. 2 个

B. 3 个

C. 4 个

D. 5 个

8.如图,正 ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥BC、PE⊥AB,PF⊥AC,连 AP、BP、CP,如果 S△ AFP+S△ PCD+S△ BPE= ,那么△ ABC 的内切圆半径为( )

A. 1

B.

C. 2

D.

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 9. (2005?青岛)如图,如果 位置的坐标为 _________ . 所在位置的坐标为(﹣1,﹣2) , 所在位置的坐标为(2,﹣2) ,那么, 所在

10. 某商场经销某种商品, 由于进货价降低了 8%, 利润率提高了 10%, 则这种商品的原利润率是 _________ . (用 百分数作答) (进货价×利润率=利润) 11. (2006?德州) 钟表的轴心到分针针端的长为 5cm, 那么经过 40 分钟, 分针针端转过的弧长是 _________ cm. 12. (2011?山西)如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,图案(1)需要 4 根小棒,图案(2)需要 10 根小棒…,按此规律摆下去,第 n 个图案需要小棒 _________ 根(用含有 n 的代数式表示) .
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13. (2008?莱芜)“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469 等) .任取一个两位数, 是“上升数”的概率是 _________ . 14.[a]表示不大于 a 的最大整数,{a}=a﹣[a],设 a= ,b= ,则 a +(1+
2

)ab= _________ .

15.已知函数

,则 f(1)+f(2)+…+f(511)= _________ .

16.已知两组数 3,7,11,15,…和 5,8,11,14,…有许多相同的数,如 11 是它们第一个相同的数,那么它们的 第 20 个相同的数是 _________ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (2011?呼和浩特)为了解我市 3 路公共汽车的运营情况,公交部门随机统计了某天 3 路公共汽车每个运行班次 的载客量,得到如下频数分布直方图.如果以各组的组中值代表各组实际数据,请分析统计数据完成下列问题. (1)找出这天载客量的中位数,说明这个中位数的意义; (2)估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少? (3)计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数. (注:一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数)

18.已知抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=25 有公共点,且仅当 范围.

2

时抛物线在 x 轴上方,求 a、b、c 的取值

19.如图,已知在△ ABC 中,D 是 AB 中点,DC⊥AC,cos∠DCB= ,求 sinA.

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www.jyeoo.com 20. (2009?孝感)如图,点 P 是双曲线 y 轴于 A、B 两点,交双曲线 y= (k1<0,x<0)上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别交 x 轴、

(0<k2<|k1|)于 E、F 两点.

(1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= _________ (用含 k1、k2 的式子表示) ; (2)图 2 中,设 P 点坐标为(﹣4,3) . ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记 S2=S△ PEF﹣S△ OEF,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

21.当﹣1≤x≤2 时,求函数 y=f(x)=2x ﹣4ax+a +2a+2 的最小值,并求最小值为﹣1 时,a 的所有可能的值. 22.等腰直角△ ABC 和⊙O 如图放置,已知 AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O 的半径为 1,圆心 O 与直线 AB 的距离 为 5.现△ ABC 以每秒 2 个单位的速度向右移动,同时△ ABC 的边长 AB、BC 又以每秒 0.5 个单位沿 BA、BC 方 向增大. (1)当△ ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时,点 B 移动了多少距离? (2)若在△ ABC 移动的同时,⊙O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动,则△ ABC 从开始移动,到它的边与圆最后 一次相切,一共经过了多少时间? (3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻,△ ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积?若存在,求出恰好符合条 件时两个图形移动了多少时间?若不存在,请说明理由.

2

2

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2012 年湖北省鄂州高中自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.若不等式组 A. m>3 的解集是 x>3,则 m 的取值范围是( B. m≥3 C. m≤3 ) D. m<3

考点: 解一元一次不等式组。 专题: 计算题。 分析: 先解不等式组,然后根据不等式的解集,得出 m 的取值范围即可. 解答: 解:由 x+7<4x﹣2 移项整理得: ﹣3x<﹣9, ∴x>3, ∵x>m, 又∵不等式组 的解集是 x>3,

∴m≤3. 故选 C. 点评: 主要考查了一元一次不等式组解集的求法, 将不等式组解集的口诀: 同大取大, 同小取小, 大小小大中间找, 大大小小找不到(无解)逆用,已知不等式解集反过来求 m 的范围. 2.如图,在△ ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=( )

A.

B.

C. 0.3

D.

考点: 特殊角的三角函数值。 分析: 本题中直角三角形的角不是特殊角,故过 A 作 AD 交 BC 于 D,使∠BAD=15°,根据三角形内角和定理可求 出∠DAC 及∠ADC 的度数,再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可. 解答: 解:过 A 作 AD 交 BC 于 D,使∠BAD=15°, ∵△ABC 中.∠ACB=90°,∠ABC=15°, ∴∠BAC=75°, ∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°, ∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°, ∴AC= AD, 又∵∠ABC=∠BAD=15° ∴BD=AD, ∵BC=1, ∴AD+DC=1,
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www.jyeoo.com 设 CD=x,则 AD=1﹣x,AC= (1﹣x) , ∴AD =AC +CD ,即(1﹣x) = (1﹣x) +x , 解得:x=﹣3+2 ∴AC= (4﹣2 =2﹣ 故选 B. , )
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查的是特殊角的三角函数值,解答此题的关键是构造特殊角,用特殊角的三角函数促使边角转化. 注: (1)求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形. (2)求(已知)锐角三角函数值常根据定转化为求对应线段比,有时需通过等的比来转换. 3.如图,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上,下两个半圆,自上半圆上一点 C 作弦 CD⊥AB,∠OCD 的 平分线交⊙O 于点 P,当点 C 在上半圆(不包括 A,B 两点)上移动时,点 P( )

A. 到 CD 的距离保持不变 C. 等分

B. 位置不变 D. 随 C 点移动而移动

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系。 专题: 探究型。 分析: 连 OP,由 CP 平分∠OCD,得到∠1=∠2,而∠1=∠3,所以有 OP∥CD,则 OP⊥AB,即可得到 OP 平分半 圆 APB. 解答: 解:连 OP,如图, ∵CP 平分∠OCD, ∴∠1=∠2, 而 OC=OP,有∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∵OP∥CD, 又∵弦 CD⊥AB, ∴OP⊥AB, ∴OP 平分半圆 APB,即点 P 是半圆的中点. 故选 B.

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点评: 本题考查了圆周角定理.在同圆或等圆中,同弧和等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的 圆心角的一半.也考查了垂径定理的推论. (x,y 均为实数) ,则 y 的最大值与最小值的差为( B. 4﹣2 C. 3﹣2 ) D. 2 ﹣2

4.已知 y= A. 2 ﹣1

+

考点: 函数最值问题。 分析: 首先把 y= + 后求差. 解答: 解:∵y= ∴y =4+2
2

两边平方,求出定义域,然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值,最

+

, =4+2× ,

∵1≤x≤5, 当 x=3 时,y 的最大值为 2 ,当 x=1 或 5 时,y 的最小值为 2, 故当 x=1 或 5 时,y 取得最小值 2, 当 x 取 1 与 5 中间值 3 时,y 取得最大值, 故 y 的最大值与最小值的差为 2 ﹣2, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数最值问题的知识点,解答本题的关键是把函数两边平方,此题难度不大. 5. (2010?泸州)已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面上一点,点 P 在 OM 上.一只蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧面 爬行, 回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示. 若沿 OM 将圆锥侧面剪开并展开, 所得侧面展开图是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 线段的性质:两点之间线段最短;几何体的展开图。 专题: 动点型。 分析: 此题运用圆锥的性质,同时此题为数学知识的应用,由题意蜗牛从 P 点出发,绕圆锥侧面爬行,回到 P 点时 所爬过的最短,就用到两点间线段最短定理. 解答: 解:蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段,因此选项 A 和 B 错误,又因为蜗牛从 p 点出发,绕 圆锥侧面爬行后,又回到起始点 P 处,那么如果将选项 C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后,位于母线 OM 上的点 P 应该能够与母线 OM′上的点(P′)重合,而选项 C 还原后两个点不能够重合. 故选 D.
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www.jyeoo.com 点评: 本题考核立意相对较新,考核了学生的空间想象能力. 6.已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无 滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )

A. 6 圈

B. 6.5 圈

C. 7 圈

D. 8 圈

考点: 直线与圆的位置关系。 分析: 根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时, 圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°, 则圆绕三个顶点 共旋转了 360°,即它转了一圈,再加上在三边作无滑动滚动时要转 6 圈,这样得到它回到原出发位置时共转 了 7 圈. 解答: 解:圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转, ∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍, ∴圆转了 6 圈, 而圆从一边转到另一边时,圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数, 圆心要绕其三角形的顶点旋转 120°, ∴圆绕三个顶点共旋转了 360°,即它转了一圈, ∴圆回到原出发位置时,共转了 6+1=7 圈. 故选 C. 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,弧长公式:l= (n 为圆心角,R 为半径) ;也考查了旋转的性质.

7.已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列 5 个结论: ①abc<0 ②b<a+c ③4a+2b+c>0 ④2c<3b ⑤a+b>m(am+b)(m≠1 的实数) , 其中正确的结论的有( )

2

A. 2 个

B. 3 个

C. 4 个

D. 5 个

考点: 二次函数图象与系数的关系。 专题: 数形结合。 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物 线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:①图象开口向下,与 y 轴交于正半轴,对称轴为 x=1,能得到:a<0,c>0,﹣ =1, ∴b=﹣2a>0, ∴abc<0, 所以①正确; ②当 x=﹣1 时,由图象知 y<0,
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www.jyeoo.com 把 x=﹣1 代入解析式得:a﹣b+c<0, ∴b>a+c, ∴②错误; ③图象开口向下,与 y 轴交于正半轴,对称轴为 x=1, 能得到:a<0,c>0,﹣ =1,

所以 b=﹣2a, 所以 4a+2b+c=4a﹣4a+c>0. ∴③正确; ④∵由①②知 b=﹣2a 且 b>a+c, ∴2c<3b,④正确; ⑤图象开口向下,与 y 轴交于正半轴,对称轴为 x=1,能得到:a<0,c>0,﹣ ∴b=﹣2a, ∴a+b=a﹣2a=﹣a,m(ma+b)=m(m﹣2)a, 假设 a+b>m(am+b)(m≠1 的实数) , 即﹣a>m(m﹣2)a, 所以(m﹣1) >0, 满足题意,所以假设成立, ∴⑤正确. 故正确结论是①、③,④,⑤共有 4 个. 故选 C. 点评: 主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系,以及二次函数与方程之 间的转换,根的判别式的熟练运用. 8.如图,正 ABC 中,P 为正三角形内任意一点,过 P 作 PD⊥BC、PE⊥AB,PF⊥AC,连 AP、BP、CP,如果 S△ AFP+S△ PCD+S△ BPE= ,那么△ ABC 的内切圆半径为( )
2

=1,

A. 1

B.

C. 2

D.

考点: 面积及等积变换。 分析: 过 P 点作正三角形的三边的平行线,于是可得△ MPN,△ OPQ,△ RSP 都是正三角形,四边形 ASPM,四 边形 NCOP,四边形 PQBR 是平行四边形,故可知黑色部分的面积=白色部分的面积,于是求出三角形 ABC 的面积,进而求出等边三角形的边长和高,再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半 径的长度. 解答: 解:过 P 点作正三角形的三边的平行线, 于是可得△ MPN,△ OPQ,△ RSP 都是正三角形, 四边形 ASPM,四边形 NCOP,四边形 PQBR 是平行四边形, 故可知黑色部分的面积=白色部分的面积, 又知 S△ AFP+S△ PCD+S△ BPE= ,

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www.jyeoo.com 故知 S△ ABC=3
2

, ,

S△ ABC= AB sin60°=3 故 AB=2 , 三角形 ABC 的高 h=3,

△ ABC 的内切圆半径 r= h=1. 故选 A.

点评: 本题主要考查面积及等积变换的知识点, 解答本题的关键是过 P 点作三角形三边的平行线, 证明黑色部分的 面积与白色部分的面积相等,此题有一定难度. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 9. (2005?青岛)如图,如果 位置的坐标为 (﹣3,1) 所在位置的坐标为(﹣1,﹣2) , . 所在位置的坐标为(2,﹣2) ,那么, 所在

考点: 坐标确定位置。 分析: 根据已知两点的坐标建立坐标系,然后确定其它点的坐标. 解答: 解:由 所在位置的坐标为(﹣1,﹣2) , 所在位置的坐标为(2,﹣2) ,可以确定平面直角坐标系中 x 轴与 y 轴的位置.从而可以确定 所位置点的坐标为(﹣3,1) .

点评: 考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力.解决此类问题需要先确定原点的位置,再求未知点 的位置,或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减,上加下减来确定坐标. 10.某商场经销某种商品,由于进货价降低了 8%,利润率提高了 10%,则这种商品的原利润率是 15% . (用百 分数作答) (进货价×利润率=利润) 考点: 一元一次方程的应用。 分析: 设原利润率是 x,进价为 a 元,则售价为 a(1+x) ,由于进货时价格比原进价降低了 8%,使得利润增加了 10%,利用利润率= 列出方程解得即可即可.

解答: 解:设原进价为 a 元,这种商品原来的利润率为 x,根据题意列方程得, =x+10%, 解得:x=15%. 故答案为:15%.
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www.jyeoo.com 点评: 此题考查了一元一次方程的应用中利润率的计算,利用利润率公式:利润率= 售价、进价、利润就可以解决问题. ,分析题意找出

11. (2006?德州)钟表的轴心到分针针端的长为 5cm,那么经过 40 分钟,分针针端转过的弧长是

cm.

考点: 弧长的计算。 分析: 钟表的分针经过 40 分钟转过的角度是 240°,即圆心角是 240°,半径是 5cm,弧长公式是 l= 可以求出弧长. 解答: 解:弧长是 = cm.

,代入就

点评: 正确记忆弧长公式是解题的关键. 12. (2011?山西)如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,图案(1)需要 4 根小棒,图案(2)需要 10 根小棒…,按此规律摆下去,第 n 个图案需要小棒 6n﹣2 根(用含有 n 的代数式表示) .

考点: 规律型:图形的变化类。 分析: 观察图案可知,每下一幅图案比前一幅图案多 6 根小棒,找出 6 与 n 的联系即可. 解答: 解:如图可知,后一幅图总是比前一幅图多两个菱形,且多 6 根小棒, 图案(1)需要小棒:6×1﹣2=4(根) , 图案(2)需要小棒:6×2﹣2=10(根) , 则第 n 个图案需要小棒: (6n﹣2)根. 故答案为:6n﹣2. 点评: 本题主要考查图形的变化规律:首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找 到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题. 13. (2008?莱芜)“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数(如:34,568,2469 等) .任取一个两位数, 是“上升数”的概率是 0.4 . 考点: 概率公式。 专题: 新定义。 分析: 先列举出所有上升数,再根据概率公式解答即可. 解答: 解:两位数一共有 99﹣10+1=90 个, 上升数为: 12,13,14,15,16,17,18,19, 23,24,25,26,27,28,29, 34,35,36,37,38,39, 45,46,47,48,49, 56,57,58,59, 67,68,69, 78,79, 89, 共 8+7+6+5+4+3+2++1=36 个.
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www.jyeoo.com 概率为 36÷90=0.4. 点评: 如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P (A)= ;易错点是得到上升两位数的个数.

14.[a]表示不大于 a 的最大整数,{a}=a﹣[a],设 a=

,b=

,则 a +(1+

2

)ab= 10 .

考点: 取整函数。 专题: 计算题。 分析: 先估算出 解答: 解:∵ ∴a=
2

的整数部分,从而得出 a 的值,也可表示出 b 的值,代入即可得出代数式的值. ≈2.82, =2,b= = ) ( ﹣2, ﹣2)=4+6=10.

故可得:a +(1+

)ab=4+2(1+

故答案为:10. 点评: 此题考查了取整函数的知识,解答本题的关键是估算出

的整数部分,得出 a 的值,难度一般.

15.已知函数

,则 f(1)+f(2)+…+f(511)= 7 .

考点: 有理数无理数的概念与运算。 专题: 计算题。 分析: 把原函数关系中的无理式变形得到 y=

,然后把分子分母都乘以



使分母成为立方差公式,这样分母化为 1,得到 f(x)= ﹣ + ﹣

﹣ +…+

,再把 x=1,2,…,511 ﹣ = ﹣ ,

分别代入后求和可得到 f(1)+f(2)+…+f(511)= 然后求出 512 与 1 的立方根,即可得到答案. 解答: 解:∵

=

=

=

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www.jyeoo.com = ﹣ , ﹣ ﹣ , ,

∴f(1)= f(2)= … f(511)=



, ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ =8﹣1=7.

∴f(1)+f(2)+…+f(511)=

故答案为 7. 2 2 3 3 点评: 本题考查了立方差公式: (a﹣b) +ab+b )=a ﹣b .也考查了无理式的变形能力. (a 16.已知两组数 3,7,11,15,…和 5,8,11,14,…有许多相同的数,如 11 是它们第一个相同的数,那么它们的 第 20 个相同的数是 239 . 考点: 规律型:数字的变化类。 专题: 规律型。 分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式,从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值,再结合第一个 相同的数写出通式,然后把序数 20 代入进行计算即可得解. 解答: 解:第一组数 3,7,11,15,19,23,…,第 m 个数为 4m﹣1, 第二组数 5,8,11,14,17,20,23,…,第 n 个数为 3n+2, ∵3 与 4 的最小公倍数为 12, ∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为 12, ∵第一个相同的数为 11, ∴相同的数的组成的数列的通式为 12a﹣1, 第 20 个相同的数是:12×20﹣1=240﹣1=239. 故答案为:239. 点评: 本题是对数字变化规律的考查,确定出相同数的差值,从而得出相同数的通式是解题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (2011?呼和浩特)为了解我市 3 路公共汽车的运营情况,公交部门随机统计了某天 3 路公共汽车每个运行班次 的载客量,得到如下频数分布直方图.如果以各组的组中值代表各组实际数据,请分析统计数据完成下列问题. (1)找出这天载客量的中位数,说明这个中位数的意义; (2)估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少? (3)计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数. (注:一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数)

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www.jyeoo.com 考点: 频数(率)分布直方图;用样本估计总体;中位数。 分析: (1)从图上可看出中位数是 80,估计 3 路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过 80 人. (2)求出平均数,可代表 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是多少. (3)找出在平均载客量以上的班次算出这些人数的和然后除以总人数就可以了. 解答: 解: (1)80 人,估计 3 路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过 80 人; 分) (2 (2) 人,

因为样本平均数为 73, 所以可以估计 3 路公共汽车平均每班的载客量大约是 73 人; 分) (6 (3)在平均载客量以上的班次占总班次的百分数= . 分) (8

点评: 本题考查频数分布直方图,频数直方图表示每组数据里面的具体数是多少,以及中位数的概念有样本估计总 体等知识点.
2

18.已知抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=25 有公共点,且仅当 范围.

时抛物线在 x 轴上方,求 a、b、c 的取值

考点: 二次函数综合题。 2 2 2 分析: 根据题意 y=ax +bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点,即 ax +bx+c﹣25=0 有解,可得△ =b ﹣4a(c﹣25)≥0, 再根据不等式 ax +bx+c>0 的解是﹣ <x< ,结合一元二次不等式的解集的性质,可得 b、c 与 a 的关系, 代入△ =b ﹣4a(c﹣25)≥0 中,可得答案. 2 解答: 解:∵抛物线 y=ax +bx+c 与直线 y=25 有公共点, 2 ∴依题意 ax +bx+c﹣25=0 有解, 2 故△ =b ﹣4a(c﹣25)≥0, 又不等式 ax +bx+c>0 的解是:﹣ <x< , ∴a<0 且有 x1+x2=﹣ =﹣ ,x1x2= =﹣ . ∴b= a,c=﹣ a. ∴b=﹣c,代入△ ≥0 得 c +24c(c﹣25)≥0. ∴c≥24. 故得 a、b、c 的取值范围为 a≤﹣144,b≤﹣24,c≥24. 点评: 本题主要考查了二次函数与不等式的知识点,二次方程 ax2+bx+c=0,二次不等式 ax2+bx+c>0(或<0)与 2 二次函数 y=ax +bx+c 的图象联系比较密切,要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题. 19.如图,已知在△ ABC 中,D 是 AB 中点,DC⊥AC,cos∠DCB= ,求 sinA.
2 2 2 2

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www.jyeoo.com 考点: 解直角三角形。 专题: 数形结合。 分析: 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,设出 CD 边的长,可得出 DE、CE,则在 Rt△ ACD 中,各边的长均可用 CD 的边表示出来,代入 sin∠A 的表达式即可得出答案. 解答: 解:如图过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,

由 cos∠DCB=

= ,

设 CD=4x,则 CE=5x,DE=3x, ∵点 D 是 AB 中点,DE∥AC, ∴AC=2DE=6x, 在 RT△ ACD 中,AD= 故可得 sinA= = . =2 x,

点评: 本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识,要求掌握三角函数在直角三角形中的表示方法,难度一般.

20. (2009?孝感)如图,点 P 是双曲线 y 轴于 A、B 两点,交双曲线 y=

(k1<0,x<0)上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别交 x 轴、

(0<k2<|k1|)于 E、F 两点.

(1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= k2﹣k1 (用含 k1、k2 的式子表示) ; (2)图 2 中,设 P 点坐标为(﹣4,3) . ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论; ②记 S2=S△ PEF﹣S△ OEF,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.

考点: 反比例函数综合题。 专题: 压轴题;动点型。 分析: (1)由反比例函数的图形和性质可知:四边形 OAPB 面积为 K1,△ OAE 与△ OBF 面积之和为 K2,可求四 边形 PEOF 的面积; (2)①根据题意,易写点 A、B、E、F 坐标,可求线段 PA、PE、PB、PF 的长,发现 PA:PE=PB:PF, 又∠APB=∠EPF,依据相似三角形判定,可得△ APB∽△EPF,∠PAB=∠PEF,从而得出 EF 与 AB 的位置 关系.
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www.jyeoo.com ②如果过 E 作 EM⊥y 轴于点 M,过 F 作 FN⊥x 轴于点 N,两线交于点 Q.由 S△ EFQ=S△ PEF,可得出 S2 的 表达式,然后根据自变量的取值范围得出结果. 解答: 解: (1)四边形 PEOF 的面积 S1=四边形 PAOB 的面积+三角形 OAE 的面积+三角形 OBF 的面积=|k1|+k2=k2 ﹣k1; (3 分) (2)①EF 与 AB 的位置关系为平行,即 EF∥AB. 分) (4 证明:如图,由题意可得: A(﹣4,0) ,B(0,3) , ∴PA=3,PE= ∴ ,PB=4,PF= , , , ,



, 分) (6

又∵∠APB=∠EPF, ∴△APB∽△EPF, ∴∠PAB=∠PEF, ∴EF∥AB; 分) (7 ②S2 没有最小值,理由如下: 过 E 作 EM⊥y 轴于点 M,过 F 作 FN⊥x 轴于点 N,两线交于点 Q, 由上知 M(0, ) ,N( ,0) ,Q( , ) 分) (8

而 S△ EFQ=S△ PEF, ∴S2=S△ PEF﹣S△ OEF=S△ EFQ﹣S△ OEF=S△ EOM+S△ FON+S 矩形 OMQN = = = , (10 分)

当 k2>﹣6 时,S2 的值随 k2 的增大而增大,而 0<k2<12, (11 分) ∵k2=12 时 S2=24, ∴0<S2<24,S2 没有最小值. (12 分) 故答案为:k2﹣k1

点评: 此题难度较大,主要考查了反比例函数、二次函数的图象性质及相似三角形判定.同学们要熟练掌握相似三 角形的判定方法.
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www.jyeoo.com 21.当﹣1≤x≤2 时,求函数 y=f(x)=2x ﹣4ax+a +2a+2 的最小值,并求最小值为﹣1 时,a 的所有可能的值. 考点: 二次函数的最值。 专题: 分类讨论。 分析: 先求出抛物线对称轴 x=a,然后分①a≤﹣1,②﹣1<a<2,③a≥2 三种情况,根据二次函数的增减性解答; 然后根据最小值为﹣1,分别代入求解关于 a 的一元二次方程即可. 解答: 解:对称轴 x=﹣ =﹣ =a, ①a≤﹣1 时,﹣1≤x≤2 范围内,y 随 x 的增大而增大, 当 x=﹣1 时,y 最小,最小值 y=2×(﹣1) ﹣4a×(﹣1)+a +2a+2=a +6a+4, ②﹣1<a<2 时, 2 2 2 当 x=a 时,有最小值,最小值 y=2×a ﹣4a×a+a +2a+2=﹣a +2a+2, ③a≥2 时,﹣1≤x≤2 范围内,y 随 x 的增大而减小, 当 x=2 时,y 最小,最小值 y=2×2 ﹣4a×2+a +2a+2=a ﹣4a+10, 2 综上所述,a≤﹣1 时,最小值为 a +6a+4, 2 ﹣1<a<2 时,最小值为﹣a +2a+2, 2 a≥2 时,最小值为 a ﹣4a+10; ∵最小值为﹣1, 2 2 ∴a +6a+4=﹣1,整理得 a +6a+5=0, 解得 a1=﹣1,a2=﹣5, 2 2 ﹣a +2a+2=﹣1,整理得,a ﹣2a﹣3=0, 解得 a3=﹣1,a4=3, 2 2 a ﹣4a+10=﹣1,整理得,a ﹣4a+11=0, 2 △ =4 ﹣4×1×11=﹣28<0,方程无解, 综上所述,a 的所有可能值为﹣1、3、5. 点评: 本题考查了二次函数的最值问题,主要利用了二次函数的增减性,注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求 解. 22.等腰直角△ ABC 和⊙O 如图放置,已知 AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O 的半径为 1,圆心 O 与直线 AB 的距离 为 5.现△ ABC 以每秒 2 个单位的速度向右移动,同时△ ABC 的边长 AB、BC 又以每秒 0.5 个单位沿 BA、BC 方 向增大. (1)当△ ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时,点 B 移动了多少距离? (2)若在△ ABC 移动的同时,⊙O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动,则△ ABC 从开始移动,到它的边与圆最后 一次相切,一共经过了多少时间? (3)在(2)的条件下,是否存在某一时刻,△ ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积?若存在,求出恰好符合条 件时两个图形移动了多少时间?若不存在,请说明理由.
2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系;等腰直角三角形;切线长定理。 分析: (1)当△ ABC 第一次与圆相切时,应是 AC 与圆相切.如图,△ ABC 移至△ A′B′C′处,A′C′与⊙O 切于点 E,连 OE 并延长,交 B′C′′于 F.设⊙O 与直线 l 切于点 D,连 OD,则 OE⊥A′C′,OD⊥直 线 l.由切线长定理,以及直角三角形的性质可求得 CD 的值,进而求得 CC′的值,从而求得点 C 运动的
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www.jyeoo.com 时间,也就有了点运动的时间,点 B 移动的距离也就可求得了. (2)△ ABC 与⊙O 从开始运动到最后一次相切时,应为 AB 与圆相切,路程差为 6,速度差为 1,故从开 始运动到最后一次相切的时间为 6 秒. (3)若圆能在△ ABC 的内部时,则存在;若圆 O 不能在三角形的内部,则不存在;即求在(2)条件下, AC 与圆的位置关系即可. 解答:

解: (1)设第一次相切时,△ ABC 移至△ A′B′C′处,A′C′与⊙O 切于点 E,连 OE 并延长, 交 B′C′于 F. 设⊙O 与直线 l 切于点 D,连 OD,则 OE⊥A′C′,OD⊥直线 l. 由切线长定理可知 C’E=C′D,设 C′D=x,则 C′E=x,易知 C′F= x. ∴ x+x=1, ∴x= ﹣1, ∴CC’=5﹣1﹣( ﹣1)=5﹣ . ∴点 C 运动的时间为(5﹣ ∴点 B 运动的距离为(2﹣ )÷(2+0.5)=2﹣ )×2=4﹣ . .

(2)∵△ABC 与⊙O 从开始运动到最后一次相切时,是 AB 与圆相切,且圆在 AB 的左侧,故路程差为 6, 速度差为 1, ∴从开始运动到最后一次相切的时间为 6 秒. (3)∵△ABC 与⊙O 从开始运动到第二次相切时,路程差为 4,速度差为 1, ∴从开始运动到第二次相切的时间为 4 秒,此时△ ABC 移至△ A″B″C″处, A″B″=1+4× =3. 连接 B O 并延长交 A″C″于点 P,易证 B″P⊥A″C″,且 OP=




=

<1.

∴此时⊙O 与 A″C″相交, ∴不存在. 点评: 本题考查了直线与圆的相切,相交的概念,利用了切线长定理,等腰直角三角形的性质,

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: 马兴田;haoyujun;zhjh;星期八;HJJ;ZJX;sd2011;HLing;sch;733599;gsls;caicl;lk;zxw;自由人;心 若在;zhehe;dbz1018;CJX;345624;cair。 ;leikun;未来。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 23 日

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