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2.2.1--用样本的频率分布估计总体分布1


1.统计研究的对象是 数据 2.统计学的核心思想是
根据样本的情况对总体的相应情况作出估计和推断

3.统计学研究问题的步骤
三步骤:收集数据、整理数据、统计推断。即通过抽样方法收 集数据的目的是从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体。 4.随机抽样的三种常用方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样

我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.

2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市

铜仁市市政府为了节约生活用水,计划在本市试 行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量 标准a , 用水量不超过a的部分按平价收费,超过a的 部分按议价收费. (1)如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么 标准a定为多少比较合理呢? (2)为了较合理地确定这个标准,你认为需要做哪些工 作?

通过抽样,我们获得了100位居民某年的月平均用水量(单位: t) ,如下表:
3.1 2.5
3.4 3.2 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.8 2.6 2.7 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5

2.0
2.2 2.3

2.0
2.2 2.1

1.5
1.5 1.6

1.0
1.2 1.2

1.6
0.2 3.7

1.8
0.4 1.5

1.9
0.3 0.5

1.6
0.4 3.8

3.3 2.8

2.3
2.4 2.4 2.3 2.4 2.3 2.2

2.2
2.3 2.4 2.3 2.1 2.1 2.0

1.7
1.8 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5

1.3
1.4 1.3 1.3 1.4 1.0 1.0

3.6
3.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.2

1.7
1.9 1.8 1.6 1.5 1.7 1.8

0.6
0.8 0.7 0.9 0.5 0.8 0.6

4.1
4.3 2.0 2.3 2.4 2.4 2.2

这些数字告诉我们什么信息?

初中我们曾经学过频数分布图和频数分布表, 这使我们能够清楚地知道数据分布在各个小组的个 数.

下面将要学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个 小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来表示数据分布 的规律. 它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.具体做法如下

知识探究(一):样本频率分布表
第一步: 求极差(一组数据中的最大值与最小值的差). 4.3-0.2=4.1 第二步: 决定组距与组数: 组距:指每个小组的两个端点的距离;
j

组数:k=极差÷组距,若k为整数,则组数=k,否则,组数=[k]+1.
l

将数据分组,当数据在100个以内时, 按数据多少常分5-12组。 如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组,那么这些数据共分为 多少组? (4.3-0.2)÷0.5=8.2.

将8.2取整加1故可取组距=0.5,组数=9

知识探究(一):频率分布表
第三步:确定分点,将数据分组. 以组距为0.5将数据分组时,可以分成以下9组: [0,0.5),[0.5,1),?,[4,4.5]. 各组均为左闭右开区间,最后一组是闭区间 第四步:列频率分布表. 计算各小组的频率,作出下面的频率分布表.

知识探究(一):频率分布表
分组 频数累计 频数 频率
频率/组距

列频率分布表:
频率分布表一般分五列

[0,0.5) [0.5,1)

4
8 15 22 25 14 6 4 2 100

0.04
0.08 0.15 0.22 0.25 0.14 0.06 0.04

0.08 0.16 0.30 0.44

[1,1.5) 1、“分组”, [1.5,2) 2、“频数累计(可省), 3、“频数”, [2,2.5) 4、“频率”, [2.5,3) 5、“频率/组距” [3,3.5) 最后一行是合计 [3.5,4) [4,4.5] 合计

0.50 0.28
0.12 0.08

第几组频数 第几组频率 ? 样本容量

0.02 1.00

0.04

频数的合计为 样本容量

频率合计为1

知识探究(二):频率分布直方图
为了直观反映样本数据在各组中的分布情况,我们将上述频 率分布表中的有关信息用下面的图形表示:

第一步:画平面直角坐标系 0.50 .
0.40

频率/组距

y轴:频率/组距

第二步:在横轴上均匀标 出各组分点,在纵轴上 标出单位长度.

0.30 0.20 0.10

月均用 水量/t

第三步:以组距为宽,各组的频率 与组距的商为高,分别画出各组对 应的小长方形.

O 0.5

1

1.5 2

2.5 3

3.5 4 4.5

x轴:数据单位

知识探究(二):频率分布直方图
频率/组距

宽度:组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

频率 高度: 组距

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

各组的频率在图中哪里显示出来?

小长方形的面积= 组距×

频率
组距

= 频率

各小长方体的面积之和是否为定值? 各小长方形的面积之和为1.

你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数 据特点吗? 频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的,而且是“ 单峰”的; (2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近,只 有少数居民的月均用水量很多或很少; (3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.

问题: 对一组给定的样本数据,频率分布直方图的外观形状 与哪些因素有关?
同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到

的图和形状也会不同。下面给出以0.1和1为组距重新作出的频率
分布直方图。

问题:频率
组距 如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过 0.5 0.4 标准,根据上述频率分布表,你对制定居民月用水量标准 0.3 0.25 (即a的取值)有何建议? 0.2 0.22 0.1 0.14
O 0.04

0.15 0.08

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0.06 0.04 0.02

月均用水量/t

若将标准a定为2.5,则

( 0.14+ 0.06+ 0.04+ 0.02 ) ?1000 ? 26 0 0 0

若将标准a定为3,则
( 0.06+ 0.04+ 0.02 ) ?1000 ? 12 0 0 0

74%的居民在 2.5t以下

88%的居民在3t以下,标准可定为3t.

频率分布直方图如下:
频率/组距 连接频率分布直方图中各 小长方形上端的中点,得到 频率分布折线图.

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 o 月均用水量/t

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

4.5

利用样本频率分布对总体分布进行相应估计:
(1)上例的样本容量为100,如果增至1 000,其频率分 布直方图的情况会有什么变化?假如增至10 000呢? (2)样本容量越大,这种估计越精确. (3)当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么频率分

布直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线
.

总体密度曲线

频率/组距

o a b (图中阴影部分的面积,表示总体在某个区间 (a, b) 内取值的百分比).

月均用 水量/t

理论迁移
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构, 随机抽样50名,其年龄分别如下: 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44, 40,59,39,42,44,50,37,44,45,29, 48,45,53,48,37,28,46,50,37,44, 42,39,51,52,62,47,59,46,45,67, 53,49,65,47,54,63,57,43,46,58. (1)列出样本频率分布表; (2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图; (3)估计年龄在32~52岁的知识分子所占的比例 约是多少.

(1)极差为67-28=39,取组距为5,分为8组 . 样本频率分布表:
分 组 [27,32) [32,37) [37,42) [42,47) [47,52) [52,57) [57,62) [62,67] 合 计 频数
3 3 9
16

频率
0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00

频率/组距
0.012 0.012 0.036 0.064 0.028 0.020 0.016 0.012
0.200

7 5 4
3

50

(2)样本频率分布直方图:

频率/组距

0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010
O 27

0.32

0.18
0.06
32 37 42

0.14
47 52 57 62 67 年龄

(3)因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7,故年龄在
32岁~52岁的知识分子约占70%.

探究三 频率分布表及频率分布直方图的应用
变式练习 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学

生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率 分布直方图 ( 如图 ) ,图中从左到右各小长方形面积之比为 2∶4∶17∶ 15∶9∶3,第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次 )为达标, 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少?

(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本,其频 率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直 方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频

数为(
(A)18 (C)54


(B)36 (D)72

小结: 频率分布直方图步骤:
一、求极差,即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 :组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间, 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表 五、画出频率分布直方图(纵轴表示频率/组距)

频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在 各个小组的频率的大小.


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