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【三维设计】高考数学大一轮复习 第五节 二次函数与幂函数课件 理 苏教版_图文

第五节 二次函数与幂函数 1.五种常见幂函数的图像与性质 特征 性质 函数 y= x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 图像 定义域 值域 R __ R __ {y|y≥0} _______ R __ R __ {x|x≥0} _______ {x|x≠0} ________ {y|y≥0} ________ {y|y≠0} _______ R __ 特征 性质 函数 y= x y=x2 ____ 偶 y=x3 奇 ___ y=x 1 2 y=x-1 奇 ____ (-∞,0) _________ 奇偶性 奇 ___ 非奇非偶 _________ 单调性 ( -∞,0]减, ____________ 增 ___ (0 ,+∞)增 ____________ 增 ____ 增 ____ 和(0,+ _________ ∞)减 _______ 公共点 (1,1) ______ 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ; 2+n(a≠0) a ( x - m ) (2)顶点式:f(x)= ; (3)零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) . 3.二次函数的图像和性质 a>0 a<0 图像 定义域 x∈R ?4ac-b2 ? ? ? ,+∞? ? 4a ? ? 2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 4a ? ? ? 值域 a>0 a<0 在 单调性 ? b? ?-∞,- ? 2a? ? 上递减, 在 ? b? ?-∞,- ? 上递增, 2a ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上递增 ? ? ? ? b 在?-2a,+∞?上递减 ? ? 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特 点 2? ? 4 ac - b b b ? ①对称轴:x=- ;②顶点:? ?-2a, 2a 4a ? ? ? 1. 研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质, 易忽视 a 的取 值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 1 2 2.形如 y=xα(α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂 函数. [试一试] 1. (2013· 南通二调)已知幂函数 f(x)=k· x 则 k+α=________. α ?1 的图像过点? ?2, ? 2? ? , 2? ? 解析:依题意,由 f(x)=k· xα 是幂函数,可知 k=1.又其图 ?1 像过点? ?2, ? 2 ?1?α 1 3 2? ? ,得 =?2? ,则 α= ,从而 k+α= . ? 2 ? ? 2 2 2? 3 答案: 2 ?π ? 5 2. (2013· 苏北四市一调)已知 α 为锐角, cos α= , 则 tan?4+α? 5 ? ? =________. 5 2 5 解析:由 α 为锐角,cos α= 得 sin α= ,则 tan α=2, 5 5 则 tan ?π ? 1+tan ? + α ?= ?4 ? 1-tan α =-3. α 答案:-3 1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x),如果定义域内有不同两点 x1,x2 x1+x2 且 f(x1)=f(x2),那么函数 y=f(x)的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x,都有 f(a+x)=f(a -x)成立的充要条件是函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件 (1)ax 2 ? ?a>0, +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0. (2)ax 2 ? ?a<0, +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? 3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、 二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨 论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程的大小等. [练一练] 如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x =1对称,则函数f(x)的最小值为________. ? a+2 ?- =1, 2 ? 解析:由题意知 ? ?a+b=2, ? ?a=-4, 得? ? ?b=6. 则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5 1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的解 析式为_______. 1 1 解析:令 f(x)=x ,则 4 =2,∴α= ,∴f(x)=x . 2 2 1 答案:f(x)=x 2 α α 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像. 已 1 知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2, 2 C3,C4 的 α 值依次为____________. 1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2 3. 设 ?3?2 ?2?3 ?2?2 a=?5? , b=?5? , c=?5? , 则 ? ?5 ? ?5 ? ?5 a, b, c 的大小关系是________. 2 解析:∵y=x (x>0)为增函数,∴a>c. 5 ?2? ∵y=?5?x(x∈R)为减函数,∴c>b, ? ? ∴a>c>b. 答案:a>c>b [类题通法] 1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从 两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升; α<0 时,图像不过原点,在第一象限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线


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