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双曲线第二定义及应用_图文

练习1:求与定点 (5,0)及定直线 = 的 距离的比是定值 的动点M的轨迹方程。 解:设M(x,y),
| MA | 5 则 ? d 4
(x - 5) 2 ? y 16 x 5
2

?

5 4

x2 y2 化简得 ?1 16 9

练习2:求与定点 距离的比是定值 解:设M(x,y),
(x - 5) 2 ? y 16 x 5
2

a2 l :x ? (c,0) 及定直线 c



的动点M的轨迹方程。 解:设M(x,y),
则 | MA | c ? d a

| MA | 5 则 ? d 4
? 5 4

x2 y2 化简得 16 - 9 ? 1

y

a a x ? ?a ?a c c
A2

2

F1 A1

O

F2 x F2

a2 准线方程:x ? ? c
两条准线比双曲线 的顶点更接近中心

a2 x ?c

a2 x ? c

y

练习1:
如果双曲线 上的点P到双曲线的 右焦点的距离是8, 那么P到右准线的距 离是 6.4 , P到左准 线的距离是 19.2
x2 y2 ?1 64 36

F1

O

F2 x

a x ?c

2

a2 x ? c

练习2:求焦半径公式
y M(x1,y1)
a2 a2 又?| MN 1 |? x 1 - (- ) ? x 1 ? c c c a2 | MF1 |? (x 1 ? ) ? ex 1 ? a a c

设M(x 1 , y 1 ),

N1

F1

O

F2

x

a2 x ?c

a2 x ? c

焦半径公式:
y
(一)M1位于双曲线右支

M 2 ( x2 , y2 )

M1 ( x1 , y1 )
x (二)M2位于双曲线左支

F1

O

F2

| M 2F1 |? -ex 2 - a

x2 y2 例1:如图,已知F1,F2为双曲线 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点, a b 1 过F2作垂直与x 轴的直线交双曲线于点 P,且 sin ? PF 1F2 ? . 3 求此双曲线的离心率。
1

x
P

解法1 : ? | PF 1 | - | PF 2 |? 2a ? 2 | PF 2 |
又?e ? c | F1F2 | 1 ? ? cot ? PF 1F2 a 2 | PF2 | 2

F1

0

F2

y

1 又 ? sin ? PF1F2 ? 得 cot ? PF1F2 ? 2 2 3

c 1 则e ? ? ? 2 2 ? 2 a 2

x2 y2 例1:如图,已知F1,F2为双曲线 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点, a b 1 过F2作垂直与x 轴的直线交双曲线于点 P,且 sin ? PF F ? . 1 2 3 求此双曲线的离心率。

y
P

解法2:由题意x P ? c
? 焦半径| PF 1 |? ec ? a, | PF 2 |? ec - a

F1

0

F2

| PF2 | ec - a 1 ? sin ?PF1F2 ? ? ? | PF1 | ec ? a 3 x
则e ? c ? 2 a

3

x2 y2 例1:如图,已知F1,F2为双曲线 2 - 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点, a b 1 过F2作垂直与x 轴的直线交双曲线于点 P,且 sin ? PF 1F2 ? . 3 求此双曲线的离心率。

y
P

解法3: ? x P ? c , (c 2 ? a 2 ?b 2 ) b2 代入双曲线方程得 y P ?? a
1 1 又? sin ? PF F ? 得 tan ? PF F ? 1 2 1 2 3 2 2

F1

0

F2

x

| PF2 | b 2 1 ? ? ? | F1F2 | 2ac 2 2

将b 2 ? c 2 - a 2 代入得 e ?

c ? 2 a


y



F1

o

F2

x a2 (二)准线方程: x ? ? , (a ? c ) c (三)焦半径公式的推导及 其应用

y2 x2 思考:( 1 )双曲线 2 - 2 ? 1的准线方程及焦半径公 式? a b (2)如何求中心不在原点 的双曲线的准线方程?



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