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江安县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

江安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题 班级__________ 一、选择题
1. 定义:数列{an}前 n 项的乘积 Tn=a1?a2?…?an,数列 an=29﹣n,则下面的等式中正确的是( A.T1=T19 B.T3=T17 C.T5=T12 D.T8=T11 ) )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 在复平面内,复数 A. ?3 ? i A. B.

z 所对应的点为 (2, ?1) , i 是虚数单位,则 z ? ( 1? i B. ?3 ? i C. 3 ? i D. 3 ? i
D. )

3. 在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( C.



4. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B.

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

3

5. 设 m 是实数,若函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数,但不是偶函数,则下列关于函数 f (x)的性质叙述正确的是( C.m=±1 D.最小值为﹣3 ) ) A.只有减区间没有增区间 B.是 f(x)的增区间

6. 设集合 M={x|x>1},P={x|x2﹣6x+9=0},则下列关系中正确的是( A.M=P B.P? M C.M? P D.M∪P=R 7. 命题:“?x>0,都有 x2﹣x≥0”的否定是( A.?x≤0,都有 x ﹣x>0 C.?x>0,使得 x2﹣x<0
2

) B.?x>0,都有 x2﹣x≤0 D.?x≤0,使得 x2﹣x>0 )

8. 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

A.

B.

C.

D. )

9. 设 i 是虚数单位,若 z=cosθ+isinθ 且对应的点位于复平面的第二象限,则 θ 位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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10.已知函数 f(x)=2x﹣

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等 )

差数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 D.f′(x0)的符号无法确定

11. ?ABC 的外接圆圆心为 O ,半径为 2, OA ? AB ? AC 为零向量,且 | OA |?| AB | ,则 CA 在 BC 方向上 的投影为( A.-3 ) C.3 D. 3 ) B. ? 3

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

12.给出下列结论:①平行于同一条直线的两条直线平行;②平行于同一条直线的两个平面平行; ③平行于同一个平面的两条直线平行;④平行于同一个平面的两个平面平行.其中正确的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

二、填空题
1 13.已知函数 f ? x ? ? x3 ? mx ? , g ? x ? ? ? ln x . min ?a, b? 表示 a , b 中的最小值,若函数 4 h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0? 恰有三个零点,则实数 m 的取值范围是 ▲ .

???? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a , b ? 0 )的左、右焦点,点 P 在双曲线上,满足 PF 1 ? PF 2 ?0, 2 a b 3 ?1 若 ?PF1F2 的内切圆半径与外接圆半径之比为 ,则该双曲线的离心率为______________. 2
14. F1 , F2 分别为双曲线 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质,直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识,意在考查 基本运算能力及推理能力. 15.f(x)=x(x﹣c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 . 14.已知集合 16.若非零向量 17.已知集合 A ? 的元素个数是 , 满足| + ,若 3∈M,5?M,则实数 a 的取值范围是 |=|
2

. .



|,则



所成角的大小为

?? x ,y ? x ,y ? R ,x
.

? y 2 ? 1 , B ? ? x ,y ? x ,y ? R ,y ? 4x2 ? 1 ,则 A ? B

?

?

?

三、解答题
18.已知曲线 C1:ρ=1,曲线 C2: (t 为参数)

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(1)求 C1 与 C2 交点的坐标; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′与 C2′,写出 C1′与 C2′的参数方程, C1 与 C2 公共点的个数和 C1′与 C2′公共点的个数是否相同,说明你的理由.

2015-2016 学年安徽省合肥 168 中学高三(上)10 月月考数学试卷(理科)

19.(本题满分 15 分)

1 1 ? ? d ( d 为常数, n ? N * ),则称 ? xn ? 为调和数列,已知数列 ?an ? 为调和数 xn ?1 xn 1 1 1 1 1 列,且 a1 ? 1 , ? ? ? ? ? 15 . a1 a2 a3 a4 a5
若数列 ? xn ? 满足: (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)数列 {

2n } 的前 n 项和为 Sn ,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 ?若存在,求出 n 的取值集合;若不存 an

在,请说明理由. 【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识,意在考查运算求解能力.

20.(本题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= n(an+1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

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21.【常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测(一)】已知函数 (1)求实数 b 和 c 的值; 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由;

f ? x ? ? x3 ? ? a ? 4? x2 ? ? 4a ? b? x ? c ? a, b, c ? R ? 有一个零点为 4,且满足 f ? 0? ? 1.

(2)试问:是否存在这样的定值 x0 ,使得当 a 变化时,曲线 y ? f ? x ? 在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线互相平行? (3)讨论函数 g ? x ? ? f ? x ? ? a 在 ? 0, 4 ? 上的零点个数.

?

?

22.△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= (Ⅰ)求 ;
2 2 (Ⅱ)若 c =b +

a.

a2,求 B.

23.如图,四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 BCD,AC=AB,CB=CD,∠DCB=120°,点 E 在 BD 上,且 CE=DE. (Ⅰ)求证:AB⊥CE;

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(Ⅱ)若 AC=CE,求二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值.

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江安县第二中学 2018-2019 学年上学期高三数学 10 月月考试题(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C
9 n 【解析】解:∵an=2 ﹣ , 8+7+…+9﹣n = ∴Tn=a1?a2?…?an=2 8 19 ∴T1=2 ,T19=2﹣ ,故 A 不正确

T3=221,T17=20,故 B 不正确 T5=230,T12=230,故 C 正确 T8=236,T11=233,故 D 不正确 故选 C 2. 【答案】D 【解析】解析:本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算, 3. 【答案】C 【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个,
3 而在 8 个点中选 3 个点的有 C8 =56,

z ? 2 ? i , z ? (1 ? i)(2 ? i) ? 3 ? i ,选 D. 1? i

所以所求概率为 故选:C

=

【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 4. 【答案】D 【 解 析 】

考 点:不等式的恒等变换.

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5. 【答案】B 【解析】解:若 f(x)=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在 R 上的奇函数, 则 f(0)=|m|﹣1=0,则 m=1 或 m=﹣1, 当 m=1 时,f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0,此时为偶函数,不满足条件, 当 m=﹣1 时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,此时为奇函数,满足条件, 作出函数 f(x)的图象如图: 则函数在上为增函数,最小值为﹣2, 故正确的是 B, 故选:B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键.注意使用数形结合进 行求解. 6. 【答案】B 【解析】解:P={x|x=3},M={x|x>1}; ∴P?M. 故选 B. 7. 【答案】C 【解析】解:命题是全称命题,则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是: ?x>0,使得 x ﹣x<0, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定,比较基础. 8. 【答案】A 【解析】解:由已知中几何体的直观图, 我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D 不正确;
2

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中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 C 不正确; 而对角线的方向应该从左上到右下,故 B 不正确 故 A 选项正确. 故选:A. 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图, 其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问 题的关键. 9. 【答案】B 【解析】解:∵z=cosθ+isinθ 对应的点坐标为(cosθ,sinθ), 且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限, ∴ 故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,考查三角函数值的符号,注意解题方法的积累,属于中档题. 10.【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ ∴
'

,∴θ 为第二象限角,

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),



∴存在 x1<a<x2,f (a)=0, ∴ ,∴ ,解得 a= ,

假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0. ∵ ∴ , ,

∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f (x)递减, ∴ 故选:A. 【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运 用. 11.【答案】B
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''



【解析】

考点:向量的投影. 12.【答案】B 【解析】

考 点:空间直线与平面的位置关系. 【方法点晴】 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明, 其中解答中涉及到直线与直线平行 的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键.

二、填空题

5 3 13.【答案】 ? , ? 4 4 【解析】

?

?

2 试题分析: f ? ? x ? ? 3x ? m ,因为 g ?1? ? 0 ,所以要使 h ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? ? x ? 0? 恰有三个零点,须满足

f ?1? ? 0, f (

?m 5 ?m 1 5 3 ) ? 0, m ? 0 ,解得 m ? ? , ? ?? ?m?? 3 4 3 2 4 4

考点:函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的 单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还 是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 14.【答案】 3 ? 1 【 解 析 】

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15.【答案】 6 .
3 2 2 2 2 【解析】解:f(x)=x ﹣2cx +c x,f′(x)=3x ﹣4cx+c ,

f′(2)=0?c=2 或 c=6.若 c=2,f′(x)=3x2﹣8x+4, 令 f′(x)>0?x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 故函数在(﹣∝, )及(2,+∞)上单调递增,在( ,2)上单调递减, ∴x=2 是极小值点.故 c=2 不合题意,c=6. 故答案为 6 【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力,会利用待定系数法求函数解析式. 16.【答案】 90° . 【解析】解:∵ ∴ ∴ ∴α 与 β 所成角的大小为 90° 故答案为 90° 【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值. 17.【答案】 【解析】 试题分析:在平面直角坐标系中画出圆与抛物线的图形,可知它们有个交点. =

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f(x) = 4?x2

1

12

10

8

6

4

2

20

15

10

5

5

10

15

20

2

4

6

8

10

12

考点:集合的基本运算.

三、解答题
18.【答案】
2 2 【解析】解:(1)∵曲线 C1:ρ=1,∴C1 的直角坐标方程为 x +y =1,

∴C1 是以原点为圆心,以 1 为半径的圆, ∵曲线 C2: (t 为参数),∴C2 的普通方程为 x﹣y+ =0,是直线,

联立

,解得 x=﹣

,y= ,

. ).

∴C2 与 C1 只有一个公共点:(﹣ (2)压缩后的参数方程分别为 : (θ 为参数)



(t 为参数),

化为普通方程为: 联立消元得 其判别式 ∴压缩后的直线

2 2 :x +4y =1,

:y=



, , 与椭圆 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同.

【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法,考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断,是基础题,解题 时要认真审题,注意一元二次方程的根的判别式的合理运用.

第 11 页,共 16 页

19.【答案】(1) an ?

1 ,(2)详见解析. n



n ? 8 时 S8 ? 7 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2015 ,…………13 分
9 11

* ∴存在正整数 n ,使得 Sn ? 2015 的取值集合为 n | n ? 8, n ? N ,…………15 分

?

?

20.【答案】解:(1)∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又∵a1=1, ∴数列{an+1}是首项、公比均为 2 的等比数列, ∴an+1=2n, ∴an=﹣1+2n; 6 分
n n 1 (2)由(1)可知 bn= n(an+1)= n?2 =n?2 ﹣ ,

∴Tn=1?20+2?2+…+n?2n﹣1, 2Tn=1?2+2?22…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n,
2 n 1 n 错位相减得:﹣Tn=1+2+2 …+2 ﹣ ﹣n?2

=

﹣n?2

n

=﹣1﹣(n﹣1)?2n, 于是 Tn=1+(n﹣1)?2n.

第 12 页,共 16 页

n 则所求和为 1 ? 2n
21.【答案】(1) b ?

6分

当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点. 【解析】试题分析:

1 , c ? 1 ;(2)答案见解析;(3)当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点; 4

(1)由题意得到关于实数 b,c 的方程组,求解方程组可得 b ?

1 , c ? 1; 4

(3)函数

1? ? g ? x ? 的导函数 g ? ? x ? ? 3x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ? ? ,结合导函数的性质可得当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 4? ? ? 0, 4 ? 有两个零点;当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点.
试题解析:

1 (1)由题意 { ,解得 { 4 ; f ? 4 ? ? ?4b ? c ? 0 c ?1

f ? 0? ? c ? 1

b?
? ?

(2)由(1)可 知 f ? x ? ? x ? ? a ? 4? x ? ? 4a ?
3 2

1? ? x ?1, 4?

∴ f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ?

? ?

1? ?; 4?
? ? 1? ? 是一个与 a 无关的定值, 4?

假设存在 x0 满足题意,则 f ? ? x0 ? ? 3x0 2 ? 2 ? a ? 4 ? x0 ? ? 4a ?
2 即 ? 2 x0 ? 4 ? a ? 3 x0 ? 8 x0 ?

1 是一个与 a 无关的定值, 4

则 2 x0 ? 4 ? 0 ,即 x0 ? 2 ,平行直线的斜率为 k ? f ? ? 2 ? ? ? (3) g ? x ? ? f ? x ? ? a ? x ? ? a ? 4? x ? ? 4a ?
3 2

17 ; 4

? ?

1? ? x ?1? a , 4?

1? ? ?, 4? ? 1? 2 2 ? 2 其中 ? ? 4 ? a ? 4 ? ? 12 ? 4a ? ? ? 4a ? 16a ? 67 ? 4 ? a ? 2 ? ? 51 ? 0 , 4? ? 设 g? ? x ? ? 0 两根为 x1 和 x2 ? x1 ? x2 ? ,考察 g ? x ? 在 R 上的单调性,如下表
∴ g ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 ? a ? 4 ? x ? ? 4a ?

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1° 当 a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 , g ? 4? ? a ? 0 ,而 g ? 2 ? ? ?3a ?

∴ g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 和 ? 2, 4 ? 上各有一个零点,即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点; 2° 当 a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? 0 , g ? 4? ? a ? 0 ,而 g ? 2 ? ? ?

15 ? 0, 2

∴ g ? x ? 仅在 ? 0, 2 ? 上有一个零点,即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点; 3° 当 a ? 0 时, g ? 4? ? a ? 0 ,且 g ?

15 ? 0, 2

3 ?1? ? ? ? a ? 0, 4 ?2? ? 1? ?1 ? ①当 a ? ?1 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? , 4 ? 上各有一个零点, ? 2? ?2 ? 即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点;
②当 ?1 ? a ? 0 时, g ? 0? ? 1 ? a ? 0 ,则 g ? x ? 仅在 ? 即 g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点; 当 ?1 ? a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有一个零点. 点睛:在解决类似的问题时,首先要注意区分函数最值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数 y=f (x)在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点,再计算函数 y=f(x)在区间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处 的函数值,最后比较即得. 22.【答案】
2 2 【解析】解:(Ⅰ)由正弦定理得,sin AsinB+sinBcos A=

?1 ? , 4 ? 上有一个零点, ?2 ?

综上:当 a ? ?1 或 a ? 0 时, g ? x ? 在 ? 0, 4 ? 有两个零点;

sinA,

即 sinB(sin A+cos A)= ∴sinB= sinA, =

2

2

sinA

2 2 (Ⅱ)由余弦定理和 C =b + 2 2 2 由(Ⅰ)知 b =2a ,故 c =(2+

a2,得 cosB=
2 )a ,

2 可得 cos B= ,又 cosB>0,故 cosB=

所以 B=45°

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【点评】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用. 解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问 题进行了互化. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:△BCD 中,CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CDB=30°, ∵EC=DE,∴∠DCE=30°,∠BCE=90°, ∴EC⊥BC, 又∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC 与平面 BCD 的交线为 BC, ∴EC⊥平面 ABC,∴EC⊥AB. (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O,BE 中点 F,连结 OA,OF, ∵AC=AB,∴AO⊥BC, ∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC, ∴AO⊥平面 BCD,∵O 是 BC 中点,F 是 BE 中点,∴OF⊥BC, 以 O 为原点,OB 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 DE=2,则 A(0,0,1),B(0, C(0,﹣ ∴ ,0),D(3,﹣2 ,﹣1), =(0,﹣ =(3,﹣ ,0), ,0), ,0),

设平面 ACD 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,取 x=1,得 =(1, ,﹣3),

又平面 BCD 的法向量 =(0,0,1), ∴cos< >= =﹣ , .

∴二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值为

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【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向 量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.

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