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单位圆与三角函数线


双基达标 ?限时20分钟? 1.如图在单位圆中角 α 的正弦线、正切线

完全正确的是 A.正弦线 PM,正切线 A′T′ B.正弦线 MP,正切线 A′T′ C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 解析 根据单位圆中的三角函数线可知 C 正确. 答案 C

(

).

3π 2.如果 MP、OM 分别是角 α=16的正弦线和余弦线,那么下列结论正确的是 ( A.MP<OM<0 C.MP>OM>0 解析 如图可知,OM>MP>0. ).

B.MP<0<OM D.OM>MP>0

答案 D π 5π π 4π π 5π 3.有三个命题:①6与 6 的正弦线相等;②3与 3 的正切线相等;③4与 4 的余弦 线相等.其中真命题的个数为 A.1 C.3 B.2 D.0 ( ).

π 5π π 4π π 解析 根据三角函数线定义可知,6与 6 的正弦线相等,3与 3 的正切线相等,4与 5π 4 的余弦线相反.

答案 B

4.若 sinθ≥0,则 θ 的取值范围是________. 解析 sinθ≥0,如图利用三角函数线可得 2kπ≤θ≤2kπ+π,k∈Z. 答案 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) π 5.比较大小:sin1________sin3(填“>”或“<”). π π π 解析 0<1<3<2,结合单位圆中的三角函数线知 sin1<sin3. 答案 < 6.已知点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,若 α∈[0,2π),求 α 的取值范围.

解 ∵点 P 在第一象限内, ∴{sin α-cos α>0,?tan α>0, ∴{sin α>cos α,?tan α>0. π π 5π 结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 0≤α<2π.可知4<α<2或 π<α< 4 . 综合提高 ?限时25分钟? 7.不论角 α 的终边位置如何,在单位圆中作三角函数线时,下列说法正确的是 ( ).

A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但可能不只一条 C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在 解析 由三角函数线概念及三角函数定义可知 D 正确. 答案 D

5π 2π 2π 8.设 a=sin 7 ,b=cos 7 ,c=tan 7 ,则 A.a<b<c C.b<c<a B.a<c<b D.b<a<c

(

).

5 2 2 解析 如图,在单位圆 O 中分别作出角7π、7π、7π 的正弦线 M1P1,余弦线 OM2、 5 2 正切线 AT.由7π=π-7π 知 M1P1=M2P2, π 2 π 又4<7π<2,易知 AT>M2P2>OM2, 2 5π 2π ∴cos7π<sin 7 <tan 7 ,故 b<a<c. 答案 D 9.若单位圆中角 α 的余弦线长度为 0,则它的正弦线的长度为________. 解析 角 α 的终边在 y 轴上,其正弦线的长度为 1. 答案 1 10.若 α 为锐角,则 sinα+cosα 与 1 的大小关系是________.

解析 如图所示, sinα=MP,cosα=OM, 在 Rt△OMP 中,显然有 OM+MP>OP, 即 sinα+cosα>1. 答案 sinα+cosα>1 11.利用单位圆中的三角函数线,分别确定角 θ 的取值范围. 3 (1)sinθ≥ 2 ; 1 3 (2)-2≤cosθ< 2 .

π 2π 解 (1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围,即 2kπ+3≤θ≤2kπ+ 3 ,k ∈Z. 2 π π (2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围,即 2kπ-3π≤θ<2kπ-6或 2kπ+6 2 <θ≤2kπ+3π,k∈Z.

π? ? 12.(创新拓展)求证:当 α∈?0,2?时,sinα<α<tanα. ? ?

证明 如图,设角 α 的终边与单位圆相交于点 P,单位圆与 x 轴正半轴交点为 A, 过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于 T,过 P 作 PM⊥OA 于 M,连接 AP,则: 在 Rt△POM 中,sinα=MP; 在 Rt△AOT 中,tanα=AT; 又根据弧度制的定义,有 AP =α· OP=α, 易知 S△POA<S 扇形 POA<S△AOT, 1 1 即2OA· MP<2 即 sinα<α<tanα. 1 · OA<2OA· AT,


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