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三角函数的性质及其应用


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数 学 通 讯               2005 年第 8 期

三角函数的性质及其应用
党效文  刘康宁
( 西安高新一中 , 陕西   710075)  ( 西安铁一中 , 陕西   710054)

   三角函数的性质主要包括有界性 、 单调 性、 奇偶性和周期性 . 另外 , 以下两个性质也 应给予重视 . π , 则 sin x < x < tan x . 2 π sin x 2) y = 在 ( 0 , ) 上是减函数 ; y = x 2 π tan x 在 ( 0 , ) 上是增函数 . x 2
1) 若 0 < x <

≤ 1. ∴ 0≤ sin2α 1 8 ≤ . 9 9

2 2 于是 0 ≤ sinα sinβ≤ . 3 若 sinα和 cosβ同负 , 同样也得到这个结

果. 综上所述 , sinαsinβ 的取值范围是 [ 0 ,
2 2 ]. 3
) 2 的取值范围 , 说明   若先求 ( sinαsinβ

这两个性质的证明在许多竞赛书刊上都 可以查找到 , 这里从略 . 需要指出的是 , 利用 这两个性质可以解决一些混合型不等式问 题. 例 1   ( 第 11 届希望杯数学邀请赛试 β = 1 , α, β ∈[ 0 , 2 π) , 则 题) 已 知 sinα cos 3 sinα sinβ的取值范围是     . β= 1 , 可 讲解  为了应用条件 sinα cos 3 将 sinβ用 cosβ 表示 , 但可能出现正 、 负两种 情况 , 因此需要进行分类讨论 . β= 由 sinα cos 号. 若 sinα 和 cosβ 同正 , 则由题设知 0 < α π π β< . ≤ ,0 ≤ 2 2 ∴ sinαsinβ =
sinα 1 - cos2β = 1 > 0 知 , sinα 与 cosβ 同 3

可能会使 sinα sinβ的范围扩大 . 例 2  求所有的常数 c , 使得 f ( x ) =
arctan 2- 2x 1 1 + c 在区间 ( , ) 上为奇函 1+4x 4 4

数. 讲解   若由恒等式 f ( - x ) = - f ( x ) 求
c 的值 , 就非常困难 . 若注意到 0 ∈( -

1 , 4

1 ) , 利用 f ( 0) = 0 很容易求得 c 的值 , 但必 4

须代入验证 .
1 1 ∵f ( x ) 在区间 ( , ) 上是奇函数 , 4 4 ∴ f ( 0 ) = arctan2 + c = 0 , 得 c = - arctan2 .

下面证明 :在区间 ( arctan

1 1 , ) 上 , f ( x) = 4 4

β )2 = sin2α- ( sinα cos

1 . 9 β = 1 , 还可以得到 1 ≤sinα 由 sinα cos 3 3 sin2α -

2- 2x - arctan2 是奇函数 . 1+4x 1 1 ) 时, 函数 u ( x ) = 当 x ∈( , 4 4
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2- 2x 3 ). ∈( , + ∞ 1+4x 4

∴f ( x ) = arctan [ u ( x ) ] - arctan2 ∈
(arctan

π 3 - arctan2 , - arctan2 ) 4 2

( -

π , 2

π π π π < f ( x) < , < g ( x) < . 2 2 2 2 π 1 ) 若 0 ≤f ( x ) < , 则由题设得 2 π π π < g ( x) < - f ( x) ≤ . 2 2 2 ∴π π , ]上是增函数 . 2 2 π ∴ sin [ g ( x ) ] < sin [ - f ( x ) ] = cos [ f 2 ∵y = sin t 在 [ ( x ) ].

π ). 2 ∴ 当 x ∈( π π , ). 2 2
2- 2x 又 tan [ f ( x ) ] = tan ( arctan 1+4x arctan2) = - 2 x , tan [ - f ( - x ) ] = tan ( arctan2 - arctan 2+2x ) = - 2x, 1- 4x 1 1 , ) 时 , - f ( - x ) ∈( 4 4

2) 若 -

π < f ( x ) < 0 , 则由题设得 2 π π π < g ( x) < + f ( x) < . 2 2 2 π + f ( x) ] 2

∴ sin [ g ( x ) ] < sin [
= cos [ f ( x ) ].

∴ tan [ f ( x ) ] = tan [ - f ( - x ) ]. π π , ) , 2 2 ∴f ( x ) = - f ( x ) , 即 f ( x ) 为奇函数 . ∵f ( x ) , - f ( - x ) ∈( 综上所述 , c = - arctan2 . 说明  要由 tan [ f ( x ) ] = tan [ - f ( x ) ]得到 f ( x ) = - f ( - x ) , 证明 f ( x ) ,

综合 1) , 2) , 对任意 x ∈R , 均有
cos [ f ( x ) ] > sin [ g ( x ) ].

说明   注意到对任意实数 x , 均有 | cos x π π ±x ) | ≤ 2 < , 根据例 4 2 3 , 可得如下结论 :对任意实数 x , 均有 ± sin x | = 2| sin (
cos ( cos x ) > sin ( sin x ) .

π π - f ( - x ) ∈( , ) 是必要的 . 2 2 例3  设函数 f ( x ) , g ( x ) 对任意实数 π π π < f ( x) + g ( x) < ,且 < 2 2 2 π f ( x ) - g ( x ) < . 求证 : 对任意实数 x , 均 2 有 cos [ f ( x ) ] > sin [ g ( x ) ].
x , 均有 -

π ) 内存在唯一 2 的一对实数 α,β,α < β, 且使得 sin ( cosα) = 例4  求证 : 在区间 ( 0 , α, cos ( sinβ ) = β成立 . 讲解   根据题目的特点 , 构造函数 f ( x )
= sin ( cos x ) - x , x ∈[ 0 ,

π ] , 则 f ( x ) 在其 2

定义域上为连续函数 . 任取 x 1 , x 2 ∈[ 0 , π ≤ ,则 2
f ( x 1 ) = sin ( cos x 1 ) - x 1 , f ( x 2 )

讲解   根据欲证不等式的特点 , 可考虑 应用正 ( 余) 弦函数的单调性 , 但首先必须判 断函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的取值范围 . π π π ∵< f ( x) + g ( x) < , < 2 2 2 π f ( x) - g ( x) < , 2

π ] , 使得 0 ≤ x 1 < x 2 2

= sin ( cos x 2 ) - x 2 .

由于 y = cos t 在 [ 0 ,

π ] 上是减函数 , 所 2
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以 cos x 1 > cos x 2 , 且 cos x 1 , cos x 2 ∈[ 0 ,

π ]; 2

= cos (π m x ) ? cos [π( t 1 3 + t 2 3 ) x ] 是周期函

π 又 y = sin t 在 [ 0 , ] 上是增函数, 所以 2 sin ( cos x 1 ) > sin ( cos x 2 ) . 又 - x 1 > - x 2 , 所以 sin ( cos x 1 ) - x 1 >
sin ( cos x 2 ) - x 2 , 从而 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) , 故

数. 讲解   这是一道三角函数与二次方程的 综合题 , 由 t 1 3 + t 2 3 的结构容易联想到根与 系数的关系 , 但这只是解题后期要做的代换 工作 , 关键是解题的切入点 . 函数 f ( x ) 的周期不知道 , 只能根据周 期函 数 的 定 义 , 应 用 恒 等 式 f ( x + T ) =
f ( x ) , 逐步将三角函数转化为代数函数来解

π ]上是减函数 . 2 π π ∵f ( 0) = sin1 > 0 , f ( ) = <0, 2 2 π ∴ 方程 f ( x ) = 0 在区间 ( 0 , ) 上有唯 2 一的实根 .
f ( x) 在[0 ,

决 . 由于解题方向的发展难以预测 , 我们先向 前走一步再进行定向 . 设 T 为函数 f ( x ) 的最小正周期 , 则有 πm T ) ? f ( T ) = f ( 0 ) , 即 cos ( cos [π( t 1 3
+ t 23) T ] = 1 .

故存 在 唯 一 实 数 α ∈ ( 0 ,
) = α成立 . sin ( cosα

π ) , 使得 2 π ) ,使 2

同理可证 , 存在唯一实数 β∈( 0 ,
) = β成立 . 得 cos ( sinβ ) = β, 且 β∈( 0 , ∵ cos ( sinβ ) ] = sinβ ∴ sin [ cos ( sinβ .

根据余弦函数的有界性 , 得 πm T ) | = 1 , | cos (

π ) , 2

π( t 1 3 + t 2 3 ) T ]| = 1 . | cos [ ∴
k1 ≠ 0) .

πm T = k 1 π,

π π 又 sinβ∈( 0 , ) , 而在 ( 0 , ) 内只有唯 2 2 一的实数 α, 使 sin ( cosα) = α 成立 , 故 α =
sinβ.

π( t 1 3 + t 2 3 ) T = k 2 π
3 3

( k 1 , k 2 ∈Z , 且

两式相除 , 得 π 时 , sin x < x , 则 sinβ < 2

t1 + t2 k2 = m k1
3

( 1)

而当 0 < x < β, 于是 α< β.

由于 k 1 , k 2 为整数 , 所以 ( 1) 式的右边为 有理数 . 从而 , 对任何非零实数 m , 恒为有理数 . 根据数论的有关知识 , 只能有 t 1 3 + t 2 3
= 0.
t1 + t2 m
3

综上所述 , 命题成立 . 说明   本题应用了基本不等式 :若 0 < x π π , 则 sin x < x . 事实上 , 当 x ≥ 时 , sin x 2 2 < x 显然成立 . 因此 , 这个基本不等式可推广
<

∵t 1 3 + t 2 3 = ( t 1 + t 2 ) ( t 1 2 - t 1 t 2 + t 2 2 )
= 0 , 且 t 12 - t 1 t 2 + t 22 > 0 ,

为 :若 x > 0 , 则 sin x < x . 例5  设 t 1 , t 2 是方程 t 2 - ( 5 a - 2 ) t 3 a2 - 7 a + 1 = 0 的两个不相等的实根 . 求实

∴t 1 + t 2 = 0 . 由韦达定理 , 得 5 a - 2 = 0 , 即 a =
2 . 5

根 a , 使得对于任何非零实数 m , 函数 f ( x )

说明   本题入手较困难 , 解题过程主要
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应用了周期函数的定义 、 三角函数的有界性 和数论的简单知识 , 是一道难得的好题 . π, 求证 : 例6  已知 0 ≤a ≤ 1 , 0 ≤x ≤
( 2 a - 1) sin x + ( 1 - a) sin ( 1 - a) x ≥ 0.

说明   这是一道难度较大的三角不等式 证明题 , 我们首先证明了两种特殊条件下不 等式成立 , 再证明当 0 ≤a <
1 π时 ,0 < x ≤ 2

不等式也成立 . 在证明后者时 , 首先将性质
2) 作了推广 : y = sin x
x

讲解   当 x = 0 时 , 不等式显然成立 ;
1 π, 得 2 a - 1 当 ≤a ≤ 1 时 , 由 0 ≤x ≤ 2

在 ( 0 ,π] 上是减函数 .

应用这个推广命题给出了一个漂亮的证法 . 习  题

≥ 0 , sin x ≥ 0 ,1 - a ≥ 0 , sin ( 1 - a ) x ≥0 , 则 不等式成立 . 下面证明 :当 0 ≤a <
1 π时 , 不 ,0 < x ≤ 2

1 . 已知 0 < x < cot x +

等式 ( 2 a - 1) sin x + ( 1 - a ) sin ( 1 - a ) x ≥0 也可成立 . ∵ sin x 在 [ ∴ f ( x) 又 f ( x) ∴ f ( x) π π]上是减函数 . , 2 π sin x = 在 [ ,π]上是减函数 . x 2 π sin x = 在 ( 0 , ) 上是减函数 , x 2 sin x = 在 ( 0 ,π]上是减函数 .
x

π , 则函数 y = tan x + 2

1 1 (    ) 的值域是 sin x cos x ( A) ( - ∞, + ∞ ) .    (B) ( 0 , + ∞ ). ( C) ( 1 ). ,+ ∞ 2 sin x
x

( D) ( 1 , + ∞ ).
,(

2. 当 0 < x < 1 时 ,

sin x
x

)2,

sin x 2
x
2

的大小关系是
( A) sin x
x x x x
2

(    )

<(

sin x
x x

)2 <

sin x 2
x x x
2

. .

1 π, ∵ 0 ≤a < , 0 < x ≤ 2

π. ∴ 0 < ( 1 - a) x < x ≤ ∴
sin x
x

(B) ( ( C) ( D)

sin x

)2 <

sin x

<

sin x 2
2

sin ( 1 - a ) x < , 得 sin x < ( 1 - a) x

sin x 2 sin x 2
2

<

sin x
x x

<(

sin x

) 2. .

sin ( 1 - a) x . 1- a

<(

sin x

)2 <

sin x
x

又 ( 1 - a) 2 = 1 - 2 a + a2 ≥ 1 - 2a >0,
1 1- a sin ( 1 - a) x ∴ < , ∴ < 1- a 1- 2a 1- a 1- a sin ( 1 - a) x . 1- 2a

3 . 使不等式 n sin1 > 5cos1 + 1 成立的最

小正整数 n 的值是

.

4 . 如果圆 x 2 + y 2 = r2 ( r > 0 ) 至少覆盖

函数 f ( x ) = 3 sin

πx
r

的一个最大值点和一
.

∴ sin x <

1- a sin ( 1 - a) x . 1- 2a

个最小值点 , 则 r 的取值范围是

即 ( 2 a - 1 ) sin x + ( 1 - a ) sin ( 1 - a ) x
> 0.

5 . ( 1999 年全国高中数学联赛试题 ) 求

实数 a 的取值范围 , 使不等式 sin2θ - ( 2 2 综上所述 , ( 2 a - 1 ) sin x + ( 1 - a ) sin ( 1
+ 2 a ) sin (θ +

π ) 4

2 2 cos (θ-

- a) x ≥ 0.

π > - 3 - 2a ) 4
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数 学 通 讯               2005 年第 8 期 π r , 得 f ( x ) 距原点最近的一个最大值点 P ( , 2 2
3) ,则 (
r

对θ∈[ 0 ,

π ]恒成立 . 2 6 . ( 第 14 届希望杯数学邀请赛试题 ) 已

知关于 x 的方程 2cos2 x - sin x + a = 0 在区 间[0 , π 7 ]上恰有两个不相等的实根 , 求实数 6
x

2

) 2 + ( 3 ) 2 ≤r2 . 解得 r ≥ 2.

θ( 1 ≤x ≤ 2 ) , 5 . 设 x = sinθ+ cos 则 sin2θ= x 2 - 1 , sin (θ +
2
. 于是 , 原不等式可化为
2 x - 1 - ( 2 + a) x -

π π ) = cos (θ ) = 4 4

a 的取值范围 .

7 . 已知函数 f ( x ) = sin (

π π k
5 + 2

) 的最小

4
x

+3 +2a>0,

正周期大于 1 , 并且当自变量 x 在任意两个 整数间 ( 包括整数本身 ) 变化时 , 函数 f ( x ) 至少有一个极大值 1 和一个极小值 - 1 . 求 证 : k 为无理数 . 答案? 提示
1. ( D ) . y = sin x + cos x cos x - sin x + = sin x cos x sin x cos x
2 2

2 即 ( x - 2) ( x + - a) > 0 .
x

因为 x - 2 < 0 , 所以 a > x + 成立 . 易知 y = x +
2
x

2
x

对 x ∈[ 1 , 2 ]恒

在 [ 1 , 2 ]上是减函数 ,
2
x ) max = 3 . 故 a > 3 .

则当 x = 1 时 , ( x +

6 . 由题设得 a = 2sin2 x + sin x - 2 = 2 ( sin x +

1 + cos x - sin x . 令 t = cos x - sin x ( - 1 < t < 1 ) , 则 sin x cos x sin x cos x = 1- t 2 .故 y = > 1. 2 1- t π 2 2 . (B) . 因为 0 < x < 1 < , 所以 0 < x < x < 1 2
2

π 1 2 17 7 1 ) . 又 0 ≤x ≤ , 所以 ≤sin x ≤ 1 . 于是 4 8 6 2
17 ≤a ≤ 1. 8

π, 但是 , 当 a = - 2 时 , x 有 0 , 当 a=1时, x 有 当 a= 要求 . 故 a 的取值范围是 ( π 这一个值 ; 2

π 7 三个值 ; 6

<

π sin x sin x 2 ,则 0 < < 1 ,0 < 2 < 1. 2 x x 又 y= 所以
sin x
x x

17 时 , x 也只有一个值 . 这些均不符合 8

在 ( 0 , 1) 上是减函数 ,
sin x 2
x
2

sin x sin x
x x

<
.

. 再由指数函数的单调性 , 得

17 , - 2) ∪( - 2 , 1) . 8

(

sin x
x

)2 <

7 . 显然 , x = 0 是函数 f ( x ) 的一个极大值点 , 记 sin x
x

故(

sin x

)2 <

<

sin x 2
x
2

.

为 x 1 , 而 x 轴正方向上的极值点组成一个公差为 的等差数列 , 则 x n = x 1 +
n- 1

T

2

π π 3. 5.   由 sin > sin1 , cos1 > cos 及题设得 3 3 π π n sin > n sin1 > 1 + 5cos1 > 1 + 5cos ,即 n > 3 3 2+5 7 = 5. 3 > 4 ,故 n ≥ 3 3
4 . [ 2 , + ∞) .  因为 f ( x ) = 3 sin

2

?T . 其中当 n 为奇

数时 , x n 为极大值点 ; 当 n 为偶数时 , x n 为极小值 点 . 由题设得
= x2 - x1 ≤ 1 ,得 1 < T ≤ 2. 2 π 2 π, 则 k 为无理数 . 当 T= = 2 时 , | k| = 5 k | | 5
T

πx
r

为奇函

当 1 < T < 2 时 , 用反证法可证明 k 也是无理数 .

数 , 其图象关于原点成中心对称图形 , 故圆 x 2 + y 2 πx = r2 只要覆盖 f ( x ) 的一个最值点即可 . 令 =
r ( 收稿日期 :2005 - 01 - 08)

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