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新人教版必修四高中数学情境互动课型第一章三角函数1.1.2弧度制课件_图文

1.1.2 弧度制 思 考 有人问:上海到南京有多远时,有人回答约300公里,但也有人回答约 188英里,请问哪一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 提示:显然,两种回答都是正确的,但为什么会有不同的数值呢? 那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制 .它 们的长度单位是不同的,但是,它们之间可以换算: 1英里=1.6公 里. 长度有不同的度量制,角度呢? 下面我们来探究这一问题. 1.掌握弧度制的定义. 2.学会弧度与角度的互化.(重点) 3.会推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积 公式.(重点、难点) 探究点1 弧度制 思考:每个小组发一个硬纸做成的圆形图片,一段细铁丝,让学生测 量在不同的圆中, 等于半径长的圆弧所对圆心角,并观察所得到的结 果有什么规律? 提示:大小相等 弧度的概念 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角,用符号rad表示,读作 B O r l=r A 弧度. 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为0; 如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l,那么,角α的弧度 数的绝对值是 l ? ? . r 【即时训练】 如果将半径为r的圆的一条半径OA,绕圆心顺时针旋转到OB,若 弧AB长为3r,那么∠AOB的大小为多少弧度? 解答:-3rad. O B r A l=3r 探究点2 角度与弧度的换算 思考1、一个圆周角以度为单位度量是多少度, 以弧度为单位度量是多少弧度?由此, 可得角度与弧度有怎样的换算关系? 提示: 360? ? 2? O r ? l=2πr 360 = 2 ? rad 180 = ? rad 思考2、根据上述关系,1°等于多少弧度,1 rad等 于多少度? 提示: ? 1° ? rad ? 0.017 45 rad 180 180 1 rad ? ( ) ° ? 57.30 ° ? 57 ° 18? ? 总结:根据度与弧度的换算关系,填写下表中特殊角的度数或弧度 数. 角 度 弧 度 0 ? 30 ? 45 ? 60 ? 90 120 135 150 180 270 360 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? 6 ? 4 ? ? 3 2 2? 3? 5 ? 6 4 3 ? 3? 2? 2 注意:用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而 只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2 rad的角. 弧度制下角的集合与实数集的一一对应: 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 任意角的集合 实数集R 【即时训练】 将下列弧度转化为角度: ? (1 ) 12 = = 4? 15 ° ; ( 2)- 3 = -240 ;° 3? (3 ) 10 54° . 探究点3 弧度制的应用 思考1、已知一个扇形所在圆的半径为r,弧长为l,圆心角为α , 那么扇形的面积如何计算? 提示: 2 1 1 l S ? lr ? ? r 2 ? 2 2 2? 注 意 :弧 长 公 式 l ? r ? ? 思考2、在弧度制下,与角α 终边相同的角如何表示?终边在坐标轴 上的角如何表示? 提示: ?? ? ? ? ? 2k?, k ? Z? , 终边在x轴上: 终边在y轴上: ?? ? =k ?, k ? Z? , ? ? ? ? ? ? = ? k ?, k ? Z ? . 2 ? ? 【即时训练】 半径为 ? cm,圆心角为 120 的弧长为( o D ) 2 π cm A. 3 π cm B. 3 2 2π cm C. 3 2π cm D. 3 例1.按照下列要求,把 67°30′化成弧度: (1)精确值; (2)精确到0.001的近似值. 135 解: (1)因为67°30? = ( )°,所以 2 π 135 3 67° 30?= rad ? = π rad. 180 2 8 (2)利用计算器有 MODE MODE 2 67 。, ,, 30 。, ,, SHIFT DRG 1 = 1.178 097 245.因此,67°30′≈1.178 rad. 【变式练习】 将下列角度转化为弧度: (1)22°30′= - π 8 (rad) ; (rad). (2)-210°=_____(rad) ; (3)1 200°= 20 π 3 7π 6 例2.将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 解:利用计算器 MODE MODE 1 3.14 SHIFT DRG 2 = 179.908 747 7. 因此,3.14 rad≈179.909°. 【变式练习】 航海罗盘的圆周被分成32等份,把每一等份所对的圆心角的 大小分别用度与弧度表示出来. 11.25°, ? 16 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 1 1 2 () 1 l ? ?R ; (2)S= ? R ; (3)S= lR. 2 2 其中R是半径,l是弧长, ,) ?(0 为圆心角 ? ? ? 2? S是扇形的面积. 证明:由公式 l 可得, ? ? r l ? ?R. 由于半径为R,圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式 分别是: n ?R n ?R 2 l? ,S ? , 180 360 将n°转换为弧度,得 将 l ? ? 代入上式,即得 R n? 于是, ?= , 180 1 S= lR. 2 S= 1 ?R 2 . 2 【变式练习】 一个半径为R的扇形,它的周长为4R,则这扇形的面积 D 为( ) A.2 R 2 B.2 1 2 R C. 2 D. R2 例4.利用计算器比较sin 1.5和sin 85°的大小. 解:由计算器 sin 1.5 = M


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