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2014学年嘉定区高一年级第一次质量调研数学试卷、参考答案及评分意见


2014 学年嘉定区高一年级第一次质量调研 数 学 试 卷
考试时间:90 分钟 满分:100 分 2015 年 1 月

一 题号 1—12 得分

二 13—16 17 18

三 总分 19 20 21

得分

评卷人

一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接 填写结果,每题填对得 3 分,否则一律得零分.

1.函数 f ( x) ?

1 ? x ? 1 的定义域是___________________________. x

2.函数 y ? x ?2 的单调增区间是__________________. 3.已知 lg 2 ? a, lg 3 ? b ,试用 a , b 表示 lg 6 ? ___________. 4.若函数 f ( x) ? (a ? 1) 是指数函数,则实数 a 的取值范围是_________________.
x

5.若函数 f ( x ) ?

m ?1 ( x ? 0) 是减函数,则实数 m 的取值范围是_________________. x

6.已知函数 f ( x) ?
2

x ( x ? 0) ,记 y ? f ?1 ( x) 为其反函数,则 f ?1 (2) ?
a?2 ( a 是常数)是偶函数,则 a ? __________. x



7.若函数 f ( x ) ? x ?
2

8.已知函数 y ? x ? 2ax 在区间 [2,??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是___________.
x 9.已知函数 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ? x ,则 f (?1) ? ___________.

10.若函数 f ( x) ? a

x

( a ? 0 ,且 a ? 1 )在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大

则 a ? _______________. 11.若函数 y ?

a , 3

x?4 在区间 ( a, b) 上的值域是 (2,??) ,则 loga b ? . x?2 a x 12.若函数 y ?| a ? 1 | ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像与函数 y ? 的图像有两个公共点, 2
则 a 的取值范围是____________________________.

1

得分

评卷人

二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出四 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内, 每题选对得 3 分, 否则一律得零分. ( )

13.下列四组函数中,函数 f ( x) 与 g ( x) 表示同一个函数的是 A. f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2

C. f ( x) ? x0 , g ( x) ? 1 14.函数 f ( x) ?

x2 x ? x, x ? 0 D. f ( x) ?| x |, g ( x) ? ? ?? x, x ? 0
B. f ( x) ? x, g ( x) ? ( )

1 1 ? 1? x 1? x
B.是偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数
2 x

A.是奇函数 C.是非奇非偶函数

15.若关于 x 的方程 2 ? a 有负实数根,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (?1,1) B. (??,0) ? (0,??) C. (?1,0) ? (0,1) D. (??,?1) ? (1,??) 16.已知函数 f ( x) 对于任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ,则 f ( x) 在 R 上 ( ) A.是单调增函数 B.没有单调减区间 C.可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间 三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 得分 评卷人

17.(本题满分 8 分).

已知集合 A ? ? x

? x ?1 1 ? ? ? ,集合 B ? x x ? 1 ? 4 ,求 A ? B . ? x ? 2 2?

?

?

2

得分

评卷人

18. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分.

已知函数 f ( x) ? (a 2 ? a ? 1) xa ? 2 为幂函数,且为奇函数, 设函数 g ( x) ? f ( x) ? x . (1)求实数 a 的值及函数 g ( x) 的零点; (2)是否存在自然数 n ,使 g (n) ? 900 ?若存在,请求出 n 的值;若不存在,请说明 理由.

3

得分

评卷人

19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分.

某科技公司生产一种产品的固定成本是 20 000元,每生产一台产品需要增加投入 100

1 2 ? ?500x ? x (0 ? x ? 500), 元. 已知年总收益 R(元) 与年产量 x (台) 的关系式是 R( x) ? ? 2 ? ( x ? 500). ?125000
(1)把该科技公司的年利润 y (元)表示为年产量 x (台)的函数; (2)当年产量为多少台时,该科技公司所获得的年利润最大?最大年利润为多少元? (注:利润=总收益 ? 总成本)

4

得分

评卷人

20. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 5 分.

已知函数 f ( x) ? k ? 2x ? 2? x ( k 是常数) . (1)若函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,求 k 的值; (2)若对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 f ( x) ? 1 都成立,求 k 的取值范围.

5

得分

评卷人

21. (本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分, 第 3 小题 4 分.

已知函数 f ( x) ?

1 1 ? ( x ? (0,?? ) ) . m x

(1)求证:函数 f ( x) 是增函数; (2)若函数 f ( x) 在 [ a, b] 上的值域是 [2a,2b] ( 0 ? a ? b ) ,求实数 m 的取值范围; (3)若存在 x ? (1,??) ,使不等式 f ( x ? 1) ? 4 x 成立 , 求实数 m 的取值范围.

6

2014 学年嘉定区高一年级第一次质量调研数学试卷 参考答案与评分意见 一、填空题 1. [?1,0) ? (0,??) 6.4 7.2 2. (??,0) 9.? 2 3. a ? b 10. 或 4. (1,2) ? (2,??) 5. m ? ?1

8.a ? 2

2 3

4 3

11.3

12.0 ? a ? 1 或 1 ? a ? 2

二、选择题 13.D 14.A 三、解答题 17.解:由

15.C

16.C

x ?1 1 x ?1 1 x?4 ? 得 ? ? 0 ,即 ? 0 ,则 ( x ? 4)(x ? 2) ? 0 , x?2 2 x?2 2 2( x ? 2)

解得 x ? ?2 或 x ? 4 ,即 A ? (??,?2) ? (4,??) .………………………………4 分 又由 x ? 1 ? 4 得 ? 4 ? x ? 1 ? 4 ,解得 ? 3 ? x ? 5 ,即 B ? [?3,5] .……………7 分 所以 A ? B ? [?3,?2) ? (4,5] .………………………………………………………8 分

2 18.解: (1)令 a ? a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 0 或 a ? 1 .…………………………………1 分

2 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ,它不是奇函数,不符合题意; 3 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ,它是奇函数,符合题意.

所以 a ? 1 .
3

…………………………………………………………………………………3 分

此时 g ( x) ? x ? x .
3 令 g ( x) ? 0 ,即 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 .

所以函数 g ( x) 的零点是 x ? 0 . ………………………………………………………………5 分

(2)设函数 y ? x , y ? x .因为它们都是增函数,所以 g ( x) 是增函数.………………7 分
3

, g (10) ? 1010. 又因为 g (9) ? 738

……………………………………………………9 分

由函数的单调性,可知不存在自然数 n ,使 g (n) ? 900 成立. ………………………10 分

7

19.解: (1)由于年产量是 x 台,则总成本为( 20000 ? 100 x )元. 当 0 ? x ? 500 时, y ? 500 x ? 即 y??

1 2 x ? (20000 ? 100 x) , 2

1 2 x ? 400 x ? 20000 ;…………………………………………………………2 分 2

? (20000? 100x) ,即 y ? 105000? 100x .…………4 分 当 x ? 500 时, y ? 125000

? 1 2 ,0 ? x ? 500, ?? x ? 400x ? 20000 所以 y ? ? 2 ? ?105000? 100x, x ? 500.
这就是该科技公司的年利润 y (元)关于年产量 x (台)的函数关系式.……………6 分
2 (2)当 0 ? x ? 500 时, y ? ? ( x ? 400 ) ? 60000 ,

1 2

所以当 x ? 400 时, ymax ? 60000;

…………………………………………………9 分

? 100x 是减函数,所以 y ? 105000? 100x 当 x ? 500 时, y ? 105000
即 y ? 105000? 100x ? 105000? 100? 500 ? 55000. ……………………………11 分 综上,当 x ? 400 时, ymax ? 60000. 即当年产量为 400 台时,该科技公司所获得的年利润最大, 最大年利润为 60000 元.…………………………………………………………………12 分 20. (1)解法 1:由题意知 f (? x) ? ? f ( x) , 即 k ?2 即
?x

? 2x ? ?(k ? 2x ? 2? x ) , ………………………………………………………2 分

1 1 ? 2 x ? ?k ? 2 x ? x , x 2 2 1 x 即 ( k ? 1)( x ? 2 ) ? 0 对任意 x ? R 都成立,…………………………………………4 分 2 则得 k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 .…………………………………………………………5 分 k?
解法 2:因为函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,
0 0 令 x ? 0 ,所以 f (0) ? 0 ,即 k ? 2 ? 2 ? 0 ,即 k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 .……4 分

此时 f ( x) ? ?2 ? 2
x

?x

,因为 f (? x) ? ?2

?x

? 2x ,即 f (? x) ? ?(?2x ? 2? x ) ,

则 f (? x) ? ? f ( x) .所以当函数 f ( x) 是 R 上的奇函数, k ? ?1 .…………………5 分 (2)解法 1:由题意知对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 k ? 2 ? 2
x ?x

? 1 都成立.

8

1 ? 1 都成立. 2x 1 x 2 1 x x 因为 2 ? 0 ,则对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 k ? ?[( ) ] ? ( ) 都成立.…………7 分 2 2 1 x 1 1 2 令 t ? ( ) ,则 t ? [ ,8] ,且对于任意 t ? [ ,8] ,不等式 k ? ?t ? t 都成立, 2 4 4
即对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 k ? 2 ? ?
x

只需 k ? (?t 2 ? t )min 即可. 因为 t ? [ ,8] ,所以 ? t ? t ? [?56, ] ,
2

1 4

1 4

即 (?t 2 ? t )min ? ?56,因此 k ? ?56 .………………………………………………10 分 解法 2:由题意知对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 k ? 2 ? 2
x x ?x

? 1 都成立.

因为 2 ? 0 ,所以对于任意 x ? [?3,2] ,不等式 k ? (2x )2 ? 2x ? 1 ? 0 都成立.
x 2 令 t ? 2 ,则 t ? [ ,4] ,且对于任意 t ? [ ,4] ,不等式 k ? t ? t ? 1 ? 0 都成立.

1 8

1 8

又令 g (t ) ? k ? t 2 ? t ? 1.………………………………………………………………7 分 ①当 k ? 0 时, g (t ) ? ?t ? 1, g ( ) ?

1 8

7 ? 0 ,不符合题意; 8

?k ? 0 ? 1 ? 2 ②当 k ? 0 时,函数 g (t ) ? k ? t ? t ? 1图像的开口向上,则得 ? g ( ) ? 0 , ? 8 ? ? g (4) ? 0 ?k ? 0 ?1 1 ? 即 ?( ) 2 ? k ? ? 1 ? 0 ? k ? ? ; 8 ?8 2 ? ?4 ? k ? 4 ? 1 ? 0
2 ③当 k ? 0 时,函数 g (t ) ? k ? t ? t ? 1图像的开口向下,对称轴是直线 x ?

1 ( ? 0) , 2k

?k ? 0 1 ? 函数 g (t ) 在区间 [ , 4] 上是减函数,则得 ? 1 ,即 8 g( ) ? 0 ? ? 8

?k ? 0 ? , ?1 2 1 ( ) ? k ? ?1 ? 0 ? 8 ?8

解得 k ? ?56 . 综上, k ? ?56 .…………………………………………………………………………10 分

9

21. (1)证明:设 x1、x2 是区间 (0,??) 内的任意两个实数,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ?

1 1 1 1 ? , f ( x2 ) ? ? . m x1 m x2 1 1 1 1 1 1 x ?x ? ) ? ( ? ) ? ? ? 1 2 . ………………………2 分 m x1 m x2 x2 x1 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (

因为 x1、x2 ? (0,??) ,即 x1 x2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 . 于是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

因此,函数 f ( x) 是增函数.………………………………………………………………4 分

?1 1 ? ? 2a ? ?m a (2)解:由(1)知,函数 f ( x) 是增函数,则得 ? , ? 1 ? 1 ? 2b ? ?m b ? 2 1 2a ? ? a ? 1 ? 0 ? ? m 即 ? . ?2b 2 ? 1 ? b ? 1 ? 0 ? m ?
所以 a、 b 可视为方程 2 x ?
2

1 ? x ? 1 ? 0 的两个不相等的正实数根,……………6 分 m

1 2 ? ?? ? ( ? m ) ? 8 ? 0 ? 1 2 ? ? 0 ,解得 0 ? m ? 于是 ?a ? b ? .……………………………………8 分 2 m 4 ? 1 ? ?ab ? 2 ? 0 ?
(3)解法 1:不等式 f ( x ? 1) ? 4 x ,即为 即为

1 1 ? ? 4x , m x ?1

1 1 ? 4x ? .…………………………………………………………………9 分 m x ?1

因为 x ? (1,??) ,则 4 x ? 当且仅当 4( x ? 1) ?

1 1 1 ? 4( x ? 1) ? ? 4 ? 2 4( x ? 1) ? ? 4 ? 8, x ?1 x ?1 x ?1

1 3 2 ,即 4( x ? 1) ? 1,即 x ? 时,等号成立. ………11 分 x ?1 2 1 1 1 1 8m ? 1 ? 4x ? ? 8 ,即 ? 0, ? 8 ,即 8 ? ? 0 ,即 所以 m x ?1 m m m
10

解得 0 ? m ?

1 . 8 1 8

因此所求实数 m 的取值范围是 ( 0, ) .…………………………………………………12 分

1 1 ? ? 4x . m x ?1 1 1 2 ? 0. 因为 x ? (1,??) ,上述不等式即为 4 x ? ( 4 ? ) x ? 1 ? m m
解法 2:不等式 f ( x ? 1) ? 4 x ,即为

1 1 2 令 g ( x ) ? 4 x ? (4 ? ) x ? 1 ? ,则其图像对称轴是直线 x ? m m

4? 8

1 m .…………10 分

1 ? 4? ? ? m ?1 ① ? ,解得 m ? ? ; ? 8 ? ? g (1) ? 0

1 ? ?4 ? m ?1 ? ② ? 8 ,即 ? 1 2 1 ?? ? [?(4 ? )] ? 16(1 ? ) ? 0 m m ?
1 8

? ?0 ? m ? 4 ? 1 ,解得 0 ? m ? . ?m ? 0 8 ? 1 ?m ? 8 ?

综上,所求实数 m 的取值范围是 ( 0, ) . ………………………………………………12 分

11


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